第九章 材料力学

1、第二十四章 能量法一、 内容提要1. 杆件的变形能表达式轴向拉压U = lN 2 (x)dx2EA扭转U = lMn 2 (x)dx2GI p弯曲U = lM 2 (x)dxl2EI组合变形U = lN 2 (x)dx + lMn2 (x)dx + iM 2 (x)2EA2GI p2EI说明：（1）变形能是广义力或广义位移的二次函数，不能简单叠加。（2）变形能仅与外力的最终值有关，而与加力次序无关。（3）当杆件的各段截面不相同或内力由不同函数表示时，应分段计算变形能。（4）杆件是满足虎克定律的线弹性体,如对非线弹性体变形能将变为U = l Nd (l) + l M nd + l Md2. 卡氏

2、定理弹性系统的总变形能U = U (P1 , P2 , , Pn )是由所有作用于弹性系统的广义力Pi (i = 1,2,n) 引起的。令在 Pi 的作用点沿 Pi 方向引起的广义位移为 ，i根据卡氏定理，按下式计算广义位移 i = U说明：Pi（1）广义力与广义位移须相对应。（2）当所求位移的截面处没有相应的集中力或集中力偶时，可采用附加力 P , = 0的方法。二、 基本要求1. 理解功能原理，掌握杆件变形能的计算方法。2. 掌握用卡氏定理求结构位移的方法。3理解并掌握用能量法解超静定问题的方法。三、 典型例题分析例1 钢架ABCD 承受一对P力作用（如图1），其抗弯刚度EI、抗拉刚度EA

3、 以及 l 、a 均已知，试利用功能原理求截面A、D 之间的相对水平位移 A D 。PPxalP图1解：（1）内力分量AB（CD）段：M (x) = PxBC 段：M (x) = PaN (x) = P（2）变形能计算U = U AB + UBC + UCD= 20a(Px)2 dx+ 0l(Pa)2 dx+ 0lP2dx=P2a3+P2a2l+P2l2EI2EI2EA3EI2EI2EA（3） A D 的计算由 U = W = 12 P AD得 AD = 2Pa3 + Pa2l + Pl3EI EI EA例2杆件受力如图2，抗弯刚度EI ，试用卡氏定理计算B截面的竖直位移 By 。PACBll

4、P图 2解法一为了区分梁上的两个力，可将作用于 B 截面的力标为 P1BC 段M (x1 ) = P1x1M (x1 )= x1(0 x a)P11AC 段M (x2 ) = P1 x2 P(x2 a)M (x2 )= x2(a x2 2a)P1 By =U= 0aM (x1 )M (x1 )dx1 +02aM (x2 )M (x2 )dx2PEIPEIP111= a P1x1 x1 dx1 + 2a P1 x2 P(x2 a) x2 dx20 EI0EI令P = P则=11Pa3()By16EI解法二：在截面上施加一附加力P, y = 0BC 段 M (x1 ) = P1x1 + P, y

5、x1M (x1 )= x1(0 x1 a)P1AC 段 M (x2) = P x+ P,y x P(x a)M (x2 )= x2(a x 2a)1222P12 By = U = a M (x1 ) M (x1 ) dx1 + 2a M (x2 ) M (x2 ) dx2P1 0 EIP10EIP1= 0a(P1 x1 + P, y x1 ) x1dx1+ 02aP1x2 + P, y x2 P(x2 a) x2dx2EIEI令 P, y = 0则 By=11Pa3()6EI例3图3a中,各杆长均为 l,抗拉压刚度均为 EA,求铅垂力作用时各杆的内力BX 33N3B33AAAC1 45 45

6、2D145 4521 45 452PCPDCPD图3a图3b图3c解：此为一次超静定结构，采用解除内力约束的方法。在3杆任意截面处切开，多余未知力为 N。3（图3b ）N1 = N2 = (P N3 ) /由静力学条件2N32l(P N3 ) /2 lU =2则系统的变形能+ 2 2EA2EA由卡氏定理U=N3l(P N3 )l= 0EAN3EAP两斜杆所受轴向压力N1 = N2 =2PN3 =24说明：此题也可解除外约束，如解除B支座铅垂方向的约束, 如图3c所示，多余未知力为约束反力 X 3 ，变形协调条件为B点的铅垂位移等于0 。四、 作业题1 圆截面直杆的横截面面积为 A，长度为 ,弹

7、性模量为l E。上端 固定，下端受中心拉力 P 作用，设直杆自重为 P，试求杆的弹性变性能。 l答案： U = 7P2l6EAP2 试求图 2 悬臂梁 B 截面的挠度及转角。设 EI 为常数。 qA Caa图 2答案：y B =7qa 4（向下）B =qa 3（顺时针方向）6 EI24EI3 图 3 悬臂梁受集中力偶矩M0 的作用。若 EI 、l均为已知，试利用功能原理求自由端 C 截面的转角 c 。 = 3 M 0l答案：c4EI（顺时针）M0A2EIBEICll22图 34 等截面直杆 AB 和 BC 组成的构架受力如图 4。若两杆的抗拉（压）刚度均为 EA, 设P、 、E、A 都l已知。试利用功能原理求 B 的竖直位移。=1.9 Pl答案：BEA （向下）Al0.8lCB0.6l