课件--概率论与数理统计概率第一章概率1-4

1、概率论第四节等可能概型(古典概型)古典概型的定义古典概率的求法举例小结布置作业概率论我们首先引入的计算概率的数学模型，是在概率论的发展过程中最早出现的研究对象，通常称为古典概型概率论一、古典概型假定某个试验有有限个可能的结果e1, e2, ，eN ,假定从该试验的条件及实施方法上去分析， 我们找不到任何理由认为其中某一结果例如 ei，比任一其它结果，例如 ej, 更有优势，则我们只好认为所有结果在试验中有同等可能的出现机会，即1/N的出现机会.概率论试验结果e1, e2, ，eN你认为哪个结果出现的可能性大？常常把这样的试验结果称为“等可能的”.概率论例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相

2、同的球 . 将球编号为110 .把球搅匀， 蒙上眼睛，从中任取一球.8519467 23 10概率论1234567891010个球中的任一个被取出的机会都是1/10因为抽取时这些球是完全平等的，我们没有理由认为10个球中的某一个会比另一个更容易取得.也就是说，10个球中的任一个被取出的机会是相等的，均为1/10.8519467 23 10概率论如i =22我们用 i 表示取到号球， i =1,2,10 .i则该试验的样本空间S=1,2,10 ,且每个样本点(或者说基本)出现的可能性相同 .称这样一类随机试验为古典概型.8561 9473 10概率论定义 1若随机试验满足下述两个条件：(1) 它

3、的样本空间只有有限多个样本点；(2) 每个样本点出现的可能性相同.称这种试验为等可能随机试验或古典概型.概率论二、古典概型中概率的计算记 A=摸到2号球P(A)=?2P(A)=1/10记 B=摸到红球 P(B)=?123456859614P(B)=6/107 23 10概率论记 B=摸到红球,P(B)=6/10静态这里实际上是从“比例”转化为“概率”动态当我们要求“摸到红球”的概率时，只要找出它在静态时相应的比例.8519467 23 10概率论设古典概率E 的样本空间为S = e1 , e2 , L , en .发生的可能性相同, 即由于在试验中每个基本P(e1 ) = P(e2 ) = L

4、 = P(en )是两两互不相容的. 于是又由于基本P(S ) = P(e1 e2 L en )1 = P(e1 ) + P(e2 ) + L + P(en ) = nP(ei )P(e ) = 1 , i = 1,2,L,n .所以in概率论A 包含 k 个基本, 即若A = e e L ei1i2ik则有P(A) = P(e)+ P(e)+ L + P(e)i1i2ik= k =A 包含的基本数nS 中的基本总数概率论例1 将一枚硬币抛掷三次.(i ) 设(ii) 设A1 为 恰有一次出现正面 ,求 P(A1 ) .A2 为至少有一次出现正面 ,求 P(A2 ) .此试验的样本空间为:解S

5、 = HHH , HHT, HTH, HTT,THH,THT,TTH ,TTT.而 A1= HTT ,THT ,TTH,所以P(A ) = 3 .18A2= HHH , HHT , HTH , HTT ,THH ,THT ,TTH.) = 7 .P(A28概率论例2从有9 件正品、3 件次品的箱子中任取两次 ,每次取一件, 试分别以:(1) 有放回抽样法:即每次抽取的产品观察后放回;(2)不放回抽样法:即每次抽取产品观察后不放回;两种抽样方式求A = 取得两件正品,B = 第一次取得正品,第二次取得次品,C = 取得一件正品一件次品,的概率.概率论解 (1) 采取有放回抽样 .从箱子中任取两件

6、产品,每次取一件,取法总数为122.数为122数为.即样本空间中所含的基本A中所含有的基本= 92C1C1.99929P(A) =122=.16所以C1C1= 9 3 .B 中所含有的基本数为93P(B) = 9 3= 3所以.12216C 中所含有的基本数为C1C1+ C1C1 = 9 3 + 3 9 = 54 .9339概率论54= 3 .P(C ) =所以1228(2) 采取不放回抽样.从箱子中任取两件产品,每次取一件,取法总数为12 11 .12 11 .即样本空间中所含有的基本A中所含有的基本总数为= 9 8 .C1C1数为989 8 = 6P(A)=.所以12 1111= 9 3

7、.C1C1B 中所含有的基本数为93P(B)= 9 3= 9所以.12 1144概率论C 中所含有的基本数为C1C1+ C1C1 = 9 3 + 3 9 .9339P(C ) = 9 3 + 3 9= 9.所以12 1122例3从有9 件正品、3件次品的箱子中任取两件产品(即一次抽取两件产品) ,求A = 取得两件正品,C = 取得一件正品一件次品,的概率.概率论从箱子中任取两件产品,取法总数为 C 2解.12总数为 C 2.即试验的样本空间中所含有的基本12数为 C 2.A中所含有的基本9 89C 26 2 1 .P(A)= 9 所以12 11C 21112 2 1数为 C1 C1 .C 中

8、所含有的基本93C1C19 39P(A) =所以= 93=.12 11C 22212 2 1概率论例4 设有 n 个小球,每个都等可能地落入 N 个格子中(n N ) , 试求下列的概率:(1)A = 某指定的 n 个格子中各有一球;(2) B = 任意的n 个格子中各有一球.n 个球都等可能地落入到 N 个格子中,应有解N n种可能的方法,所以基本总数为 N n .n!A 所含的基本B 所含的基本数为Cn n!数为NCn n!n!P(A) =P(B) =故, N.nN nN概率论例5有 5 双不同型号的鞋子,从中任取4 只,求的概率:下列各(1)取出的4 只鞋恰好为两双;(2)取出的4 只鞋

9、都是不同型号的;(3)取出的4 只鞋恰好有两只配成一双.解 设A = 取出的4 只鞋恰好为两双,B = 取出的4 只鞋都是不同型号的,C = 取出的4 只鞋恰好有两只配成一双.()4从 5 双鞋子 10只 中任取4 只,取法总数为C.10概率论数为 C 2.A中所含有的基本B 中所含有的基本C 中所含有的基本于是可得5数为C 4C1C1C1C1.52222数为 C1C 2C 2C1C1524225 4C 21= 2 1(1)P(A) = 5 =.10 9 8 7C 42110 4 3 2 141111CC C C C 80210 821()()=52222=2PB.C 41012211C CC

10、C C120 = 4(3)P(C )=52422 =.C 4721010概率论例6在1 2000 的整数中随机地取一个数 ,问取到的整数既不能被 6 整除, 也不能被 8 整除的概率是多少?解 设 A = 取到的数能被 6 整除,B = 取到的数能被 8 整除.所求概率为 P(AB ) = P(A B)= 1- P(A B)= 1- P(A) - P(B) + P(AB)33325083又P(A) =P(B)P(AB)=,20002000200033325083= 3 .故所求概率为 p = 1 -+2000200020004概率论例7将15 名新生随机地平均分配到三个班级中去, 这15 名新

11、生中有 3 名是优秀生. 求(i)每一个班级各分配到一名优秀生的概率;(ii ) 3 名优秀生分配在同一班级的概率.解15 名新生平均分到三个班级的分法总数为15! 10!15!15 10 5 =.55510!5!5!5!5!5!5!(i) 每一个班级各分到一名优秀生的分法为3!12 8 4 12!4= 3! . 4 4 4!4!4!概率论12!3! = 4!4!4! = 25 .p于是所求概率为115!975!5!5!(ii) 三名优秀生分到同一个班级的分法为12!3 1210 5 = 3 .2552!5!5!3 12! 691= 2!5!5! =.p2于是所求概率为15!5!5!5!概率论

12、例8某接待站在某一周曾接待过12 次来访,已知所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的.问是否可以推断接待时间是有规定的.解假设接待站的接待时间没有规定, 而各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的.则12 次接待来访者都在周二周四的概率为= 212p 0.0000003 .712. 所以认为接待时间是有规定的.这是小概率概率论三、古典概率计算举例把C、C、E、E、I、N、S七个字母分别写在例1七张同样的卡片上，并且将卡片放入同一盒中，现从盒中任意一张一张地将卡片取出，并将其按取到的顺序排成一列，假设排列结果恰好拼成一 个英文单词：SCIENCE问：在多大程度上认为这样的结果是奇怪的，甚至

13、怀疑是一种魔术？概率论七个字母的排列总数为7！解拼成英文单词SCIENCE 的情况数为2 2 = 4故该结果出现的概率为：p =4=1 0.000797!1260这个概率很小，这里算出的概率有如下的实际意义：如果多次重复这一抽卡试验，则我们所关心在1260次试验中大约出现1次 .的概率论这样小概率的在一次抽卡的试验中就发生了，人们有比较大的把握怀疑这是魔术.具体地说，可以99.9%的把握怀疑这是魔术.概率论某城市的电话号码由5个数字组成，每个数字可例2能是从0-9这十个数字中的任一个，求电话号码由五个不同数字组成的概率.从10个不同数字中P 5取5个的排列=0.3024p =解 10 105允

14、许重复的排列问 计算样本空间样本点总数和所求错在何处？ 所含样本点数计数方法不同.概率论例3 设有N件产品,其中有M件次品,现从这N件中任取n件,求其中恰有k件次品的概率.令B=恰有k件次品解次品正品P(B)=？N-M件正品 M N - M kM件次品n - kP(B) = N n这是一种无放回抽样.概率论例4n双相异的鞋共2n只，随机地分成n堆，每堆2只 . 问:“各堆都自成一双鞋”(A)的概率是多少？解 把2n只鞋分成n堆,每堆2只的分法总数为(2n)!= (2n)!M2n2!2!L2!A的分法数为n!,故而出现n!2nn!P( A) =(2n)! / 2n(2n)!概率论请看下面的演示以

15、球、箱模型为例给出一类常见的古典概型中的概率计算分球入箱问题概率论概率论请注意：1、在应用古典概型时必须注意“等可能性”的条 件.“等可能性”是一种假设，在实际应用中，我们需要根据实际情况去判断是否可以认为各基本 或样本点是等可能的.概率论在许多场合，由对称性和均衡性，我们就可概率论2、在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不 要重复计数，也不要遗漏.例如：从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中A）的概率是多少？“至少有两只配成一双”（15793下面的算法错在哪里？2468105 8 从5双中取1双，从剩下的 8只中取2只错在同样的“4只配成两双”算了两次.P( A) = 1 2 10 4

16、 概率论2、在用排列组合公式计算古典概率时，必须注意不要重复计数，也不要遗漏.例如：从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”（A）的概率是多少？正确的答案是：请思考：还有其它解法吗？5 8 - 5P( A) = 1 2 210 4 概率论3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：有n个人，每个人都以相同的概率1/N (Nn)被分在 N 间房的每一间中，求指定的n间一人的概率.各有 人房概率论3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：有n个人，设每个人的生日是任一天的概率为1/365.求这n (n 365)个人的生日互不相同的概率. 人 任一天概率论3、许多表面上提法不同的问题实质上属于同一类型：有n个旅客，乘火车途经N个车站，设每个人在每站下