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1、第四节 指数与指数函数,基础知识梳理,1根式 式子 叫做 ,这里n叫做 ,a叫做 2根式的性质 (1)( )n (n1,且nN*),根式,根指数,被开方数,a,a (a0) (a0),(3)负数没有 次方根 (4)零的任何次方根都是 .,-a,0,偶,基础知识梳理,基础知识梳理,4有理数指数幂的运算性质 (1)aras (a0,rQ,sQ); (2)aras (a0,rQ,sQ); (3)(ar)s (a0,rQ,sQ); (4)(ab)r (a0,b0,rQ),ars,ars,ars,arbr,基础知识梳理,5指数函数 一般地,函数yax(a0且a1)叫做指数函数,其中x是自变量,基础知识梳
2、理,函数yax(a0且a1)是指数函数吗? 【思考提示】不是,形如yax(a0且a1)的函数才是指数函数,如ykax,yaxb等形式都不符合指数函数的特征,思考?,基础知识梳理,6指数函数的图象与性质(见下表),(,),(0,),基础知识梳理,增函数,减函数,y1,y1,0y1,0a1,y1,y1,三基能力强化,三基能力强化,2设指数函数f(x)ax(a0且a1),则下列等式不正确的是_ f(xy)f(x)f(y)f(xy)n)fn(x)fn(y) f(xy) f(nx)fn(x),答案:,三基能力强化,3(2009年高考江苏卷)已知a ,函数f(x)ax,若实数m、n满足f(m)f(n),则
3、m、n的大小关系为_,答案:mn,三基能力强化,4函数f(x)axb的图象如图所示,其中a、b为常数,则下列结论正确的是_ a1,b0a1,b00a1,b0 答案:,三基能力强化,答案:(0,),课堂互动讲练,对指数式的化简求值是本部分内容的基础,主要考查基本的运算能力,本类问题只需按公式计算,要求计算不能出现任何的错误,课堂互动讲练,课堂互动讲练,【思路点拨】当化简的式子中既有根式又有分数指数幂时,应该把根式统一化成分数指数幂的形式以便于运算对于(1)小数化分数,负指数化正指数(2)指数幂运算性质的核心是“同底”,课堂互动讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,【点评】根式的化简求值问题就是将根式
4、化成分数指数幂的形式,然后利用分数指数幂的运算性质求解,对化简求值的结果,一般用分数指数幂的形式保留;一般的进行指数幂运算时,化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化小数为分数运算,同时兼顾运算的顺序,课堂互动讲练,跟踪训练,课堂互动讲练,跟踪训练,课堂互动讲练,跟踪训练,课堂互动讲练,在高考中,比较大小的问题比较普遍,以容易题为主,主要考查对基础性知识的理解与掌握,本类问题以指数式的形式为主,考查大小关系的比较方法,课堂互动讲练,比较下列各组数的大小: (1)40.9,80.48,( )1.5; (2)0.80.5与0.90.4.,【思路点拨】(1)可先化同底再利用指数函数的单调性; (2)
5、利用中间量过渡比较,课堂互动讲练,(2)0.80.50.90.5,而0.90.50.90.4, 0.80.50.90.4.,课堂互动讲练,【点评】比较两个幂值的大小是一种常见的题型,也是一类容易做错的问题,解决这类问题,首先要分清是底数相同还是指数相同,如果底数相同,可利用指数函数的单调性;如果指数相同,可转化为底数相同,也可借助于图象;如果底数不同,指数也不同,则需要利用中间量比较大小,课堂互动讲练,2比较下列各组数的大小: (1)30.8,30.7; (2)0.213,0.233;,跟踪训练,解:(1)函数y3x是增函数, 30.830.7. (2)yx3是增函数,故0.2130.233.
6、,课堂互动讲练,(4)先比较0.20.5与0.20.3,y0.2x是减函数,故0.20.50.20.3;再比较0.20.3与0.40.3,yx0.3在(0,)上是增函数,故0.20.30.40.3.0.20.50.40.3.,课堂互动讲练,对指数函数性质与图象的考查是一个重点,主要是考查指数函数的单调性,图象的变换等相关问题,可在图象的平移、对称、翻折问题上加强训练,课堂互动讲练,已知函数y( )|x2|, (1)作出图象; (2)由图象指出其单调区间; (3)由图象指出,当x取什么值时有最值,【思路点拨】先化去绝对值符号,将函数写成分段函数的形式,再作出其图象,然后根据图象判断其单调性、最值
7、,课堂互动讲练,课堂互动讲练,另一部分y2x2(x2)的图象, 由下列变换可得到, y2x y2x2, 如图为函数y( )|x2|的图象,向左平移2个单位,课堂互动讲练,(2)由图象观察知函数在(-,-2上是增函数,在(-2,+)上是减函数 (3)由图象观察知,x=-2时,函数y= ( )|x+2|有最大值,最大值为1,没有最小值,课堂互动讲练,【点评】(1)根据函数与基本函数关系,利用图象变换(平移、伸缩、对称)作图是作函数图象的常用方法 (2)本例也可以不考虑去掉绝对值符号,而是直接用图象变换作出,作法如下:,向左平移2个单位,保留x0部分,将它沿y轴翻折得x0的部分,课堂互动讲练,3若已
8、知函数y( )|x2|m的图象与x轴有公共点,则m的取值范围是_,互动探究,解析:由例3图象可知,把y( )|x2|的图象向下平移即可与x轴相交,但下移不能超过一个单位,即1m0.,答案:1m0,课堂互动讲练,与指数函数相结合的复合函数,多与指数函数的单调性相结合,考察有关知识,其次是指数函数的值域为(0,),也是常涉及的一个考点,课堂互动讲练,(解题示范)(本题满分16分) 已知函数f(x)a|x| (其中a0且a1,a为实常数) (1)若f(x)2,求x的值(用a表示); (2)若a1,且atf(2t)mf(t)0对于t1,2恒成立,求实数m的取值范围(用a表示),课堂互动讲练,【思路点拨
9、】(1)解指数方程(ax0);(2)分离参数后,求有关函数的最值,课堂互动讲练,即m(a2t1)(a4t1) a1,t1,2,a2t10, m(a2t1).13分 t1,2,a2t1a21,a41, (a2t1)1a4,1a2 故m的取值范围是1a2,).16分,课堂互动讲练,【点评】本题主要涉及到指数函数的单调性与值域问题,指数函数的性质较为简单,考查时注意细节即可,如对底数的讨论,在某种情况下函数值的大小变化等,课堂互动讲练,4(本题满分15分)已知f(x) x3(a0且a1) (1)求函数f(x)的定义域; (2)讨论f(x)的奇偶性; (3)求a的取值范围,使f(x)0在定义域上恒成立
10、,自我挑战,课堂互动讲练,解:(1)由于ax10,则ax1,得x0,所以函数f(x)的定义域为x|x0,xR.3分 (2)对于定义域内任意x,有,自我挑战,课堂互动讲练,自我挑战,课堂互动讲练,(3)当a1时,对x0,由指数函数的性质知ax1,,自我挑战,又由(2)知,f(x)为偶函数, 故f(x)f(x), 当x0,有f(x)f(x)0成立,课堂互动讲练,综上知a1时,f(x)0在定义域上恒成立.12分 对于00时,1ax0,ax10, ax10,此时f(x)0,f(x)f(x)1.15分,自我挑战,规律方法总结,1在进行分数指数幂与根式的运算时,通常根式转化为分数指数幂,利用分数指数幂运算法则进行化简 2在处理给值求值问题时,往往将已知式子及所要化简的式子看作一个整体,并寻求它们之间的联系,进行整体代入,规律方法总结,3比较两个指数幂大小时,尽量化为同底或同指,当底数相同,指数不同时,构造同一指数函数,然后比较大小;当指数相同,底
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