高中数学解析几何专题之椭圆(汇总解析版)

1、最新资料推荐圆锥曲线第1 讲椭圆【知识要点】一、椭圆的定义1. 椭圆的第一定义：平面内到两个定点F1 、 F2 的距离之和等于定长2a（ 2aF1 F2）的点的轨迹叫椭圆， 这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距。注 1：在椭圆的定义中，必须强调：到两个定点的距离之和（记作2a ）大于这两个定点之间的距离F1F2 （记作 2c ），否则点的轨迹就不是一个椭圆。具体情形如下：（）当 2a2c时，点的轨迹是椭圆；（）当 2a2c时，点的轨迹是线段F1F2 ；（）当 2a2c时，点的轨迹不存在。注2 ：若用 M 表示动点，则椭圆轨迹的几何描述法为MF1MF22a（ 2a2c ，F1 F

2、22c ），即 MF1MF2F1F2 .注 3：凡是有关椭圆上的点与焦点的距离问题，通常可利用椭圆的第一定义求解，即隐含条件： MF1MF22a 千万不可忘记。2. 椭圆的第二定义：平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数e（ 0 e 1）的点的轨迹叫做椭圆。二、椭圆的标准方程x2y21（1）焦点在 x 轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是a2b2（ ab0 ）；（2）焦点在 y 轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是y2x21a2b2（ ab0 ） .1最新资料推荐注 1：若题目已给出椭圆的标准方程，那其焦点究竟是在x 轴还是在 y 轴，主要看长半轴跟谁走。长半轴跟 x 走，椭圆的

3、焦点在 x 轴；长半轴跟y 走，椭圆的焦点在y 轴。（1）注 2：求椭圆的方程通常采用待定系数法。若题目已指明椭圆的焦点的位置，则可设x2y21y2x21其方程为 a2b2b2（ a b 0 ）；若题目未指明椭圆的焦（ a b 0 ）或 a2点究竟是在x 轴上还是y 轴上，则中心在坐标原点的椭圆的方程可设为mx2ny21（ m 0 ， n 0 ，且 mn ） .三、椭圆的性质x2y21以标准方程 a2b20 ）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。（ ab（1）范围：axa ， by b ；（2）对称性：关于x 轴、 y 轴轴对称，关于坐标原点中心对称；（3）顶点：左右顶点分别为A1

4、 (a,0) ， A2 (a,0) ；上下顶点分别为B1(0,b) ， B2 (0,b) ；（4）长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ；（5）长半轴 a 、短半轴 b 、半焦距 c 之间的关系为 a2b2c2；xa 2（6）准线方程：c；b2（7）焦准距：c；ec（8）离心率：a 且 0e1. e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁；x2y21（9）焦半径：若P( x0 , y0 ) 为椭圆 a2b2在第一象限内一点，则由椭圆的第二定义，有 PF1a ex0 ， PF2aex0 ；2最新资料推荐2b2（10）通径长：a .注 1：椭圆的焦准距指的是椭圆的焦点到其相应准线的距离。以椭圆的右焦

5、点F2 (c,0) 和右a2a2a2c2b2准线 l ：xcc .c 为例，可求得其焦准距为cc注 2：椭圆的焦点弦指的是由过椭圆的某一焦点与该椭圆交于不同两点的直线所构成的弦。椭圆的通径指的是过椭圆的某一焦点且垂直于其对称轴的弦。通径是椭圆的所有焦点弦中最x2y 21a2b20 ），过其焦点 F2 (c,0) 且垂直于 x 轴的直线短的弦。设椭圆的方程为（ a bA 、 B 两点（不妨令点A 在 x 轴的上方），则A(c, b2)B(c,b2)交该双曲线于a，a，于是该ABb2( b2)2 b2椭圆的通径长为aaa .四、关于椭圆的标准方程，需要注意的几个问题（1）关于椭圆的标准方程，最基本

6、的两个问题是：其一，当题目已指明曲线的位置特征，并给出了“特征值” （指 a 、 b 、 c 的值或它们之间的关系，由这个关系结合c2a2b2 ，我们可以确定出a、 b 、 c 的值）时，我们便能迅速准确地写出椭圆的标准方程；其二，当题目已给出椭圆的标准方程时，我们便能准确地判断出曲线的位置特征，并能得到a 、 b 、c 的值。（2）椭圆的标准方程中的参数a 、 b 、 c 是椭圆所固有的，与坐标系的建立无关；a 、 b 、c 三者之间的关系：c2a2b2 必须牢固掌握。（3）求椭圆的标准方程，实质上是求椭圆的标准方程中的未知参数a 、 b 。根据题目已知条件，我们列出以a 、 b 为未知参数

7、的两个方程，联立后便可确定出a 、 b 的值。特别需要注意的是：若题目中已经指明椭圆的焦点在x 轴或 y 轴上，则以 a 、 b 为未知参数的方程组只有一个解，即a 、 b 只有一个值；若题目未指明椭圆的焦点在哪个轴上，则以a 、 b 为未3最新资料推荐知参数的方程组应有两个解，即a 、 b 应有两个值。（4）有时为方便解题，中心在坐标原点的椭圆的方程也可设为mx2ny 21 ，但此时 m 、n 必须满足条件： m 0 ， n0 ，且 m n .五、点与椭圆的位置关系x 2y 21点 P(x0 , y0 ) 与椭圆 a 2b2（ a b 0 ）的位置关系有以下三种情形：x02y021，则点 P

8、( x0 , y0 ) 在椭圆上；（）若 a2b2x02y021，则点 P( x0 , y0 ) 在椭圆外；（）若 a2b2x02y021，则点 P( x0 , y0 ) 在椭圆内；（）若 a2b2【例题选讲】题型 1：椭圆定义的应用1. 平面内存在一动点M 到两个定点 F1 、 F2 的距离之和为常数2a （ 2aF1F2 ），则点 M的轨迹是（）A. 圆B. 椭圆C. 线段D.椭圆或线段解： 由题意知， MF1MF 2 2aF1F2（）当 2aF1F2时，点 M 的轨迹是椭圆；（）当 2aF1F2时，点 M 的轨迹是线段 F1 F2 .故点 M 的轨迹是椭圆或线段2. 已知圆 C ： (

9、x 1)2y 236 ，点 A( 1,0) ， M 是圆 C 上任意一点，线段AM 的中垂线l 和直线 CM 相交于点 Q ，则点 Q 的轨迹方程为 _.4最新资料推荐解： 圆 C ： ( x1) 2y236 的圆心坐标为 C (1,0) ，半径 r6连接 QA ，由 l 是直线 AM 的中垂线知， QM QAQAQCQMQCCM r 6而 AC2 ，QAQCAC于是点 Q 的轨迹是以 A( 1,0) ， C (1,0) 为左右焦点的椭圆，其中2a 6 ， 2c 2a 3 ， c1， b2a 2c 29 1 8又该椭圆的中心为坐标原点x2y2故点 Q 的轨迹方程为9183. 已知点 A( 3,

10、0) ，点 Q 是圆 x2y24 上的一个动点，线段AQ 的垂直平分线交圆的半径 OQ 于点 P ，当点 Q 在圆周上运动时，点P 的轨迹方程为 _.解： 圆 O ： x2y 24 的圆心坐标为 O(0,0) ，半径 r 2连接 PA ，由 l 是直线 AQ 的垂直平分线知，PQ PAPOPAPOPQOQr2而 OA3 ，POPAOA于是点 P 的轨迹是以O(0,0) ， A(3,0) 为左右焦点的椭圆，其中2a 2 ， 2c3ac3b2a2c213 11，2，44(0,3OA 的中点)3 )又该椭圆的中心为2 OA(0,2(x3 )2y2121故点 P 的轨迹方程为4(3 ,0)注： 本题点

11、 P 的轨迹方程虽是椭圆，但该椭圆不关于坐标原点对称，而是关于点2对5最新资料推荐x2y2113称，其方程可由把椭圆4沿 x 轴向右平移了2 个单位得到。4.方程2 x2y22x 2 y2 xy 2 表示的曲线是（）A.椭圆B.双曲线C. 抛物线D.线段( x 1)2( y 1)22xy 20,1解： 由 2 x2y222 x 2 y 2 x y 2 ，有2这表明，点P( x, y) 到定点 F (1,1) 的距离与它到定直线l ： xy 2 0 的距离之比等于常202数 21（2） 由 椭 圆 的 第 二 定 义 知 ， 点 P( x, y) 的 轨 迹 是 椭 圆 ， 即 方 程2 x2y

12、22x 2 y 2 x y 2表示的曲线是椭圆。x2y25. 椭圆 121F1 、 F2 ，点 P 在椭圆上。 若线段 PF1 的中点在 y 轴3的左、 右焦点分别为上，则PF1 是 PF2 的（）A. 7 倍B. 5 倍C.4 倍D. 3 倍x 2y 21中， a 212,b23, c2a 2b212 3 9解： 在椭圆 123a 2 3,b3,c3于是 F1 ( 3,0), F2 (3,0)又线段 PF1 的中点在y 轴上，而 O 是线段 F1F2 的中点PF2 y轴于是 PF2x轴222（法一）在 RtPF2 F1中， PF1PF2F1 F26最新资料推荐( PF1PF2 )( PF1P

13、F2 )F1F224c24936又由椭圆的定义，有PF1PF22a22343 PF1PF236334 3PF1433373PF2473322322联立、得，PF17327PF23故2，即 PF1是 PF2 的 7 倍。PF2b233a232 ，而 PF1PF22a22 34 3（法二）PF13734 322PF17327PF23故2，即 PF1是 PF2的 7 倍。x2y21设 F1 、 F2 为椭圆 9P ， F1 ， F2 是一个6.4的两个焦点， P 为椭圆上的一点。已知PF1直角三角形的三个顶点，且PF1PF2，则PF2=_.x 2y 2解： 在椭圆 941中， a 29,b24, c

14、2a2b2945a 3, b2, c5于是 F1 (5,0) ， F2 (5,0)F1PF290PF122F1F224 520（）当时，PF24c2又PF1PF22a 2 3 6 7最新资料推荐( PF1PF2 )2( PF1223620PF1 PF2PF2)822( PF1PF ) 2( PF1PF2)24 PFPF2364 8 4于是21又 PF1PF2PF1PF22PF1624422联立、得， PF26PF142PF22于是此时222（）当PF2 F190时， PF1PF2F1F2( PF1PF2 )( PF1PF2 )F1F2245 204c2而 PF1PF22a23 6 PF1PF2

15、2010636102814144PF13PF26联立、得，263 ，33PF11473PF242于是此时3PF17故 PF2的值为2 或2题型 2：求椭圆的方程x2y27. （1）若方程 5 k1k3表示椭圆，则 k 的取值范围是 _；x2y21（2）若方程 5 kk 3k 的取值范围是 _ ；表示焦点在 x 轴上的椭圆，则8最新资料推荐x2y21表示焦点在 y 轴上的椭圆，则（3）若方程 5kk3k 的取值范围是 _.x2y21解：（ 1）方程 5kk3表示椭圆5k0k303k4或 4k55kk3x2y2故当 k(3,4)(4,5) 时，方程 5k1k 3 表示椭圆。x2y21（2）方程 5

16、kk3表示焦点在 x 轴上的椭圆5k0k303k45kk3x2y21故当 k(3,4) 时，方程5kk3x 轴上的椭圆。表示焦点在x2y21表示焦点在 y 轴上的椭圆（3）方程 5kk35k0k304k5k35kx2y21y 轴上的椭圆。故当 k(4,5) 时，方程5kk3表示焦点在x2y 218. 已知椭圆 4m2，则 m =_.的焦距为解： 由题意知，2c 2c 1于是 a2b2c21（）x2y21（）当椭圆 4m4 ， b2m的焦点在 x 轴上时， a2于是由（ ）式，有 4m 1m 39最新资料推荐x2y21的焦点在 y 轴上时， a 2（）当椭圆4mm ， b24于是由（ ）式，有

17、m41 m 5故 m 的值为3 或 59. 已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且经过点P(3,0) ，则该椭圆的方程为 _.解： 由题设条件知， 2a3 2ba3b x2y21x 轴上时，设其方程为a2b20 ）（）当椭圆的焦点在（ a b901P(3,0) ，有 a2b2则由该椭圆过点联立、得，a29 ， b21x2y21于是此时该椭圆的方程为9y2x21y 轴上时，设其方程为a2b2b 0 ）（）当该椭圆的焦点在（ a091P(3,0) ，有 a2b2则由该椭圆过点联立、得， b29， a281y2x21819于是此时该椭圆的方程为x 2y21y 2x21故所求椭圆的方程为9

18、或 81910. 已知椭圆的中心在坐标原点、P ( 6,1)P (3, 2)，以坐标轴为对称轴， 且经过两点 1， 2则椭圆的方程为_.10最新资料推荐解： 设所求椭圆的方程为mx2ny 21 （ m0 ， n 0 ，且 mn ）1m6mn191P (6,1)P (3,2)3m2n1n，两点，有，解得：3则由该椭圆过 121 x21 y21x2y21故所求椭圆的方程为93，即 93.11. 在平面直角坐标系xoy 中，椭圆 C 的中心为坐标原点，焦点F1 、 F2 在 x 轴上，离心率为22 . 若过 F1的直线 l 交 C 于 A 、 B 两点，且ABF2 的周长为16 ，那么 C 的方程为

19、_.x2y21解： 由椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，可设其方程为a2b2（ a b 0 ）C ABF216ABBF2AF216而 ABBF1 AF1BF1AF1BF2AF2( BF1BF2 ) ( AF1AF2) 16 2a 2a 16，即 4a 16于是 a4ec2a2又c2 a242222于是 b2a2c21688x2y21故椭圆 C 的方程为 168题型 3：椭圆的性质11最新资料推荐12. 椭圆上的点到其一个焦点的距离的最小值为5，最大值为 15，则椭圆的方程为_.x2y21解： 不妨设所求椭圆的方程为a2b2（ ab0 ）设 P(x, y) 是该椭圆上任意一点，F (c

20、,0) 是其一个焦点xa cos令 yb sin， 02则 PF(a cosc)2(b sin0) 2a2 cos22ac cosc2b2 sin 2a2 cos22ac cosc2(a 2c2 ) sin 2a2 (cos2sin2 )2ac cos c 2 (1sin 2)a22ac cosc2 cos2(ac cos ) 2ac cos又 ac0， cos 1,1PFac cosac cosx2y210 ， 即 点 P(x, y) 为 椭 圆 a2b2于 是 当的 右 顶 点 时 ， PF 取 得 最 小 值 ， 且 PF minac；x2y21取得最大值， 且 PF maxc.，即点

21、P(x, y) 为椭圆 a2b2当的左顶点时， PFaac5a10因而由题意，有ac15c 5b2a2c21002575x2y21故所求椭圆的方程为10075注：由本题可见，椭圆的右（左）顶点到右（左）焦点的距离最小，到左（右）焦点的距离最大。以后在遇到相关问题时，这个结论可以直接用。13. 已知椭圆的中心在坐标原点，在x 轴上的一个焦点 F 与短轴的两个端点 B1 、 B2 的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A 的距离为 105 ，则这个椭圆的方程为_.12最新资料推荐x2y21x 轴上，可设其方程为 a2b2b 0 ）解： 由该椭圆的中心在坐标原点，焦点在（ a设 F (c,0)

22、 是该椭圆的右焦点，则与其较近的长轴的端点为A(a,0)于是有 ac105 （ ）又 B1(0,b) ， B2 (0,b) 是该椭圆上的对称点，F (c,0) 是该椭圆的右焦点B1 FB2 F又B1 FB2 FB1FB2 为等腰直角三角形，其中B1FB 290于是有 OB2OF ，即 bc又 a2b2c2a 22c2，即 a2c ，代入（），得 c5于是 a10 ， b5x 2y2101故所求椭圆的方程为5题型 4：与椭圆的焦点有关的三角形问题y2x 21F1PF23014. 设 P 是椭圆 54FF上的一点，、是该椭圆的两个焦点，且，12则 S F1PF2 =_.y 2x21中， a25,b

23、24,c2a2b2解： 在椭圆 5454 1a5, b2, c1于是 F1 (0,1) ， F2 (0,1)PF1222cos F1PF2PF2F1F2F1PF2 中，由余弦定理，有2 PF1PF2在13最新资料推荐( PF1PF2 )22 PF1PF2F1 F2224c22 PF1PF24b22 PF1 PF24a2 PF1PF22 PF1PF22 PF1 PF22b2PF1 PF28PF1PF23PF1PF2PF1 PF22PF1PF21616(23)16(23)3( 23)( 23)于是2S F PF1 PF1PF2sinF1PF21 16( 23)14(23)84 312222故x2y

24、215. 已知 F1 、 F2 分别为椭圆 161的左、 右焦点， 点 P 在该椭圆上 . 若点 P 、 F1 、 F29是一个直角三角形的三个顶点，则PF1F2 的面积为 _.x 2y 21中， a 216,b29, c2a2b216 9 7解： 在椭圆 169a 4, b3, c7于是 F1 (7 ,0) ， F2 (7,0)（）当 Rt PF1 F2 以点 F1 或 F2 为直角顶点时，b29b29PF14 或PF2F1 F22c 2 7aa 4 ，而S PF F1 PF1 F1 F21 9 2 79 7 S PF F21 PF2 F1F21 9 2 79 7122244或12244S

25、PF1 F297于是此时总有4xP7, yP9(1xP2)9(17 )9993 b并且此种情形下，1616164P(7 ,9 )x2y2161即点4 在椭圆9上，满足题意。14最新资料推荐（）当Rt PF1 F2 以点 P 为直角顶点时，设 P(x0 , y0 )S PF F1PF21y0y0PF1PF2PF1PF2PF1PF2PF1F1F21222F1F22c27则PF1PF2 2a 2 4 82224c24 7 28又，PF1PF2F1F2( PF1PF2 )22PF22642836PF1( PF1)18PF2222PF1PF21893by07277于是此时2x2y21这表明，此种情形下，点P( x0 , y0 ) 在椭圆 169外，不满足题意。9故 PF1F27的面积为416. 已知 F1 、 F2 是椭圆在 x 轴上的两个焦点，P 为椭圆上一点， F1PF260 .（1）求该椭圆离心率的取值范围；（2）求证：F1 PF2 的面积只与该椭圆的短轴长有关.x2y21解（ 1）：由该椭圆的焦点在x 轴上，可设其方程为a 2b2（ ab0 ）2PF22F1F22cos F1PF2PF12 PF1 PF2在 F1PF2 中，由余弦定理，有( PF1PF2