螺栓联接的一个改进刚度模型

1、螺栓联接的一种改进刚度模型Sayed A.Nassar,Antoine Abboud摘要：建立了由相同和不同联接板组成的螺栓联接的改进刚度模型。一种新方法用来获得决定联接刚度有效接触面积的表达式。提供一个更加精确的螺栓刚度的计算和更可靠的联接行为的预测，不管在初始装配中还是在后来实际应用中施加拉伸载荷。研究了联接板厚度与螺栓公称直径之比、联接板尺寸、螺栓头接触半径比、孔间隙和板材料/厚度比对刚度的影响。根据实验数据来决定分析模型的锥角。有限元模型用来评价刚度模型的精确性。1. 引言精确测定螺栓联接刚度对于在外载荷作用下预测螺栓总成的行为是至关重要的；联接刚度也影响到在大批量生产过程中如汽车工业

2、，达到预期的预紧力水平所需的周期。在初始装配中，螺栓预紧力Fb等于联接压力Fc；都等于同一预紧力水平Fi。当外载荷Fe施加在联接上时（如图1（a）和1（b），螺栓拉力的增加和相应联接压力的减小是由联接和螺栓刚度之比kc/kb决定的。Juvinall和Marshek1提供了图1（a）和1（b）联接模型的螺栓拉力Fb和压紧力Fc如下式所示： （1） （2）式中：Fi是初始螺栓拉力；Fe是外载荷；kb是螺栓刚度；kc为联接刚度。Motosh2提出了一种计算螺栓联接刚度的技术如图2所示；他使用锥角和球形包络线来显示高应力部分的联接。一个关于r的四次多项式来表达应力在Z方向上的分布，如图3和4所示。计算

3、相应的联接弹性压缩量，联接刚度kc可以用公式3来表示： （3）式中：是联接压缩量（联接厚度的总减少量）。Motosh2认为联接挠度与螺栓孔边缘（r=dh/2）的垂直线一致。这相当于在Z方向上使用一个均匀的最大压力，这会导致总的联接挠度的值偏大，螺栓联接刚度偏小。另外，这个方法对于联接刚度没有固定的解决形式；为了获得联接刚度的数值解，他十分依赖每一个几何构型的数值积分。Lehnhoff等3,4提供了一个数值模型和有限元分析（FEA）来计算联接刚度。在他们的研究工作中，他们假设在Z方向上有一个均匀的压应力，呈锥角分布，如图3所示。他们推导的联接刚度kc如下式所示 （4）式中：d为螺栓公称直径，E为

4、联接材料的弹性模量，L为联接长度，为决定有效联接面积所需的角度，为螺栓头接触半径比。这个假设将导致挠度值偏小和联接刚度偏大。另外，在他们的研究中，锥角不是一个固定的常数。他们不得不随着联接参数来变化角度，以此来匹配他们的FEA的结果。Shigley等5对于Lehnoff等3,4的方程进行了修改，取=30和接触半径比为=1.5，获得了联接刚度kc的简单表达式： （5）Wileman等6和Norton7提出了一个基于有限元分析的联接刚度计算公式。联接挠度为垫圈中心线最上面节点的位移。在他们的研究中主要考虑的变量有联接长度L和螺栓直径d。比值d/L从0.1到2.0，改变螺栓直径同时保持联接长度不变（

5、25.4mm）来计算联接刚度。Rasmussen等8根据有限元分析得出的计算有效面积Ac的公式（6）。但是，当L/d5时，公式不适用。 （6）式中：Ac为压紧联接的有效面积，dh为螺孔直径，D0为联接板尺寸。公式（6）后来被Alkatan等9修改；他们指出只有当摩擦系数为0时，它给出的结果才和FEA的结果一致。Alkatan等9在公式（7）中摩擦系数取0.2，他们指出公式（7）对于薄板联接更加精确。 （7）Juvinall和Marshek1用一个公式计算联接的有效面积Ac，如下式所示： （8）式中：d1d，d2=1.5d,d3=1.5d+Ltan30。联接的应力区域是一个等于30的锥角，如图2

6、和3所示。很明显，Juvinall的方法不考虑联接板尺寸D0的影响。以前大多数的文献不能提供一个精确的公式来说明相关参数如比值L/d和接触半径比等的影响。本文提出一个测定轴对称且联接板中心和孔同轴螺栓联接模型刚度的分析程序。变量包括联接厚度（夹紧长度L），螺栓直径d，联接板尺寸D0，接触半径比，孔隙，不等厚板和不同材料板。一些特殊的几何例子也被考虑，如偏心螺栓孔和方板联接。2.提出联接刚度模型提出了一个更加精确的计算螺栓联接刚度kc的分析模型。分析模型通过FEA和实验数据来证实。等效面积Ac（图5）通过下式来获得： （9）锥角通过关联分析结果和实验结果得到。不同变量的影响通过FEA软件(ABA

7、QUS)来研究。刚度方程的建立分两步走。第一，压应力p(r,z)通过压紧力Fc来表述。第二，获得加紧部分的相应总体挠度，代入公式（3）来得到联接刚度kc。图1展示了一个螺栓联接的轴对称模型，上下板之间关于接触面水平对称，所以允许使用1/2模型（图3和6）。假设一个包络线角的锥角应力分布模型；一个r-z坐标系。从z轴到锥角边界的距离x表示为： （10）2.1 压应力分布在模型厚度范围内的一个任意z值，假设压应力分布是关于r的4次多项式（r,z）,如图4所示： （11）式中：、和，是z的函数，这些参数由边界条件和静力平衡所决定。假设空隙很小；因此，现在它可以被忽略。空隙的影响将在5.3讨论。对于每

8、一个z值，假设应力在r=d/2和r=x的位置梯度为0，r=0。另外，假设应力在r=x的位置以此来达到在锥角边界压紧区域时都是固定的零值。在r=x，设产生以下三式： （12） （13） （14）在r=d/2，设产生下式： （15）静力平衡考虑在每一个z值，联接压力Fc和结果压应力分布（r）之间的关系如下式所示： （16）求解公式（12）-（16）产生参数、如下式所示： （17a） （17b） （17c） （17d） （17e）公式（17a）-（17e）代入公式（11）来获得一个指定的z值和夹紧力Fc（从距离x和锥角获得，如图3所示）的压应力分布（r,z）。2.2 弹性联接压缩下一步是判断总的联接

9、压缩量相当于公式（11）给的压应力分布。在弹性区域内，正应变通过胡克定律获得。从FEA的结果来看，在联接接触面（在z=0处），r和方向的应力差不多是1/3和1/2的正应力，在z0处，它可以被忽略。所以，高度的变化量dz所对应的近似正应变平均值daverage如下式所示： （18）平均正应变可能按照圆盘厚度除以初始厚度dz来表达（）。2.3 相同的板材料在这节，联接刚度kc和相应的有效面积Ac所对应的模型是两压紧的板都是相同材料的不管每块板的厚度。利用对称z=L/2,公式（18）产生的总联接压缩量如下式所示： （19）产生的联接变形量为： （20） （21）必须声明的是方程（20）适用于图3所示

10、的模型，联接板尺寸D0足够大，允许应力包络线在联接板厚度上完全展开（）。图6所示的螺栓联接模型应力包络线只是部分展开，因为联接板尺寸D0与联接板厚度L，孔直径和螺栓头下的接触面积。对于这个模型，联接板尺寸D0不符合公式（21）的条件；它满足下面的条件： （22）根据相似的方法，在联接厚度L和压紧力Fc下相应的联接压缩量如下式所示： （23）结合公式（9）、（20）、（23）给出的联接刚度kc和有效压紧面积Ac如下所示： 当时 （24） （25） 当时 （26） （27）为了考虑空隙的影响，孔直径dh代替方程（25）和（27）中的螺栓直径d，这样有：当时 （28）当时 （29）式中：孔直径dh等

11、于螺栓直径d加上空隙2c，如图1（a）所示。 这里必须指出的是当联接板尺寸D0小于等于螺栓头外径时（），螺栓头下面的压应力分布可以认为是常数，有效面积近似等于螺母的联接面积。2.4 不同联接材料当两个压紧板是由不同材料组成的，联接刚度可以表示为： （30）式中：和分别为上下联接板各自的挠度。每块板的挠度都是通过公式（18）在板厚度上积分获得的，根据联接板尺寸D0，每块板的挠度可以表示为：当时， （31）当时， （32）m=1,2分别表示上下板（图7），公式（30）-（32）产生联接刚度kc如下式所示：当时 （33）当时，（34）式中：和分别表示上下板的弹性模量。假如板厚度是相等的（），联接刚度

12、表达式（33）和（34）可以表示为：当时 （35）当时， （36）2. 实验数据一个MTS测试仪用来测试联接压紧挠度；载荷挠度曲线的斜率就是联接刚度。图8为不同联接尺寸和联接长度的试验样本。三种不同联接尺寸，分别为25.4mm，40.5mm，63.5mm。联接长度分别为30mm和60mm。铝材料的联接板被采用，因为当施加相同的压力载荷时，在相同的几何情况下，铝将比钢铁产生更大的挠度。因此，在试验测试过程中联接厚度减少的百分比误差将比同样的钢铁材料小得多。施加11KN的压紧力并测得相应的变形量。联接刚度通过公式（3）算得。图9为在MTS测试仪中的测试夹具。为了确保测试数据的可重复性，每一个试验都

13、要至少重复10次。从公式（25）和（27）的分析模型数据和根据联接载荷变形关系的试验数据中得出36锥角是最相关的。分析模型联接刚度预测与实验数据的误差百分比如下： （37） (只有第五组属于锥角完全展开)提出的分析模型和实验结果的误差从0.5%到15.9%，如图10和表1所示。除了第一个联接板尺寸以外，误差随着联接长度的增大而减小。对于一个固定精度的实验测试装置，增加被测件的厚度L将自然减小实验测试的误差百分比。4. 有限元分析图11为本文有限元证实模型刚度提出的1/2轴对称联接模型。在ABAQUS商用软件进行有限元建模并在x-y平面内采用轴对称单元分网。对称边界条件通过联接厚度强加。摩擦接触

14、面，摩擦系数为0.2，用在螺栓头和联接面之间的接触。等效加紧力通过在螺栓头施加均布载荷的方式施加。分析了不同的几何配置模型。为了确定联接刚度，平均的节点变形，相对于两板之间的接触面，使用的是螺栓头下面的接触面。联接刚度是由一个夹紧力Fc产生的连接诶变形决定的。提出的分析模型和FEA结果的误差从0.3%到14%，如表2所示。5. 结果的讨论提出的联接刚度的分析模型已经被试验和FEA的结果所证实：所有的结果都是一致的。FEA模型被用来研究联接板尺寸D0，链接长度与螺栓直径之比L/d，接触半径比，空隙和不等厚和不同材料的联接板对刚度的影响。图12-22为FEA模型的有效面积Ac或者联接刚度kc的结果

15、，并与分析模型的结果进行比较。提出的分析模型与FEA的结果误差从0.3%到14%。FEA结果和试验结果的误差从0.39%到9.9%。又一次，对于第一个联接板尺寸，联接长度越小误差越高。5.1 联接板尺寸和联接长度L的影响：相同板材料图12-14为联接板尺寸和联接长度L在三种螺孔直径，8mm、12.7mm、16mm对于有效面积Ac的影响。对于一个圆柱体联接，固定的螺孔直径8mm，联接长度与孔直径的比值L/d=2.4，增加联接板尺寸从（应力包络线部分展开）到（应力包络线完全展开），导致有效面积Ac增加31%。当比值L/d=4.7时，相应的有效面积Ac（因为的增加）增加54%。这是因为随着联接厚度的

16、增加，比率L/d增加，从应力包络线部分展开（）到应力包络线完全展开（）。5.2 接触半径比的影响虽然标准的六角头螺栓的接触半径比取=1.5是流行的，但螺帽系数取其他值也是常见的。图15和16分别对应的是接触半径比在应力包络线完全展开和应力包络线部分展开如公式（25）和（27）对有效接触面积Ac的影响。分别取1.5、1.8、2.1。有效面积随着的增加而增加因为增加了应力包络线（图3和4）。包络的面积越大，联接的压应力分布越低。这个结果导致低的联接变形，相应的更高的联接刚度kc。FEA结果与分析模型结果有很好的相关性，最大误差为7%。5.3 孔隙的影响对于相同的板材料，公式（28）和（29）用来研

17、究孔隙对联接刚度的影响，通过有效面积Ac的方式呈现。使用了4个不同的孔隙（dh-d）如图1（a），螺栓公称直径d的0%、3%、6%和10%。孔隙从0%增加到10%，有效面积Ac平均减少9%，如图17和18所示。在应力包络线完全展开（），对于螺栓直径分别从8mm、12.7mm、16mm ，FEA结果和分析模型结果的误差Ac在6%和10.7%之间。图18展示了小尺寸联接板在应力包络线部分展开（），相应误差在0.5%和10%之间。5.4 不同材料联接的厚度比的影响用公式（33）-（36）来研究铝板（Al）和钢板（St）在不同厚度比对刚度的影响。符号、分别指上下板的厚度比和材料联接。下板厚度保持常数2

18、0mm。图19和20展示了在应力包络线完全展开（），对于螺栓直径分别从8mm、12mm、16mm ，FEA结果和分析模型结果的误差在0%和9%之间。图21和22展示了小尺寸联接板在应力包络线部分展开（），相应误差在0.5%和11%之间。 5.5 试样与欧洲标准VDI 2230比较表3和4是本文的分析模型与VDI2230结果10的比较。VDI提供以下有效面积Ac的表达式： （38）式中：公式（38）仅适用于联接板尺寸在以下范围内 （39）表3和4中可以看出本文提供的刚度模型比Lehnhoff等3,4和VDI223010的结果更加接近FEA的结果。6. 特殊例子：偏心螺栓孔和方板联接在这节，研究了螺栓孔的偏心的影响。螺栓孔的中心位于联接中心距离为R的地方，联接板是圆板或者方板，如图23。假如偏心螺栓孔中心的位置R是应力包络线是完全展开的（在联接面内），那么公式（24）（25）（33）（35）对于偏心螺栓孔的合理近似刚度kc和相应的有效面积Ac可能还是有效的。FEA模型的结果和1-3节讨论的中心螺孔模型的结果进行了比较。相同的近似法应用于方板联接，允许应力包络线完全展开。表5比较了公式（24）结果与FEA和其他文献（中心螺孔）中结果。从三维模型与用中