数列极限及其性质

1、第2讲 数列极限概念及其性质授课题目数列极限概念及其性质教学内容1. 数列概念，2.数列收敛与发散的定义； 3. 无穷小数列及其性质；数列极限的唯一性、有界性、保号性、保不等式性教学目的和要求通过本次课的教学，使学生能够较好地理解数列极限的分析定义、数列极限的唯一性、有界性、保号性、保不等式性；学会证明数列极限的基本方法，懂得数列极限的分析定义中 与 的关系学会若干种用数列极限的分析定义证明极限的特殊技巧.教学重点及难点教学重点：数列极限的分析定义；教学难点：数列极限的分析定义中与的关系.教学方法及教材处理提示(1) 本讲的重点是数列极限的分析定义，要强调这一定义在分析中的重要性具体教学中先教

2、会他们证明 ， ，( ，然后教会他们用这些无穷小量来控制有关的变量（适当放大但仍小于这些无穷小量）；(2)数列极限的分析定义仍是教学难点对较好学生可要求他们用数列极限的分析定义证明较复杂的数列极限，还可要求他们深入理解数列极限的分析定义；(3) 关于数列极限的分析定义的掌握不可要求一步到位，要有一个学习过程，对多数学生可只布置一些简单证明题；（4）可对多数学生重点讲解极限唯一性质、有界性质的证明过程.作业布置作业内容：教材 :1，2（3，4）；7；8（1，2）.讲授内容一、数列极限概念 数列 或简单地记为，其中，称为该数列的通项关于数列极限，先举二个我国古代有关数列的例子（1）割圆术：“割之弥

3、细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”刘徽.园内接正边形的面积），当时，（2） 古代哲学家庄周所著的庄子天下篇引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其含义是：一根长为一尺的木棒，每天截下一半，这样的过程可以无限制地进行下去 第一天截下，第二天截下，第n天截下，这样就得到一个数列或.不难看出，数列的通项随着的无限增大而无限地接近于0一般地说，对于数列，若当无限增大时能无限地接近某一个常数，则称此数列为收敛数列，常数称为它的极限不具有这种特性的数列就不是收敛数列下面我们给出收敛数列及其极限的精确定义 定义1 设为数列，为定数若对任给的正数，总存在正整数N，使得当，

4、N时有则称数列收敛于，定数称为数列的极限，并记作，或.读作“当趋于无穷大时，的极限等于或趋于” 若数列没有极限，则称为发散数列下面举例说明如何根据定义来验证数列极限二、根据定义来验证数列极限例2 证明，这里为正数证：由于 故对任给的0，只要取N=，则当时，便有 即 这就证明了. 例3 证明.分析 由于 因此，对任给的o，只要，便有 即当时，(2)式成立故应取证 任给取据分析，当时有式成立.于是本题得证. 例4 证明=0，这里1证 若=0，则结果是显然的现设00我们有并由1+得到 对任给的只要取则当时，得，这就证明了. 注：本例还可利用对数函数的严格增性来证明，简述如下：对任给的0(不妨设0证：

5、()当时，结论显然成立. () 当时，记，则.由 得 （1）任给，由(1)式可见，当时，就有，即.所以.() 当时，,，则. 由得 （2） 任给，由（2式可见，当时，就有，即.所以. 关于数列极限的N定义，应着重注意下面几点：1的任意性：尽管有其任意性，但一经给出，就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出，又既时任意小的正数，那么等等同样也是任意小的正数，因此定义1中不等式中的可用等来代替2N的相应性： 一般说，N随的变小而变大，由此常把N写作N()，来强调N是依赖于的；但这并不意味着N是由所唯一确定的. 3从几何意义上看，“当N时有”意味着：所有下标大于N的项都落在邻域U()内；而在U(a;)之

6、外，数列中的项至多只有N个(有限个) 定义2 若，则称为无穷小数列由无穷小数列的定义，不难证明如下命题：定理 数列收敛于的充要条件是：为无穷小数列三、收敛数列的性质定理2.2(唯一性) 若数列收敛，则它只有一个极限 定理2.3(有界性) 若数列收敛，则为有界数列，即存在正数M，使得对一切正整数有证：设取，存在正数N，对一切N有 即 记 则对一切正整数都有 注：有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分条件例如数列有界，但它并不收敛 定理2.4 (保号性) 若(或)，则存在正数，使得当时有，即，这就证得结果对于的情形，也可类似地证明 注：在应用保号性时，经常取.即有，或 定理2.5(保不等式性) 设与均为收敛数列若存在正数，使得当时，有，则 请学生思考：如果把定理2.5中的条件