函数的概念【学习课资】

1、1,公开课资,学点一,学点二,学点三,学点四,学点五,2,公开课资,1.设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中 的，在集合B中都有 和它对应，那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数， 记作 . 2.（1）对于函数y=f(x),xA，其中，x叫做自变量,x的取值范围A叫做 ；与x的值相对应的y值叫做 ，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的 . （2）函数的三要素： 、 、 . 3.对于函数y=f(x)，以下说法正确的有 .（填正确选项的序号） y是x的函数；对于不同的x,y的值也不同；f(a)表示当x=a时,函数f(x)的值，是一个常量；f(x)一定可以用一个具

2、体的式子表示出来.,y=f(x),xA,函数的定义域,函数值,值域,定义域A,值域B,对应关系,任意一个数x,唯一确定的数f(x),3,公开课资,4.函数y=x2(xR)，表明的“对应关系”是 ，它的定义域是 ，值域是 . 5.设a,b是两个实数，而且ab. （1）我们规定：满足不等式axb的实数x的集合叫做闭区间，表示为 ；满足不等式axb的实数x的集合叫做 ，表示为 ；满足不等式axb或axb的实数x的集合叫 做 ，分别表示为(a,b或a,b)这里的实数a与b都叫做相应区间的端点. （2）实数集R可以用区间表示为 ,“”读作“无穷大”. （3）我们可以把满足xa,xb的实数x的集合表示为

3、，（-,b）. 6.求函数定义域的主要依据：整式函数的定义域为 ，分式的分母 ，偶次方根的被开方数是 ，求函数的值域主要有观察分析法、二次函数的 法、二次方程的 法等.,取平方,R,y|y0,a,b,开区间,(a,b),半开半闭区间,(-,+),a,+),R,非负实数,配方,判别式,不等于0,4,公开课资,学点一 函数的概念,【分析】两个函数是否为同一函数,取决于函数的定义域、值域、对应法则是否相同，故只需由此判定.,下列各组函数中,表示同一函数的是 .(填正确选项的序号) (1)f(x)=|x|,g(x)=x2; (2)f(x)= ,g(x)=x+1; (3) .,5,公开课资,【评析】当两

4、个函数相同时,需定义域、值域、对应法则分别相同，而当定义域相同，对应法则也相同时，值域必相同，故只需判定定义域和对应法则相同即可，若否定相同的函数可以从定义域、值域、对应法则三方面中找不同，只要找到一方面不同即可.,【解析】(1)f(x)=|x|与g(x)=x2=|x|的解析式和定义域完全相同,所以是同一函数. (2)f(x)= =x+1(x1)与函数g(x)=x+1的解析式相同, 但定义域却不同,所以不是同一函数. (3)求f(x)= 的定义域,由x2-10得x|x1或x-1,而g(x)= 的定义域,由x-10, x+10,得x1, 即x|x1,所以两函数定义域不同,故不是同一函数.,6,公

5、开课资,下列函数中，哪个与函数 相同？ （1）y=x ;（2）y=-x ; （3）y= ;（4）y= .,解：1）y= x = (x0)与y= 定义域相同，但对应法则不相同，所以这两个函数是不同的. 2）y=-x = (x0)与y= 对应法则是相同的，定义域也是相同的，所以这两个函数是相同的. (3)y= (x0)与函数y= 对应法则不同，定义域也不相同，所以这两个函数是不同的. 4）y= = (x0)与函数y= (x0)对应法则是相同的， 但它们的定义域不同，所以这两个函数不是同一个函数.,7,公开课资,学点二 求具体函数的定义域,【分析】要求使函数表达式有意义的自变量的取值范围，可考虑列不

6、等式或不等式组.,求函数的定义域：,8,公开课资,【评析】求函数的定义域主要是解不等式（组）或方程 来获得.如果不加说明，所谓函数的定义域就是自变量使 函数式有意义的集合. （1）若f(x)为整式，则定义域为R. （2）若f(x)为分式，则定义域是使分母不为零的x的集合. （3）若f(x)为偶次根式，则定义域为使被开方式非负的x的集合.,9,公开课资,10,公开课资,学点三 抽象函数的定义域,【分析】正确理解函数定义域的概念，理解函数f(x)定义域 是x的取值范围.,（1）已知函数f(x)的定义域是0,4，求函数f(x2)的定义域； （2）已知函数f(2x+1)的定义域是-1,3，求函数f(x

7、)的定义域; （3）已知函数f(x2-2)的定义域是1,+)，求函数 的定义域.,11,公开课资,【评析】（1）已知f(x)的定义域，求fg(x)的定义域，一般设u=g(x)，则u的取值范围就是f(x)的定义域，通过解不等式可求； （2）已知fg(x)的定义域为D，求f(x)的定义域，就是求g(x)在D上的值域.,【解析】（1）f(x)的定义域为0,4, 0 x24, x-2,00,2. f(x2)的定义域为-2,2. （2）f(2x+1)的定义域为-1,3, -1x3，-12x+17. f(x)的定义域为-1,7. （3）f(x2-2)的定义域为1,+), x1,x2-2-1. x2-1,即

8、x-2. 的定义域为-2,+).,12,公开课资,(1)f(x)的定义域为1,4， 使f(x+2)有意义的条件是1x+24，即-1x2. 故f(x+2)的定义域为-1，2. (2) 的定义域为0,3, 1x+14, 1 2. f(x)的定义域为1,2.,(1)若函数f(x)的定义域为1,4，求f(x+2)的定义域; (2)若f 的定义域为0,3，求f(x)的定义域.,13,公开课资,学点四 函数的值域,【分析】根据各个式子不同的结构特点,选择不同的方法.,求下列函数的值域: (1)y=x2-4x+6,x1,5); (2)y= ; (3)y= ; (4)y= ; (5)y= .,【解析】(1)配

9、方得y=(x-2)2+2. x1,5),由图可知函数的值域为y|2y11.,14,公开课资,(2)借助反比例函数的特征求解. 函数的值域为 (3) 又当x=1时,原式 . 函数的值域为,15,公开课资,(5)函数关系式中有根式,去掉根号的常用方法就是换元法. 令x-1=t,则t0,x=t2+1. y=2(t2+1)-t=2t2-t+2= . t0,y 函数y=2x-x-1的值域是 ,+).,(4)该函数的分子、分母分别是关于x的二次式,因而可考虑转化为关于x的二次方程,然后利用判别式法求值域. 已知函数式可变形为yx2+2yx+3y=2x2+4x-7. 即(y-2)x2+2(y-2)x+3y+

10、7=0, 当y2时,将上式视为关于x的一元二次方程. xR,0, 即2(y-2)2-4(y-2)(3y+7)0，解得 y2. 当y=2时,32+70, y2,函数的值域为 .,16,公开课资,【评析】求函数的值域是一个比较复杂的问题,要通过不断练习及时总结,根据不同的题目类型选择不同的方法. (1)与二次函数有关的函数,可用配方法(注意定义域); (2)形如y=ax+b 的形式,可用换元法.即设t= ,转化成二次函数，再求值域(注意t0); (3)形如y= 型的函数可借助反比例函数,求其值域,这种函数的值域为 ; (4)形如y= (a,m中至少有一个不为零)的函数 求值域,可用判别式法求值域,

11、但要注意以下三个问题:一是检验当二次项系数为零时,方程是否有解,若无解或使函数无意义,都应从值域中去掉该值;二是闭区间的边界值也要考查达到该值的x是否存在;三是分子分母必须无公因式.,17,公开课资,求下列函数的值域: (1)y=x2-2x,x0,3; (2)y=x+ ; (3)y=|x+1|+|x-2|.,(1)y=x2-2x=(x-1)2-1,如图所示, 函数的值域为-1,3.,18,公开课资,(3)解法一:运用绝对值的几何意义. |x+1|+|x-2|的几何意义表示数轴上的动点x与-1以及2的距离的和,结合数轴,易得|x+1|+|x-2|3, 函数的值域为3,+).,(2)换元法. 令

12、=t,t0,则x= ,函数化为 t0,y ,函数y=x+ 的值域为 ,+).,19,公开课资,解法二:转化为函数图象,运用数形结合法. 在函数y=|x+1|+|x-2|中，由|x+1|=0，|x-2|=0得x=-1，2. 把定义域分成三个区间：(-,-1,(-1,2,(2,+). 该函数图象如图所示.由图象 知函数的值域为3,+).,20,公开课资,学点五 函数定义域、值域的应用,【分析】利用函数定义域为R,mx2-6mx+m+80在R上恒成立建立不等式或不等式组求m.,【评析】二次函数定义域为R，二次不等式在R上恒成立，也可转化为二次函数与二次方程关系求解.,函数y= 的定义域是R,求实数m

13、的取值范围.,【解析】(1)当m=0时，y= ,定义域为R. (2)当m0时,由已知得 0m1. 综上所述,m的取值范围为0,1.,21,公开课资,若函数 的定义域为R,求实数a的取值范围.,依题意得当xR时,(a2-1)x2+(a-1)x+ 0恒成立. (1)当a2-1=0,即当a2-1=0 由a+10时,有a=1,此时有 (a2-1)x2+(a-1)x+ =1.可知当xR时,(a2-1)x2+(a-1)x+ 0恒成立, a=1. (2)当a2-10,即当a2-10 =(a-1)2-4(a2-1) 0时, 有a21 a2-10a+90,1a9. 综上所述,当xR时,a的取值范围为1,9 .,

14、22,公开课资,判断两个函数是否是同一函数,主要看定义域及化简后的解析式是否相同.该类问题主要考查对函数三要素的理解.,1.如何判断两个函数是否相同?,2.怎样求函数的定义域?应注意什么问题?,求函数的定义域主要是通过解不等式(组)或方程来获得. 一般地,我们约定:如果不加说明,函数的定义域就是自变量中使函数的解析式有意义的自变量的集合. （1）若f(x)是整式,则定义域为R. （2）若y= ,则g(x)0，且f(x)有意义. （3）若y= 则f(x)0.,23,公开课资,24,公开课资,求函数的值域是一个比较复杂的问题,虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后,值域就应该完全确定了,但求值域特

15、别要注意方法,常用的方法有 (1)观察法.通过对函数解析式的简单变形,利用熟知的基本函数的值域,或利用函数图象的“最高点”和“最低点”,观察求得函数的值域,这就是观察法. (2)配方法.对二次函数型的解析式可先进行配方,在充分注意到自变量取值范围的情况下,利用求二次函数的值域的方法求函数的值域,这就是配方法. (3)判别式法.将函数视为关于自变量的二次方程,利用判别式求函数值的范围,常用于求一些“分式”函数、无理函数等的值域,使用此法要特别注意自变量的取值范围.,3.求函数的值域的方法有哪些?,25,公开课资,(4)换元法.通过对函数的解析式进行适当换元,可将复杂的函数化归为几个简单的函数,从而利用基本函数的取值范围求函数的值域. 求函数的值域没有通用的方法和固定的模式,要靠自己在解题过程中进行进一步探索和积累,除了上述常用的方法外,还有最值法、数形结合法等,应注意选择最优的解法.总之,求函数的值域关键是要重视对应法则的作用,还要特别注意定义域对值域的制约.,26,公开课资,为便于判断两个函数解析式是否是同一个函数,对于复杂的解析式可先化简,再比较.化简时,应保持同解变形,也就是说既不能扩大也不能缩小未知数的允许值的范围.函数与其自变量用什么字母表示无关,只要定义域与对应法则相同就是相同的函数,这就