金融工程实验三

1、金融工程实验三金融系 阮坚CAPM估计系数金融系 阮坚 马科维茨的均值方差模型提出了证券的选择问题，解决了最优地持有有效证券组合，即在同等收益水平之下风险最小的证券组合 夏普等人在该模型基础上发展了它的经济含义任何证券或证券组合收益率与某个共同因素的关系，即资产定价模型（CAPM） CAPM实质上要解决的是，假定所有投资者都运用马氏证券组合选择方法，在有效边界上寻求有效组合，从而在所有的投资者都厌恶风险的情况，最终每个人都投资于一个有效组合。 将如何测定组合中每单个证券的风险？ 风险与投资者们的预期和要求的收益率之间是什么关系？B无差异曲线，根据个人偏好而不同允许无风险借贷情况下的线性有效集风

2、险资产的机会集最优风险投资组合A最优投资组合CAL(capital allocation lines)资本配置线，无风险资产和任意风险资产的组合资本市场线的图形E(rp)ME(rM)E（rp） rFACrfO1CpMCML(capital market lines)资本市场线，无风险资产和市场组合的组合任何无效组合都将位于资本市场线的下方，位于资本市场线上方的组合意味 着存在套利机会。(R)r= r+ rM- rfspfspM分离定理以利率r借贷资金的可能性把这一投资过程分成了两个步骤：1. 第一步，确定市场证券组合m，它落在资本市场线（CML）和风险资产的有效集相切的那一点上。这一切点处的证

3、券组合是所有的投资者都期望的风险证券组合。2. 第二步，每个投资者都通过借贷资金使他效用倾向最大化。（注意不是收益最大化）第一个步骤对所有的投资者来说都是客观的和共同的；无需为了确定市场证券组合M而了解每个投资者的独特偏好（即了解各自的无差异曲线）。第二个步骤则带有主观性，因而我们必需了解每个投资者的偏好；它是由无差异曲线决定的，而无差异曲线又因投资者而异。这种把投资过程划分成两个步骤，这被称为分离定理（separation theorem）或分离特性（separation property）。分离定理的核心在于揭示以下事实：1、在均衡条件下，每一位投资者只要向风险资产投资则必定持有切点组合。

4、2、如果切点组合的构造已知，或者有一个切点组合基金，则均衡条件下的投资组合工作大为简化，投资者只需将资金适当分配于无风险资产和切点组合即可实现最佳投资。3、一个投资者的最优风险资产组合是与投资者对风险和收益的偏好状况无关的。I1E（rp）O1MDI2O2ACOp资本市场线的方程如果M点所代表有风险资产组合的预期收益率和标准差和 s M ，投资于无风险证券的资金比例是1- xM ，rM分别是xM投资于这一有风险资产组合的资金比例是。则加上无风险证券后的组合的预期收益率rp和标准差s p分别为o p= xMs Mr= r+ rM- rfspfspM对资本市场线的理解：在市场均衡时有效组合的风险和收

5、益将满足一种简单的线性关系，对有效组合而言，风险越大，收益越大，并且这时有效组合的总风险就等于系统风险。有效组合的风险补偿与该 组合的风险成正比例变化， 其比例因子是：它是资本市场线的斜率，也称为风险报酬率，即风险的价格。而且是市场组合的风险的价格。 E(rM ) - rF s MCAPM与证券市场线CAPM要讨论的是单项风险资产在资本市场上的定价问题，即如何确定单个证券的期望回报和标准差之间的均衡关系？任何证券或者证券组合i和有效证券组合p之间满足如下关系：E(r ) - r= cov(rp , ri ) (E(r) - r) = b(E(r) - r)ifs 2 (r)pfippfp当市场

6、达到均衡时，有风险的市场组合即为有效证券组合，从而它和任何证券或者证券组合i也满足上述关系：= s iMi其中b被称为第项资产的系数。biMs2M这就是经典的资产定价模型（CAPM）！E(ri ) - rf= biM (E(rM ) - rf )称证券市场线的斜率这种证券的 b 值与期望回报率之间的均衡关系称为证券市场线（Security Market Line，简记为SML）。为风险价格，而称 b为证券的E(r)风险。由b 的定义，我们可知， 衡量证券风险的正确量是其与有风险的市场组合的协方差而不是其方差。SMLE(r)Mrfb01.0证券市场线E(rM ) - rf =1，表示该单项资产的

7、风险收益率与市场组合平均风险收益率呈同比例变化，其风险情况与市场投资组合的风险情况一致； 1，说明该单项资产的风险收益率高于市场组合平均风险收益率，则该单项资产的风险大于整个市场投资组合的风险； 1，说明该单项资产的风险收益率小于市场组合平均风险收益率，则该单项资产的风险程度小于整个市场投资组合的风险。 小结：值是衡量系统性风险9证券市场线（SML） 协方差的性质：一种证券与市场组合的协方差等于该证券与市场组合中每种证券协方差的加权平均数。 市场组合的标准差等于所有证券与市场组合协方差的加权平均数的平方根，其权重为各种证券在市场组合中的比例。 单个证券的预期收益率水平取决于其与市场组合的协方差

8、。证券市场线（SML） 证券市场线反映了单个证券与市场组合的协方差和其预期收益率之间的均衡关系。-RM - R f-)s iMRi= R f+ (s2M 证券的预期收益率与无风险利率的大小关系取决于该证券与市场组合的协方差的符号。证券市场线（SML） b 系数 ：表示一种证券与市场组合协方差的另一种方式：= s iMbsiM2M 证券市场线可表示为：-+ (R M - R f )b iMR i= R f证券市场线（SML）b 系数的一个重要特征是，一个证券b 组合的值等于该组合b 中各种证券值的加权平均数，权重为各种证券在该组合中所占的比例：n= X i biM i =1b pMCML 比较：

9、VS.SML1、只有最优投资组合才落在资本市场线上，其他组合和证券则落在资本市场线的下方；2、无论是有效组合还是非有效组合， 它们都落在证券市场线上。不均衡举例：说明 假设一个b为1.25的证券能提供15%的预期收益。 根据SML，在均衡状态下，b为1.25 的证券只能提供13%的预期收益。 该证券价格被低估：提供了超过其风险水平的收益率。真实预期收益与正常预期收益之差，我们将其称为a，该例中的a=2%。 因此，SML为评估投资业绩提供了一个基准。一项投资的风险确定，以b测度其投资风险，SML就能得出投资者为补偿风险所要求的预期收益率与时间价值。SML的几何含义E (r )AOEOQEmEQr

10、fQ0mm =1imm OB处在SML上的投资组合点，处于均衡状态。如图中的m、Q点和O点高于或低于直线SML的点，表示投资组合不是处于均衡状态。如图中的 O点和点市场组合m的系数mm1，表示其与整个市场的波 动相同，即其预期收益率等于市场平均预期收益率EmSML对证券组合价格有制约作用市场处于均衡状态时，SML可以决定单个证券或组合的预期收益率，也可以决定其价格高于SML的点（图中的O点）表示价格偏低的证券。（可以买入，需求增加）其市价低于均衡状况下应有的价格预期收益率相对于其系统风险而言，必高于市场的平均预期收益率价格偏低，对该证券的需求就会“逐渐”增加，将使其价格上升随着价格的上升，预期

11、收益率将下降，直到下降到均衡状态为止O点下降到其SML所对应的O点低于SML的点（图中的Q点）表示价格偏高的证券。（应该卖出，供给增加）其市价高于均衡状况下应有的价格预期收益率相对于其系统风险而言，必低于于市场的平均预期收益率价格偏高，对该证券的供给就会“逐渐”增加，将使其价格下降随着价格的下降，预期收益率将上升，直到上升到均衡状态为止Q点上升到其SML所对应的Q点值的估算1、单因素模型（市场模型）= ai+ bi Rmt+ eitRit 注意：（1） 我们使用市场指数来代替市场组合；（2） 根据历史数据估计过去一段样本期内的b值，将其作为预期值使用。Excel 估算 Beta系数Beta系数是用以度量一项资产系统性风险(Systematic Risk)的指标，是资本资产定价模型(Capital Asset Pricing Model)的主要参数。用以衡量一种证券或一个投资组合(Asset Allocation) 相对总体市场波动性的一种证券系统性风险的评