高一数学教案：导数的应用问题

1、导数的应用问题重难点归纳1f(x) 在某个区间内可导，若f (x) 0,则 f(x)是增函数；若f (x) 0,则 f(x)是减函数2求函数的极值点应先求导，然后令 y =0 得出全部导数为0 的点， (导数为 0 的点不一定都是极值点， 例如y=x3,当 x=0 时，导数是 0，但非极值点 )，导数为 0 的点是否是极值点，取决于这个点左、右两边的增减性，即两边的y的符号，若改变符号，则该点为极值点；若不改变符号， 则非极值点， 一个函数的极值点不一定在导数为0 的点处取得， 但可得函数的极值点一定导数为03 可导函数的最值可通过 (a,b)内的极值和端点的函数值比较求得，但不可导函数的极值

2、有时可能在函数不可导的点处取得， 因此，一般的连续函数还必须和导数不存在的点的函数值进行比较，如 y=|x|, 在 x=0 处不可导，但它是最小值点典型题例示范讲解例 1 已知 f(x)=ax3+bx2+cx(a 0)在 x= 1 时取得极值，且f(1)= 1(1)试求常数 a、 b、c 的值；(2)试判断 x= 1 是函数的极小值还是极大值，并说明理由命题意图利用一阶导数求函数的极大值和极小值的方法是导数在研究函数性质方面的继续深入是导数应用的关键知识点，通过对函数极值的判定，可使学生加深对函数单调性与其导数关系的理解知识依托解题的成功要靠正确思路的选择本题从逆向思维的角度出发，根据题设结构

3、进行逆向联想，合理地实现了问题的转化，使抽象的问题具体化这是解答本题的闪光点错解分析本题难点是在求导之后，不会应用f( 1)=0的隐含条件，因而造成了解决问题的最大思维障碍技巧与方法考查函数 f(x)是实数域上的可导函数，可先求导确定可能的极值，再通过极值点与导数的关系，建立由极值点x= 1 所确定的相等关系式，运用待定系数法求值解 (1)f(x)=3ax2+2bx+cx= 1 是函数 f(x)的极值点， x= 1 是方程 f (x)=0,即 3ax2+2bx+c=0 的两根2b03ac1由根与系数的关系，得3a又 f(1)= 1, a+b+c= 1,1 ,b 0,c3由解得 a= 22 ,1

4、3(2)f(x)= 2 x3 2 x,3 3 3 f (x)= 2 x2 2 = 2 (x 1)(x+1)当 x 1 或 x 1 时， f (x) 0当 1 x1 时， f (x) 0第 1页共 8页函数 f(x)在 ( , 1)和(1,+ )上是增函数，在 ( 1， 1)上是减函数当 x=1 时，函数取得极大值 f(1)=1,当 x=1 时，函数取得极小值 f(1)= 1例 2 在甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A 处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km 的 B 处，乙厂到河岸的垂足 D 与 A 相距 50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站 C，从供水站到甲厂和乙厂的水

5、管费用分别为每千米3a 元和 5a 元，问供水站 C 建在岸边何处才能使水管费用最省？命题意图学习的目的，就是要会实际应用，本题主要是考查学生运用导数知识解决实际问题的意识，思想方法以及能力知识依托解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化，形式化，抽象成数学问题，再划归为常规问题，选择合适的数学方法求解错解分析本题难点是如何把实际问题中所涉及的几个变量转化成函数关系式技巧与方法根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的联系方式，适当选定变化，构造相应的函数关系解法一根据题意知

6、， 只有点 C在线段 AD 上某一适当位置，才能使总运费最省，设C 点距D 点 x km,则 BD=40,AC=50 x,BC= BD 2CD 2x 240 2又设总的水管费用为y 元，依题意有y=30(5a x)+5a x2402(0 x 50)5axy = 3a+x2402 ,令 y =0,解得 x=30在 (0,50) 上， y 只有一个极值点，根据实际问题的意义，函数在 x=30(km)处取得最小值，此时 AC=50x=20(km)供水站建在A、 D 之间距甲厂20 km 处，可使水管费用最省40解法二设 BCD=Q,则 BC=sin,CD=40cot ,(0 2 ), AC=50 4

7、0cot设总的水管费用为 f( ),依题意，有40f( )=3a(50 40cot )+5a sin53cos=150a+40asin(5 3cos ) sin(5 3cos ) (sin )3 5cossin240af ()=40asin2第 2页共 8页3令 f ()=0,得 cos= 53根据问题的实际意义，当cos = 5 时，函数取得最小值，43此时 sin = 5 , cot = 4 ,AC=50 40cot =20(km), 即供水站建在A、 D 之间距甲厂20 km 处，可使水管费用最省例 3 已知 f(x)=x2+c,且 f f(x) =f(x2+1)(1)设 g(x)=f

8、f(x) ,求 g(x)的解析式；(2)设 (x)=g(x) f(x),试问是否存在实数 ,使 (x)在 ( , 1)内为减函数，且在( 1，0)内是增函数解 (1)由题意得 ff(x) =f(x2+c)=(x2+c)2+cf(x2+1)=(x2+1)2+c, f f(x)=f(x2+1) (x2+c)2+c=(x2+1)2+c, x2+c=x2+1, c=1 f(x)=x2+1,g(x)=f f(x) =f(x2+1)=(x2+1)2+1(2) (x)=g(x) f(x)=x4+(2 )x2+(2 )若满足条件的存在，则(x)=4x3+2(2 )x函数 (x)在 ( , 1)上是减函数，当

9、x 1 时， (x)0即 4x3+2(2 )x0 对于 x ( , 1)恒成立2(2 ) 4x2, x 1, 4x2 42(2 ) 4,解得 4又函数 (x)在 (1,0)上是增函数当 1 x 0 时， (x) 0即 4x2+2(2 )x0 对于 x ( 1,0)恒成立2(2 ) 4x2, 1 x0, 4 4x2 02(2 ) 4,解得 4故当 =4 时， (x)在 ( , 1)上是减函数，在( 1,0)上是增函数，即满足条件的存在学生巩固练习f ( x)1limx= 1,则 f(0)()设 f(x)可导，且 f (0)=0,又 x 0A可能不是 f(x)的极值B一定是 f(x)的极值C一定是

10、 f(x)的极小值D等于 02设函数 fn(x)=n2x2(1 x)n(n 为正整数 )，则 fn(x)在 0,1上的最大值为 ( )2nnn 1(1)4()A0B 1C2 nDn2第 3页共 8页3函数 f(x)=loga(3x2+5x 2)(a 0 且 a 1)的单调区间 _4在半径为 R 的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_时它的面积最大5设 f(x)=ax3+x 恰有三个单调区间，试确定a 的取值范围，并求其单调区间6设 x=1 与 x=2 是函数 f(x)=alnx+bx2+x 的两个极值点(1)试确定常数a 和 b 的值；(2)试判断 x=1,x=2 是函数 f(x)的极大值还

11、是极小值，并说明理由7 已知 a、 b 为实数，且 b ae,其中 e 为自然对数的底，求证 ab ba4xa8 设关于 x 的方程 2x2ax 2=0 的两根为、 ( ),函数 f(x)= x 2 1(1)求 f( ) f( )的值；(2)证明 f(x)是，上的增函数；(3)当 a 为何值时， f(x)在区间，上的最大值与最小值之差最小？参考答案limf ( 0)f (0)1 解析x = 1,故存在含有0 的区间 (a,b)使当 x (a,b),x 0 时x 0,于是当由 x 0x (a,0)时 f (0) 0,当 x (0,b) 时， f (0) 0,这样 f(x)在 (a,0)上单增，在

12、(0,b)上单减答案 B2 解析 f n(x)=2xn2(1 x)n n3x2(1 x)n-1 =n2x(1 x)n-1 2(1 x)nx ,2令 f n(x)=0,得 x1=0,x2=1,x3= 2n ,2易知 fn(x) 在 x= 2n 时取得最大值，222n最大值 fn(2 n )=n2( 2 n )2(1 2n )n=4 ( 2n )n+1答案 D13 解析函数的定义域是 x 3或 x 2,log a e(6x5) log a ef (x)= 3x25x2 (3x2+5x 2)=(3x1)( x2) ,1若 a 1,则当 x 3 时， logae 0,6x+50,(3x 1)(x+2)

13、 0,1f (x) 0,函数 f(x)在 ( 3 ,+)上是增函数，x 2 时， f (x) 0第 4页共 8页函数 f(x)在 ( , 2)上是减函数11若 0 a 1,则当 x 3 时， f (x)0, f(x)在 ( 3 ,+ )上是减函数，当 x 2 时， f (x) 0, f(x)在( ,2)上是增函数答案 ( , 2)4 解析设圆内接等腰三角形的底边长为2x,高为 h，22那么 h=AO+BO=R+Rx ,解得x2=h(2R h),于是内接三角形的面积为S=x h=( 2Rh h2 ) h(2Rh3h4 ) ,A1 (2Rh31Sh4 )2 (2Rh3h 4 )从而2O12BC1(

14、 2Rh3h4 ) 2 (6Rh24h3 )h (3R2h)D2(2Rh) h33令 S=0,解得 h= 2 R,由于不考虑不存在的情况，所在区间(0,2R)上列表如下h333(0, 2 R)2 R( 2 ,2R)S+0S增函数最大值减函数3由此表可知，当x= 2 R 时，等腰三角形面积最大3答案2 R5解f (x)=3ax2+1若 a 0,f (x)0 对 x( ,+ )恒成立，此时 f(x)只有一个单调区间，矛盾若 a=0,f (x)=1 0, x( ,+ ),f(x)也只有一个单调区间，矛盾11若 a 0, f (x)=3a(x+ 3 | a | ) (x3| a | ),此时 f(x)

15、恰有三个单调区间11a 0 且单调减区间为 ( ,3 | a |)和(3 | a | ,+ )，第 5页共 8页11单调增区间为 (3 | a | ,3 | a | )a6解f (x)= x +2bx+1(1)由极值点的必要条件可知f (1)=f (2)=0,a21即 a+2b+1=0,且 2 +4b+1=0,解方程组可得a= 3 ,b= 6 ,2 1 f(x)= 3 lnx 6 x2+x21(2)f (x)= 3 x-1 3 x+1,当 x (0,1)时， f (x) 0,当 x (1,2)时， f(x)0,当 x (2,+ )时， f (x) 0,5故在 x=1 处函数 f(x)取得极小值

16、6 ,在 x=2 处函数取得极大值7 证法一b a e,要证 ab ba,只要证 blna alnb,a设 f(b)=blna alnb(b e),则 f (b)=lna ba b a e, lna1,且 b 1,f (b) 0函数 f(b)=blna alnb 在(e,+ )上是增函数， f(b) f(a)=alna alna=0,即 blna alnb 0, blna alnb, ab ba423 3 ln2ln aln b证法二要证 ab ba,只要证 blna alnb(e a b ) ,即证ab,ln x1ln x设 f(x)= x (xe)，则 f (x)= x 2 0,函数 f(

17、x)在 (e,+ )上是减函数，又ea b,ln aln bf(a) f(b), 即 ab , ab ba888 解 (1)f( )=a 2 16 a ,f( )=a 2 16 a ,f( )=f( )=4第 6页共 8页(2)设 (x)=2x2ax2,则当 x时， (x) 0,( 4xa) ( x 21)( 4xa)( x 21) 4( x21)2 x(4 x a)f ( x)( x21) 2( x21) 22(2 x 2ax2)2( x )0( x 21)2( x 21)2函数 f(x)在 (， )上是增函数(3)函数 f(x)在，上最大值f( ) 0,最小值 f( ) 0, |f( )f

18、( )|=4,当且仅当f( )= f( )=2 时，f( )f( )=|f( )|+|f( )| 取最小值4 ，此时 a=0,f()=2.课前后备注新教材中的思维观点数学科学具有高度的综合性、很强的实践性， 不断的发展性， 中学数学新教材打破原教材的框架体系，新增添了工具性、实践性很强的知识内容，正是发展的产物新教材具有更高的综合性和灵活多样性，更具有朝气与活力， 因此，把握新教材的脉搏，培养深刻严谨灵活的数学思维，提高数学素质成为燃眉之需新教材提升与增添的内容包括简易逻辑、平面向量、空间向量、线性规划、概率与统计、导数、研究型课题与实习作业等，这使得新教材中的知识内容立体交叉，联系更加密切， 联通的渠道更多，并且富含更高的实用性因此在高考复习中，要通过总结、编织科学的知识网络，求得对知识的融会贯通，揭示知识间的内在联系做到以下几点一、深刻领会数学思想方法，把立足点放在提高数学素质上数学的思想方法是数学的精髓，只有运用数学思想方法，才能把数学的知识与技能转化为分析问题与解决问题的能力，才能形成数学的素质知识是能力的载体，领悟并逐步学会运用蕴含在知识发