第二章§2.6 §2.7周期与瞬态强迫振动.ppt

1、,(2.44),(2.45),(2.47),简化为二阶常系数非齐次线性常微分方程,瞬态响应,稳态响应,(2.48),一个单一的简谐力作用下系统的振动响应,系统激励,系统响应,激励与响应具有相同的频率，系统的作用有于一个放大器线性振动特点 有限个简谐激励同时作用时，系统的响应满足叠加原理 理解？,振动系统,稳态响应,系统激励,系统响应,复函数解法,周期信号的分解与合成,若将(1)式中同频率项加以合并，可以写成另一种形式,5,两种表达式中的系数的关系为：,(1)或(5)表明，任意周期信号可以分解为直流和各次谐波之和。 为周期信号的平均值，它是周期信号中所包含的直流分量，当 时，(5)式中的正弦信号

2、称为一次谐波或基波；当 时，正弦信号称为二次谐波，以此类推。各次谐波的频率是基波的整倍数。,频谱的概念,周期信号频谱和特点 1、周期信号的频谱由不连续的线条组成，每一条线代表一个正弦量，故称为离散频谱； 2、周期信号频谱的每条谱线只能出现在基波频率的整数倍频率上。这就是周期信号频谱的谐波性； 3、各次谐波的振幅，总的趋势是随着谐波次数的增高而逐渐减小。所以，周期信号的频谱具有收敛性。 以上就是周期信号频谱的三个特点：离散性、谐波性、收敛性。这是所有周期信号共有的特点。 4、离散频谱与连续频谱 当周期信号的周期T增大，其频谱中的谱线也相应地渐趋密集，频谱的幅度也相应的渐趋减小。当 时，频谱线无限

3、密集，频谱幅度无限趋小。这时，离散频谱就变成连续频谱。,26 周期强迫振动,非简谐的周期激励在工程结构的振动中大量存在。旋转机械失衡产生的激励多半是周期激励。一般来说，如果周期激励中的某一谐波的幅值比其他谐波的幅值大的多，多可做为简谐激励。反之，则应按周期激励求解。求解周期激励下系统的响应问题需要将激励展为傅里叶级数，然后分别求出各个谐波所引起响应，再利用叠加原理得到系统的响应。,设单自由度振动系统受到一个周期为T的激励F(t)作用，令F(t)kf(t)，,(2.110),f(t) 傅里叶级数的复函数表达式,f(t),2/T,系统运动微分方程可写成,非简谐激励的傅里叶级数,其中的第p项激励为,

4、系统对应微分方程式,求得系统第p项稳态响应为,复频率响应与相位角,根据叠加原理，方程(2.110)的解为,(2.111),分析：激励的每个谐波只引起与自身频率相同的响应，这是线性振动系统的特点。,无数个激励叠加，产生无数个响应的叠加,大大高于固有频率的高次谐波得不到系统的放大，接近固有频率的谐波被系统放大。因此系统的响应函数x(t)（曲线）不一定与f(t)相似，但周期是一致的,t,T,系统响应,计算机完成,对简谐强迫振动，系统固有频率与外激励频率接近时发生共振。在周期激励时，只要系统固有频率与激励中某一谐波频率接近就会发生共振。因此，周期激励时要避开共振区就比简谐激励时要困难。通常用适当增加系

5、统阻尼的方法来减振. 由： F(t)展开为fourier级数的三角形式 求出常数项的稳态响应，求出正弦想和余弦项的稳态响应，于是系统的稳态响应为： 系统的稳态响应也是一个无穷级数，对于大多数工程问题，计算有限项已可以满足要求,2.7 非周期强迫振动,广义地讲，除了周期激励以外的所有激励都是非周期激励。但一般工程上常见的非周期激励存在时间不长，峰值往往较大，又称为瞬态激励。瞬态激励引起的振动系统响应存在时间也不长，但响应的峰值往往很大，使结构或系统产生较大的应力和变形。,从瞬态激励入手，掌握求解非周期激励下响应的方法， 解题过程将引出一些十分重要的物理概念和方法。它们大都可用来求周期激励和简谐激

6、励下的系统响应。这些方法也可以用来求多自由度系统在任意激励下的响应。,问题的提出,解决的思路,瞬态激励的单自由度振动系统的运动微分方程为,(2.112),这个微分方程的解是一个特解与齐次方程的通解之和。与求系统受周期激励下的响应不同的是，F(t)是时间t 的任意函数(激励)，因而给不出特解的统一表达式,2.7.1 脉冲响应与卷积积分,1脉冲力 我们从理论力学中已经知道，牛顿第二定律可以表述为,如果F(t)的作用时间为(-，)(为任一非负实数)，即当t 和t -时，F(t)=0。此时，物体动量的改变量为,(2.113),(2.114),物体动量的改变量等于所受的冲量（受到力对物体作用一段时间）

7、，冲量是改变质点机械运动状态的原因,在时域中常用的求解振动系统响应的方法除了直接求解微分方程外，还可以将问题转化为一个卷积积分。,如果外力F(t)的幅值很大，但作用时间很短，即,，那么冲量,仍然为通常（有限）的数量级，这种力称为脉冲力,在数学上用函数(又称为单位脉冲函数)来表示脉冲力。,它表示在t=0时刻作用的一个幅值无穷大，但冲量为1的脉冲力。力学上称为单位脉冲力。在这个定义中，把力的作用时间认为是零，但冲量为1。,(2.115),(2.116),在t=时刻作用的单位脉冲力可表示为：,(2.117),函数的定义：,利用函数，在任意时刻作用的冲量不等于1的脉冲力可以表示为,(2.119),为一

8、常数,(2.118),其冲量为：,2系统的脉冲响应 设单自由度系统在t=0以前静止 在t0时受到脉冲力的激励。其运动微分方程可写做,这里：0-表示小于零但无限接近于零的时刻，这样，可以明确表明t0以前的状态。同样，0+表示大于零但无限接近于零的时刻。根据动量定理，在0-到0+这段时间系统动量的改变为,(2.121),(2.122),即在t0时的脉冲力作用下，系统的速度变化，而系统的位移没有变化。 当t 0后，系统不受外力，是自由振动。因此，系统受到脉冲力作用后的运动微分方程为,(2.122),它的解为（见p23）,这就是初始时刻静止的系统在t =o时刻受到脉冲力作用后的响应。,如果， 即系统受

9、到单位脉冲力作用，此时的系统响应称为系统脉冲响应，用h(t)表示：,在t =时刻以前静止的系统，当t =在时受一个单位脉冲力激励后的脉冲响应为：,（t0）,系统的脉冲响应完全由系统本身的物理性质决定，与激励无关。如同系统受简谐激励时的复频率响应一样，系统的脉冲响应反映了系统的振动特性。 响应曲线？,3卷积积分 在系统受任意持续的激励时，可把激励看为一系列脉冲力的叠加(参见图)。,当,时冲量,对,无贡献，对,有 贡献，,贡献值为,系统的响应即为这些贡献的叠加：,这就是单自由度系统在初始条件为零时受任意激励F(t)作用时的响应，称为卷积积分。如果系统初始条件不为零，即,根据叠加原理，应计入初始条件

10、引起的系统响应，系统总响应为,(2.127),(2.126),例2.9 用求卷积积分求解响应, d =(1-2)1/2n,解,(1),(2)代入,(1),(2),得,当 n,当 n,例2.10 求系统的单位阶跃响应,单位阶跃函数,性质1,性质2,利用性质1,单位脉冲响应可以写为:,(t ),单位阶跃函数作用下系统的响应称为系统的阶跃响应,2.7.2 傅里叶变换,设系统的运动微分方程为,如果激励f(t)的傅里叶变换存在，即有,响应的傅里叶变换必然存在，且为,X()与F ()存在如下关系,傅里叶变换的物理意义：将时域信号（函数）转化为频域信号（函数）了解周期函数与非周期函数变换以后的图形特点,傅里

11、叶变换的方法：,付氏变换微分性质：,H()为系统的频率响应函数，简称频响函数。要注意的是，它与复频率响应用的是同一个符号，但二者不同，复频率响应是无量纲的，可以认为是把频响函数无量纲化得到的。,复频率响应：,傅里叶变换的用途：利用傅里叶变换在频域求解免去了在时域求解微分方程的困难，如果我们知道了系统的频响函数，则只要给出激励 f(t)的傅里叶变换，就可以求出系统的响应。但要得到系统在时域的响应要用到傅里叶逆变换。,2.7.3 拉普拉斯变换方法,称为拉普拉斯变换,设系统的运动微分方程为,如果f(t)不满足傅立叶变换的可积条件,而f(t)乘以一个衰减因子e-t后能满足傅立叶变换条件,令,响应的拉普拉斯变换为,拉氏变换微分性质：,例2.11 用拉普拉斯变换求解方程,做拉普拉斯逆变换得,即共振时,查数学手册上的拉普拉斯变换表,同傅里叶变换一样，拉普拉斯变换将微分方程变为代数方程，但它优于傅里叶变换的地方是自动计入了初始条件，因此可以得到微分方程的全解。工程上常见的各种激励一般都可以通过查表求出其拉普拉斯变换，而响应的拉普拉斯变换的逆变换多也可查表得到。,振动理论中两个重要概念（根据拉普拉斯变换定义）,1. 机械阻抗 如果系统的初始条件