第十章10习题课

1、1、基本概念微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶微分方程的解代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解通解如果微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解特解确定了通解中的任意常数以后得到的解，叫做微分方程的特解用来确定任意常数的条件.初始条件初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题，叫初值问题2、一阶微分方程的解法(1)可分离变量的微分方程g( y)dy =f ( x)dx形如分离变量法 g( y)dy = f ( x)dx解法dy =yf ()(2

2、)形如齐次方程dxyxu =解法作变量代换x(3)一阶线性微分方程dy + P( x) y = Q( x)形如dx当Q( x) 0,当Q( x) 0,上方程称为齐次的上方程称为非齐次的.y = Ce- P ( x )dx .（使用分离变量法）解法齐次方程的通解为非齐次微分方程的通解为y = Q( x)e P ( x )dx dx + C e- P ( x )dx（常数变易法）3、可降阶的高阶微分方程的解法=(1)y( n)f ( x)型解法接连积分n次，得通解y=f ( x, y)(2)型特点不显含未知函数y.令 y = P( x),y= P,f ( x, P( x).解法P =代入原方程,

3、得y=f ( y, y)(3)型不显含自变量x.特点y= P dp ,令 y = P( x),解法dyf ( y, P ).P dp =代入原方程, 得dy、线性微分方程解的结构（1）二阶齐次方程解的结构:y + P( x) y + Q( x) y = 0(1)形如定理 1 如果函数y1 ( x)与y2 ( x)是方程(1)的两个解,那末y = C1 y1数）+ C2 y2 也是(1)的解.（C1 , C2 是常定理 2：如果y1 ( x)与 y2 ( x)是方程(1)的两个线性那么y = C1 y1+ C2 y2 就是方程(1)的通无关的特解,解.（2）二阶非齐次线性方程的解的结构:y +

4、P( x) y + Q( x) y =f ( x)(2)形如设y* 是(2)的一个特解,Y 是与(2)对应定理3的齐次方程(1) 的通解, 那么 y = Y + y* 是二阶非齐次线性微分方程(2)的通解.设非齐次方程(2)的右端 f ( x)是几个函定理 4数之和, 如y + P( x) y + Q( x) y =f1 ( x) +f2 ( x)而 y*与 y*分别是方程,12y + P( x) y + Q( x) y =y + P( x) y + Q( x) y =f1 ( x)f2 ( x)的特解, 那么 y* + y 就是原方程的特解.*12、二阶常系数齐次线性方程解法形如 y( n)

5、 + P y( n-1)y + Py =+ L+ Pf ( x)n-11nn阶常系数线性微分方程y + py + qy = 0二阶常系数齐次线性方程y + py + qy =f ( x) 二阶常系数非齐次线性方程解法由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.y + py + qy = 0r 2 + pr + q = 0特征方程为特征根的情况通解的表达式实根r1 r2实根r1= r2复根r1,2= a iby = C1er1 x + C2er2 xy = (C1 + C2 x)er2 xy = eax (C1 cos bx + C2 sin bx)、二阶常系数非齐次线性微

6、分方程解法y + py + qy =f ( x)二阶常系数非齐次线性方程待定系数法.解法f ( x) = eP( x) 型lx(1)ml不是根l是单根l是重根0k = 1设 y = xk elx Q( x) ,2mf ( x) = eP ( x)coswx + P ( x)sinwx 型lx(2)ln设 y = x eR( x)coswx + R( x)sinwx,klx(1)( 2)mmm = maxl, n其中R(1) ( x), R( 2) ( x)是m次多项式mml iw不是特征方程的根时;l iw是特征方程的单根时.k = 011.差分的定义函数y =f ( x), x取非负整数，D

7、yx= yx+1- yx为一阶差分函数y =f ( x)的二阶差分为函数y的一阶差分的差分,即D2 y= D(Dy) = D( y- y) = y- 2 y+ yxxx+1xx+2x+1x2.差分方程 的定义含有未知函数的差分Dyx , Dy,LL的函数方程2x或含有未知函数两个或两个以上时期的符号yx , yx+1 ,L的方程形式：F ( x, yx , yx +1 ,L, yx + n ) = 0或G( x, yx , yx -1 ,L, yx - n ) = 0(n 1)3.差分方程 的阶方程中未知数下标的最大值与最小值的差称为差分方程的阶.下列等式是差分方程的有(A D例).A.2Dy

8、x=yx + xB. - 3Dyx= 3 yx + axC.D2 yx=yx+ 2- 2 yx+1 + yx D. yx - 2 yx-1 + 3 yx-2 = 44.差分方程的解如果函数y = ( x)代入差分方程后，方程两边恒等，则称此函数为该差分方程的解.差分方程的通解含有相互独立的任意常数的个数与差分方程的阶数相同的差分方程的解.初始条件确定任意常数的条件差分方程的特解通解中任意常数被初始条件确定后的解.5.n阶常系数差分方程的解的结构定理(1)+ a+L+ a+ ay= 0yyyx+n1x+n-1n-1x+1nx， y(x)定理 1 如果函数y1 ( x), y2 ( x), L是也

9、k方程(1)的 k 个解,那末 y = C1 y1+ C2 y2 + L+ Ck yk是(1)的解.（ C1 ,C2，L，Ck是任意常数）定理 2：如果y1 ( x), y2 ( x)，L，yn ( x) 是方程(1)的 n 个线性无关的特解,那么y = C1 y1 + C2 y2（ C1 ,C2，L，Cn+ L + Cn yn 就是方程(1)的通解.是任意常数）*ny定理 3设是阶常系数非齐次线性差分方程xy=f (x)(2)+ a+L+ a+ ayyyx+n1x+n-1n-1x+1nxYx的一个特解,是与(2)对应的齐次方程(1)的通+ yx是n 阶常系数非齐次线性差分*= Yx解, 那么

10、 yx方程(2)的通解.设非齐次方程(2)的右端 f ( x)是几个函如定理 4数之和,f(x)+f(x)+ ay+L+ a+ ay=yyx+n1x+n-1n-1x+1nx12y*y*而与分别是方程,12=f(x)+ a+L+ a+ ayyyyx+n1x+n-1n-1x+1nx1f(x)+ a+L+ a+ ay=yyyx+n1x+n-1n-1x+1nx2y+ y*2的特解,那么就是原方程的特解.16.一阶常系数差分方程的求解1).一阶常系数齐次线性差分方程求通解- ayx= 0(a 0为常数)yx +1（1） 写出相应的特征方程;（2） 求出特征根;= Ca x .（3）写出通解. Yx2).

11、一阶常系数非齐次线性差分方程求通解f ( x)通解为y= Y+ y* .- ay=yx+1xxxxf ( x) =pn (x)型1).a -10k = *= xkQ( x)设 y1xna = -1a 1(1)令y*= Q( x) = bxn+ b xn-1+ LL+ bxn01na= 1(2)()令y*= xQn + b xn-1( x) = x bx+ LL+ bxn01nf ( x) = K型特别地 ,Ka 1a = 1= 1 - a,*设 yKx,xp(x)型2). f ( x) = m xnm xQa ma = m( x),*n= 设 yx xm xQ( x),nf ( x) = Km

12、 x型特别地 ,Km x ,a m= m - a*设 yxKxmx-a = m1,二、典型例题例1求通解y( x cos y + y sin y )dx = x( y sin y -yxx cos)dy.xxx解原方程可化为cos y +y sin ydy =y (xxx ),y sin y - cos ydxxxxxy ,y = ux, y = u + xu.u =令代入原方程得xu + xu = u(cos u + usin u),分离变量usin u - cos uusin u - cos u du = dx ,两边积分2ucos ux ucos u =C ,ln(ucos u) = l

13、n x-2 + lnC,x2 y cos y = C ,xy cos y = C .所求通解为xxx2x1 + y2y=例2.求通解2 y解方程不显含 x .y= P dP ,令 y = P,代入方程，得dy1 + P 2dP=Pdy,解得， 1 + P2 = Cy,2 y1即 dy = Cy - 1,P = Cy - 1,1dx12Cy - 1 = x + C.故方程的通解为12C1例3求特解y - 2 y + y = xex - ex , y(1) =y(1) = 1.- 2r + 1 = 0,特征方程特征根r 2解r1 = r2 = 1,Y = (C+ Cx)e.对应的齐次方程的通解为x

14、12= x2 (ax + b)ex ,y*设原方程的特解为则( y* ) = ax3 + (3a + b)x2 + 2bxex ,( y* )= ax3 + (6a + b)x2 + (6a + 4b)x + 2bex ,将 y* , ( y* ), ( y* ) 代入原方程比较系数得a = 1 ,b = - 1 ,62x3x2=-原方程的一个特解为y*exex ,62x3x2故原方程的通解为 y = (C+ Cx)ex +-exex .1262+ C- 1)e = 1,Q y(1) = 1,(C123x3y= (C1 + C2 ) + (C2 - 1)x +6 e,x+ 2C- 5)e =

15、1,Q y(1) = 1,(C126= 1 + 1 ,C= 2 - 1 ,C+ C12e31e1261e解得由1e5C=-,C1 + 2C2 =+,26所以原方程满足初始条件的特解为x3x221611y = -+ (-)xe x +-exex .e2e62y + 4 y = 1 ( x + cos 2 x).例4求解方程2+ 4 = 0,解r 2特征方程= 2i,r1, 2特征根对应的齐方的通解为Y = C1 cos 2x + C2 sin 2x.=y+设原方程的特解为y*y .*12设 y* = ax + b,= a,)= 0,(1)则( y)*( y*111代入 y + 4 y = 1 x

16、，得4ax + 4b = 1 x224a = 1a = 1 y= 1 x;24b = 08b = 0*由解得18设 y* = x(c cos 2x + d sin2x),(2)2则( y)=(c + 2dx)cos 2x + (d - 2cx)sin2x,(4d - 4cx)cos 2x - (4c + 4dx)sin2x,*2( y)=*2代入 y + 4 y = 1 cos 2 x，得24d cos 2 x - 4c sin 2 x = 1 cos 2 x,24d = 1c = 0y= 1 x sin 2 x;2- 4c = 0由*即d = 1288故原方程的通解为sin 2x + 1 x

17、 + 1 x sin 2x.y = Ccos 2x + C12881x设 y + p( x) y =例5f ( x) 有一特解为，对应的齐次方程有一特解为 x2，试求：（） p( x),f ( x) 的表达式；（） 此方程的通解.（）由题设可得：解2 + p( x)2 x = 0,解此方程组，得 2+ p( x)(- 1 ) =f ( x), x3x2p( x) = - 1 ,3f ( x) =.x3xy - 1 y =3 .（）原方程为xx3显见 y= 1, y= x2 是原方程对应的齐次方程12的两个线性无关的特解，又 y* = 1 是原方程的一个特解x由解的结构定理得方程的通解为+ 1

18、.y = C+ Cx212x- 3 yt +1 = t 3+ 1的通解t例6 求3 yt测验题一、选 择题:1、 一阶线性非齐次微分方程 y = P( x) y + Q( x) 的通解 是 ( ). (A) y = e - P ( x )dx Q( x)e P ( x )dxdx + C ； (B) y = e - P ( x )dx Q( x)e P ( x )dxdx ； (C) y = e P ( x )dx Q( x)e - P ( x )dxdx + C ； (D) y = ce- P ( x )dx .2、方程xy =+x 2y 2y 是 ( ). (A)齐次方程； (B)一阶线性

19、方程； (C)伯努利方程； (D)可分离变量方程 .3、dy + dx = 0 , y(1) = 2的特解是( ).y 2 (A) x 2x 2+ y 2= 2； (B) x 3+ y3 = 9；x 3y 3+ y= 1； (D)33+= 1. (C) x334、方程y = sin x 的通解是( ). (A) y = cos x + 1 Cx 2+ Cx + C；1232 (B) y = sin x + 1 C+ Cx + Cx 2；1232 (C) y = cos x + C1 ； (D) y = 2 sin 2 x .5、方程 y + y = 0 的通解是( ). (A) y = sin

20、 x - cos x + C1 ； (B) y = C1 sin x - C 2 cos x + C 3 ； (C) y = sin x + cos x + C1 ； (D) y = sin x - C1 . 6、若y1 和y2 是二阶齐次线性方程 y + P( x) y + Q( x) y = 0的两个特解,则 y = C1 y1 + C 2 y2 (其中C1 , C 2 为任意常数)( ) (A)是该方程的通解； (B)是该方程的解； (C)不是该方程的解； (D)不一定是该方程的解.7、求方程 yy - ( y)2 = 0 的通解时,可令( ). (A) y = P , 则y= P ；

21、(B) y = P , 则y= P dP ； dy (C) y = P , 则y= P dP ； dx (D) y = P , 则y= P dP . dy10、方程y - 3 y + 2 y = e x cos 2 x 的一个特解形式是 ( ). (A) y = A e xcos 2 x ；1 (B) y = A xe xcos 2 x + Bxe x sin 2 x ；11 (C) y = A e xcos 2 x + B e x sin 2 x ；11 (D) y = A x 2 e xcos 2 x + Bx 2 e xsin 2 x .11二、求 下列一阶微分方程的通解: 1、xy ln x + y = ax(ln x + 1)； 2、dy + xy - x 3 y 3 = 0；dx 3、xdx + ydy +ydx - xdy = 0 .+ y 2x 2三、求 下列高阶微分方程的通解:1、yy - y 2 - 1