第一二章土地信息学

1、地理信息工程 GIS 土地资源管理 何宗宜,地图数据处理模型的原理与方法,数字地图制图标准化 地理信息的自动综合 专题地图的自动生成 地理信息的空间分析,地图数据处理模型的原理与方法,第一章 概述,第二章 地图制图数据处理模型的数学基础,第三章 地图要素分布特征模型,第四章 地图要素选取指标模型,第五章 地图要素结构选取模型,第六章 地图制图要素分级模型,内容提要,第十三章 空间数据多尺度处理模型,第七章 地图制图评价模型,第八章 地图制图要素相关模型,第九章 地图制图要素分布趋势模型,第十章 地图制图要素预测模型,第十一章 地图制图要素信息简化模型,第十二章 地图制

2、图要素类型划分模型,内容提要,第一章 概述,1-1地图制图数据处理模型的发展,1、公元前3世纪数学方法在地图制图中的应用仅局限于地图的数学基础 ； 2、本世纪40年代，利用图解计算法和数理统计方法研究地图要素的选取获得了较好的效果； 3、50年代以来，地学研究方法从定性分析发展到定量分析； 4、60年代，多元统计分析应用于地学领域，推动了地图制图数据处理模型的发展；,5、70年代，应用统计分析和信息论分析地图内容，在此基础上，形成了比较系统的地图制图数据处理模型的理论与方法； 6、80年代，开始把模糊数学、最优化方法等现代数学引入专题地图制图的研究领域， 7、90年代以来，许多地图制图学者利用

3、数学形态学、分形理论和小波理论等现代数学对空间数据多尺度处理与表示进行深入探讨。,第一章 概述,1-1地图制图数据处理模型的发展,1-2 地图制图数据处理模型的应用,地图制图综合的数学模型 : 1选取指标数学模型 2结构选取数学模型 3图形化简数学模型,第一章 概述,地图制图数据处理模型在专题地图制图中应用 1地图制图要素的分级数学模型 2地图制图要素的相关数学模型 3地图制图要素空间分布趋势的数学模型 4地图制图要素动态分析和预测的数学模型 5地图制图要素信息简化的数学模型 6地图制图要素类型划分的数学模型,1-2地图制图数据处理模型的应用,第一章 概述,1-2地图制图数据处理模型的应用,第

4、一章 概述,空间数据多尺度处理数学模型 1.数学形态学模型 2.分形理论模型 3.小波理论模型 运用现代数学方法部分解决了空间图形数据多尺度处理与表示,第二章 数学基础,2-1地图制图数据处理模型的数理统计基础,一、地图制图数据类型,二、地图制图数据的数字特征,三、地图制图数据的分布特征参数,四、地图制图数据的标准化,一、地图制图数据类型,2-1 数 理 统 计 基 础,1定量数据,（1）间隔尺度数据 （2）比率尺度数据,2定性数据,（1）有序尺度数据 （2）二元数据 （3）名义尺度数据,二、地图制图数据的数字特征,2-1 数 理 统 计 基 础,1频数与频率,设有一组数据为x1，x2，xn，

5、按一定的间距分组；在各组出现的次数称为频数，用fi表示；各组频数与总频数之比叫频率，用pi表示。计算公式如下：,二、地图制图数据的数字特征,2-1 数 理 统 计 基 础,2平均数、数学期望、中位数和众数,（1）平均数 是表示地图制图数据分布的集中位置，用x表示。设有一组数据为x1，x2，xn，则x 为：,二、地图制图数据的数字特征,2-1 数 理 统 计 基 础,2平均数、数学期望、中位数和众数,（2）数学期望 数学期望Mx是以概率Pi为权的加权平均数，表示为：,二、地图制图数据的数字特征,2-1 数 理 统 计 基 础,2平均数、数学期望、中位数和众数,（3）中位数 中位数是按数值大小排列

6、的中间数，偶数列则为中间两个数的平均值。 （4）众数 众数是出现次数最多的某一数值。,二、地图制图数据的数字特征,2-1 数 理 统 计 基 础,3极差、离差、方差和变异系数,这些数值是反映数据的离散程度。 （1）极差 极差是最大值与最小值的差值。 （2）离差 离差是各数值与平均值之差。,二、地图制图数据的数字特征,2-1 数 理 统 计 基 础,3极差、离差、方差和变异系数,（3）方差 方差是用离差平方和除以样本容量得出的，它是反映各数值与平均值的离散程度的重要指标。,二、地图制图数据的数字特征,2-1 数 理 统 计 基 础,3极差、离差、方差和变异系数,（4）变异系数 变异系数是衡量要素

7、的相对变化（波动）的程度。即：,三、地图制图数据的分布特征参数,2-1 数 理 统 计 基 础,1偏态系数,表示要素分布的不对称性。,3是三阶中心矩， s为标准差。当Cv0时，众数在平均值的左边，称为正偏；Cv0时，众数在平均值的右边，称为负偏；当Cv=0时，图形对称,三、地图制图数据的分布特征参数,2-1 数 理 统 计 基 础,1偏态系数,三、地图制图数据的分布特征参数,2-1 数 理 统 计 基 础,2峰态系数,表示分布图形的峰度高低，是要素分布在均值附近的集中程度。,4是四阶中心矩，s为标准差。标准正态分布时，Ce=3；当Ce 3时，称为高峰态；Ce 3时，称为底峰态。,三、地图制图数

8、据的分布特征参数,2-1 数 理 统 计 基 础,2峰态系数,四、地图制图数据的标准化,2-1 数 理 统 计 基 础,1标准差标准化,设有n个单元，每个单元有m个数据，每个变量可记为xij；i=1，2，n；j=1，2，m。标准化后的变量xij为：,四、地图制图数据的标准化,2-1 数 理 统 计 基 础,2极差标准化,标准差标准化要计算标准差，为了方便，也可采用极差标准化，把变量变换到0和1范围之内。标准化后的变量xij为：,五、回归分析,2-1 数 理 统 计 基 础,1一元线性回归,（1）回归方程 一元线性回归 主要是处理两个 制图变量x 与y之 间的线性关系。,2-1 数 理 统 计

9、基 础,设这条直线方程为: a,b是待定的参数,对于每个x i对应的观测值yi与 之间有误差,若有一条直线能使所有误差平方和达到最小，那么，这条直线就称为回归直线。 令误差平方和为Q，则 :,2-1 数 理 统 计 基 础,要使Q为最小，由微积分中求极值的原理可知，只要将Q分别对a、b求偏导数，然后令偏导数为0，即可求出a、b，令 :,即:,这样：,其中：,2-1 数 理 统 计 基 础,根据以上公式可求出：,求出a、b后，便可写出y 对x 的回归方程：,五、回归分析,2-1 数 理 统 计 基 础,1一元线性回归,（2）回归方程的显著性检验 对一元线性回归方程一般采用相关系数检验法。相关系数

10、: 若计算出的r值大于查表（相关系数检验表）值r，则认为相关显著，回归方程有意义。是置信水平，1-代表置信度，如=005，表示可靠程度为95。,五、回归分析,2-1 数 理 统 计 基 础,2一元非线性回归,（1）回归方程 一元非线性回归方程的求法一般是通过数学变换，使非线性关系化为线性关系，再利用线性回归的方法解求非线性回归方程。,五、回归分析,2-1 数 理 统 计 基 础,2一元非线性回归,（1）回归方程 当变量x与y之间是幂函数关系: 对上式两边取对数,令:,于是有:,代入直线 回归方程：,2-1 数 理 统 计 基 础,2一元非线性回归,（2）回归方程的显著性检验 一元非线性回归方程

11、的显著性检验，是检验变量x 与y之间的关系是否有非线性回归方程建立的这种非线性关系，即观测点（xi，yi）与曲线的拟合程度的好坏，一般用相关指数进行检验。 相关指数： 式中： 若计算出的R值大于查表值R，则认为相关显著，回归方程有意义。,五、回归分析,2-1 数 理 统 计 基 础,3多元线性回归分析,（1）多元线性回归方程 设有p个自变量x1，x2，xp 与因变量y，它们有如下关系式,式中， 为待定参数。 设对变量x1，x2，xp ，y作了n次观测，其中第k次观测数据为： 令,2-1 数 理 统 计 基 础,将Q分别对 求偏导数，得方程:,2-1 数 理 统 计 基 础,由第一个方程得： 式

12、中： 将b0代入后面p个方程，整理得:,2-1 数 理 统 计 基 础,式中：,解出 可得,如果只有 三个变量，则,2-1 数 理 统 计 基 础,式中：,2-1 数 理 统 计 基 础,（2）多元线性回归方程的显著性检验 对多元线性回归方程的显著性检验一般采用F检验法。统计量 式中： 如果计算值F大于查表值F，认为回归方程相关显著，回归方程有意义。,五、回归分析,2-1 数 理 统 计 基 础,4多元非线性回归分析,（1）多元非线性回归方程 设有p个自变量x1，x2，xp 与因变量y，它们有如下关系式: 对上式两边取对数，得,令,2-1 数 理 统 计 基 础,于是有线性关系: 如果只有 三

13、个变量，则: 那么： 式中,2-1 数 理 统 计 基 础,（2）多元非线性回归方程显著性检验 多元非线性回归方程的显著性检验与多元线性回归方程相似，采用F检验法。统计量：,如果计算值F大于查表值F，认为回归方程相关显著，回归方程有意义。,一、模糊数学基础知识,2-2 模 糊 数 学 基 础,1模糊集合,模糊集合 由隶属函数 来表征，隶属函数 在0，1区间中取值，其大小反映元素x对模糊集合的隶属度。,+,+,+,+,2模糊集合的基本运算,（1）相等 把隶属函数全部相等的两个模糊集合称为相等，即 则,+,2-2 模 糊 数 学 基 础,2模糊集合的基本运算,（2）补集 的补集为,+,+,（3）并

14、集 模糊集合 和 的并集 ，其隶属函数为,+,+,+,+,+,+,记作,用模糊集合符号表示为,2-2 模 糊 数 学 基 础,（4）交集 模糊集合 和 的并集 ，其隶属函数为,+,+,+,+,+,+,记作,用模糊集合符号表示为,3广义模糊算子,由于在模糊集合运算过程中信息损失偏多，运算过程过于粗糙，不少数学学者提出适应不同情况的模糊算子，提高了模糊集合运算的精度。,2-2 模 糊 数 学 基 础,+,（1）Zadeh模糊算子：“”，“”,（2）概率模糊算子：“”，“ ”,+,（3）有界模糊算子：“”，“”,+,（4）Einstain模糊算子：“ ”，“ ”,+,+,+,2-2 模 糊 数 学

15、基 础,+,（5）V模糊算子 :“ ”，“ ”,+,+,2-2 模 糊 数 学 基 础,4地图制图数据处理模糊算子,实际地图制图数据处理中往往是要全面考虑各种因素对制图要素的影响，不管这些因素在模糊处理过程中所起的作用大小，而且在运算过程中信息量损失达到最小；这样，可使地图制图数据处理的数学模型有较高的精度。我们称这种模糊算子为M（，）模糊算子，即,+,二、模糊综合评判,2-2 模 糊 数 学 基 础,利用模糊综合评判对地图制图数据处理中某些带有模糊性的现象进行评判时，就是研究“因素集”和“评判集”的模糊关系。,1模糊综合评判,（1）因素集U 制图现象（物体）的重要性取决于多种因素，这些因素构

16、成一个集合，称为因素集U U=(u1，u2，un) （2）评判集V 将制图现象（物体）的重要性程度分为m个评价等级，它们构成评判集V V=(v1，v2，vm),2-2 模 糊 数 学 基 础,（3）模糊综合评判矩阵 每个因素对各个等级都有一个评判结果，构成单因素评判模糊集 n个因素的评判构成模糊综合评判矩阵,2-2 模 糊 数 学 基 础,（4）因素权重集 由于各个因素对制图现象（物体）的影响程度不一样，所以要对这些因素分配不同的权重。,（5）模糊综合评判结果集 根据模糊综合评判矩阵和因素权重集，通过模糊变换可得评判结果 根据最大隶属原则，在 中，看谁的数值最大，评判结果就评定为相应的等级。,

17、2-2 模 糊 数 学 基 础,（1）因素集U 设因素集U=（u1，u2，un），其中ui是第一级因素（大因素）。第一级因素可由相应的第二级因素综合评定，第二级因素可由相应的第三级因素综合评定，依次类推。将因素集U根据一定属性和层次列出第二、第三、,2模糊多层次综合评判,其中， ui=（c1，c2， ，cm） （i=1，2，n） cj=（w1，w2， ，wl） （j=1，2，m） wk=（e1，e2， ，et） （k=1，2，l）,2-2 模 糊 数 学 基 础,（2）评价等级集V 假设评定等级为d个级别，则 V=(v1，v2，vd) 需要注意的是各级因素的评价等级个数应相等，即V对ui ，c

18、j ，wk ， 均适用。,2-2 模 糊 数 学 基 础,（3）因素权重集 U中的n个子集为一级因素，相应的权重为一级权重集，即 Pu=（p1，p2，pn） 且 uI中各因素权重为二级权重集，即 Pui=（pi1，pi2，pim） 且,2-2 模 糊 数 学 基 础,（4）评价计算 为了叙述方便，以三级模型为例，并设评定为四个级别，即 V=(v1，v2，v3，v4) 先求出cj的单因素评价矩阵。对cj中第k个因素进行简单的模糊评判，得出评价集的隶属度，即 （rk1 ，rk2 ，rk3 ，rk4），k=1，2，l 且,当k遍取1，2，l后，得到模糊关系矩阵,2-2 模 糊 数 学 基 础,由 与

19、三级评价因素的权重集，算得cj的评价结 果为 cj=（pij1 ，pij2 ，pijl）（rij）l4= （bij1 ，bij2 ，bij3 ，bij4 ），（j=1，2，m),2-2 模 糊 数 学 基 础,构造第二级模糊综合评判矩阵。以cj（j=1，2，m）的评价结果为行向量，作出ui的模糊综合评判矩阵,由 与二级因素权重Pui算得ui 的评判结果为 ui=（pi1 ，pi2 ，pim）（rij）m4=（bi1 ，bi2 ，bi3 ，bi4 ），（i=1，2，n),2-2 模 糊 数 学 基 础,由U的各子集ui的评判结果构成U的单因素评判矩阵,由与一级因素权重Pu，算得模糊多层次综合评判

20、结果U U=（p1 ，p2 ，pn）（rij）n4=（b1，b2 ，b3 ，b4 ） 根据最大隶属度原则，b1，b2 ，b3 ，b4四个数值中谁最大，评判结果定为相应的等级。,第二章 数学基础,2-3地图制图数据处理模型的信息论基础,一、熵函数,1不肯定程度与信息量 不同事件的不肯定程度是不一样的。发生概率越小的事件，不肯定程度就越大；发生概率越大的事件，不肯定程度就小。小概率事件发生了，信息量很大，如飞机失事，各大新闻媒体相互转载发表，这是因为该消息的信息量大。事件不肯定程度越大信息量就越大。,设事件,2-3 信 息 论 基 础,则有熵函数,2熵函数的定义 熵函数是衡量事件不肯定程度的数学表

21、达式。,2-3 信 息 论 基 础,3熵函数的性质 （1）熵函数的非负性 概率p(xi)满足1p(xi) 0，所以，H(X) 0 （2）熵函数的连续性 从（2-43）可以看出，熵函数是连续函数，如果概率值发生很小的变化，熵函数也会作很小变化。 （3）熵函数的确定性 当p=0或p=1时， H(X)=0 在概率论中，前者称为不可能事件，后者称为必然事件，它们都没有不肯定性。,2-3 信 息 论 基 础,（4）熵函数的最大值 在等概率情况下，熵函数的值最大。当,时,（5）在等概率条件下，随着可能结局量n的增加，不肯定程度增大。,2-3 信 息 论 基 础,（6）熵的可加性 如果某一事件A是由n个互不

22、相容事件A1，A2，An所组成的完备事件 A= A1+A2+An,假设An事件是由An1， An2， Anm所组成的完备事件，则有 H(A)=H(A)+p(An)H(An) 这就是熵的可加性。事件的新熵等于原熵加上某一事件概率乘以某一事件熵。,2-3 信 息 论 基 础,4连续随机变量的熵 连续变量总是可以用离散变量来逼近的，根据前式有连续随机变量的熵函数:,对于正态分布随机变量，它的密度函数为：,正态分布的熵与数学期望无关，只与方差有关。,2-3 信 息 论 基 础,5多维熵 由两个或两个以上随机变量组成的熵称为多维熵。设有两个离散随机变量 X=(x1，x2，xn) Y=(y1，y2，ym)

23、 则有联合熵,对于连续随机变量有,可以推广到两个以上随机变量的熵。 多维熵有基本特性 H（X，Y）H（X）+H（Y）,2-3 信 息 论 基 础,6条件熵 两个随机变量的条件熵为,根据概率乘法定理 P(X/Y)=p(X/Y)p(Y)=p(Y/X)p(X) 有,同样可以有,条件熵的基本性质,二、信息量,1信息量的定义 信息量是不肯定程度减小的量。包含在Y变量中关于X变量的信息量为 Ix(Y)=H(Y)-H(Y/X) 还可以写成 Ix(Y)=H(Y)+H(X)-H(X,Y) 2信息量的特性 （1）信息量的非负性 因为 H(Y)H(Y/X) 所以 Ix(Y)=H(Y)-H(Y/X) 0,2-3 信

24、息 论 基 础,（2）Ix(Y) =Iy(X) 由于 Ix(Y)= H(Y)-H(Y/X)=H(Y)+H(X)-H(X,Y) Iy(X)= H(X)-H(X/Y)=H(X)+H(Y)-H(X,Y) 所以 Ix(Y) =Iy(X) 这表明X中包含Y的信息量和Y中包含X的信息量相等。 （3）当X与Y相互独立，信息 Ix(Y) =Iy(X)=0 当X与Y相互独立时，有 H(X/Y)=H(X) H(Y/X)=H(Y) 信息 Ix(Y) =H(Y)-H(Y/X)=H(Y)-H(Y)=0 Iy(X)= H(X)-H(X/Y)=H(X)-H(X)=0,2-3 信 息 论 基 础,3地图上用熵表示信息量 信息

25、量是不肯定程度减小的量，可通过熵来确定。在地图制图数据处理中，一般都假设地图信息能被人们全部接受，此时，地图要素不肯定程度减小的量就是地图要素的熵，从这个意义来讲，可以直接用熵表示信息量。,2-3 信 息 论 基 础,4信息与相关 根据前式有,2-3 信 息 论 基 础,对于条件熵有,所以,式中，r是两个随机变量X和Y的相关系数。,2-3 信 息 论 基 础,三、信息论的几个重要概念,1最大熵 在等概率情况下，熵函数的值最大。这时的熵称为最大熵，根据前式有最大熵 Hmax=logn 2相对熵 变量实有熵同它可能最大熵之比，称为相对熵，即 3剩余熵 在熵没有达到最大值时，表示一部分信息没有参加活动，称为剩余熵，也称冗余度，即 R=1-H0,4信息量的单位 信息量的单位是按对数的低来区分。以2为低的对数计算得到的信息量的单位为bit（比特），是信息量最常用的单位。以3、e、10为低的对数计算的信息量的单位，分别为tet（铁特）、net（奈特）、det（笛特）。,2-3 信 息 论 基 础,三、信息论的几个重要概念,第二章 数学基础,2-4地图制图数据处理模型的图论基础,一、基本概念,图论是借助事物的抽象图形来研究