高等数学习题详解-第8章 二重积分

1、.习题8-11. 设有一平面薄片，在xoy平面上形成闭区域d，它在点(x,y)处的面密度为(x,y)，且(x,y)在d连续，试用二重积分表示该薄片的质量.解：.2. 试比较下列二重积分的大小：(1) 与，其中d由x轴、y轴及直线x+y=1围成；(2) 与，其中d是以a(1,0)，b(1,1)，c(2，0）为顶点的三角形闭区域.解：(1)在d内，. (2) 在d内，, 习题8-21. 画出积分区域，并计算下列二重积分：(1) ，其中d为矩形闭区域：；(2) ，其中d是由两坐标轴及直线x+y=2所围成的闭区域；(3) ,其中d是由直线y=2,y=x,y=2x所围成的闭区域；(4) ,其中d是半圆形

2、闭区域:x2+y24,x0；(5) ,其中d为:0x4,1ye；(6) 其中d是由曲线所围成的闭区域.解：(1) (2) (3) (4) 因为被积函数是关于y的奇函数，且d关于x轴对称，所以 (5) . (6) .精品.2. 将二重积分化为二次积分（两种次序）其中积分区域d分别如下：(1) 以点(0,0),(2,0),(1,1)为顶点的三角形；(2) 由直线y=x及抛物线y2=4x所围成的闭区域；(3) 由直线y=x,x=2及双曲线所围成的闭区域；(4) 由曲线y=x2及y=1所围成的闭区域.解：(1) (2) (3) (4) 3. 交换下列二次积分的积分次序：(1) ； （2）； (3) ；

3、 (4) .解：(1) .(2) (3) (4) .4. 求由平面x=0,y=0,x=1,y=1所围成的柱体被平面z=0及2x+3y+z=6截得的立体体积.解：5. 求由平面x=0,y=0,x+y=1所围成的柱体被平面z=0及曲面x2+y2=6z截得的立体体积.解：习题8-31. 画出积分区域，把二重积分化为极坐标系下的二次积分,其中积分区域d是：(1) x2+y2a2(a0)； (2) x2+y22x；(3) 1x2+y24； (4) 0y1x,0x1.解：(1) (2) (3) (4) 精品.2. 把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值：(1) ；(2) 解：(1) .(2) 3. 在极坐

4、标系下计算下列二重积分：(1),其中d是圆形闭区域: x2+y21；(2) ,其中d是由圆周x2+y2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域；(3) ，其中d是由圆周x2+y2=1,x2+y2=4及直线y=0,y=x所围成的在第一象限内的闭区域；(4) 其中d由圆周x2+y2=rx(r0)所围成.解：(1) (2) .(3) (4) .4. 求由曲面z=x2+y2与所围成的立体体积.解：两条曲线的交线为x2+y2=1，因此，所围成的立体体积为：习题8-41. 计算反常二重积分，其中d：x0,yx.2. 计算反常二重积分，其中d：x2+y21.精品.解：1. 所以2. 由，得复习题8（a）1.

5、 将二重积分化为二次积分(两种次序都要)，其中积分区域d是：(1) x1,y2;(2) 由直线y=x及抛物线y2=4x所围成.解：(1) (2) 2. 交换下列两次积分的次序：(1);(2);(3)解：(1) .(2) .(3) .3. 计算下列二重积分：(1) ， d: x1,y1;(2) ,d由直线y=1,x=2及y=x围成；(3) ,d由y=x和y=x围成；(4) ，d:x+y1;(5) ，d由与y=x围成；(6) ，d是圆域x2y2r2；解: (1) .(2) .(3) .精品.(4) .(5) .(6) .4. 已知反常二重积分收敛，求其值其中d是由曲线y=4x2与y=9x2在第一象

6、限所围成的区域 解：设则 .所以.5. 计算解：由第四节例2以及是偶函数，可知.6. 求由曲面z=0及z=4-x2-y2所围空间立体的体积解：曲面z=0和z=4-x2-y2的交线为x2+y2 =4.因此，所围空间立体的体积为： .7. 已知曲线y=lnx及过此曲线上点(e，1）的切线(1) 求由曲线y=lnx，直线和y=0所围成的平面图形d的面积；(2) 求以平面图形d为底，以曲面z=ey为顶的曲顶柱体的体积解：(1) .(2) .（b）1. 交换积分次序： (1) ； （2）； (3) ； (4) .解：(1) .精品.(2) .(3) .(4) .2. 计算积分.解： .3. 计算积分.解： 令,则原式 .4. 设函数f(x)在区间上连续，且，求.解：设