2016届宁夏六盘山高级中学高三第一次模拟考试数学(文)试题(解析版)

1、2016届宁夏六盘山高级中学高三第一次模拟考试数学（文）试题一、选择题1已知集合，则的子集共有（ ）A3 B4 C7 D8【答案】B【解析】试题分析：由集合的运算可知，则的子集有共四个，故本题的正确选项为B.【考点】集合的运算及其关系.2复数（为虚数单位），则（ ）A5 B C25 D【答案】A【解析】试题分析：根据复数的运算可知，可知的模为，故本题正确选项为A.【考点】复数的运算与复数的模.3已知命题，命题，则下列命题中为真命题的是（ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：显然命题成立，即为真命题，则为假命题；当时，显然此时，所以命题为假命题，则命题为真命题， 由命题的逻辑关系（且：一

2、假全假；或：一真全真）可知为真命题，故本题的正确选项为C.【考点】命题的真假及其关系.4经过圆的圆心，且与直线垂直的直线方程是（ ）A BC D【答案】D【解析】试题分析：直线的斜率为，与其垂直的直线的斜率则为，圆的标准方程为，所以其圆心为，利用点斜式可求得直线的方程为.【考点】直线垂直的性质，圆的标准方程，直线方程.5已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则（ ）A B12 C10 D【答案】D【解析】试题分析：由已知得公差，则等差数列的前项和公式为，由可知，可求得，所以有，故选项D正确.【考点】等差数列的通项与前项和.6右边程序框图的算法思路源于古希腊数学家欧几里得的“辗转相除法”，执

3、行该程序框图，若输入的分别为153，119，则输出的（ ）A0 B2 C17 D34【答案】C【解析】试题分析：首先执行得余数，再一次执行得余数，在一次执行得余数，所以输出，故本题正确选项为C.【考点】程序框图.7设，向量，且，则（ ）A B C D10【答案】B【解析】试题分析：，即，根据向量的运算有，即，则，所以，故本题的正确选项为B.【考点】向量的运算.8某校高一年级8个班参加合唱比赛得分的茎叶如图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是（ ）A91.5和91.5 B91.5和92 C93.5和91.5 D93.5和92【答案】A【解析】试题分析：根据茎叶图的概念可知比赛得分数据为共个数据

4、，所以中位数为中间两个数字的平均值，即，而平均值为，所以本题的正确选项为A.【考点】茎叶图，中位数，平均数.9设变量满足约束条件，则的最大值为（ ）A0 B2 C4 D6【答案】C【解析】试题分析：本题主要考察线性约束条件下的最值问题，的最大值就是直线纵截距的最小值，必在可行域的端点（即围成可行域的几条直线的交点）处取得，由不等式组可知端点为，直线过时所对应的纵截距依次为，所以的最大值为，故本题的正确选项为C.【考点】线性约束条件.【方法点睛】求解关于满足线性约束条件的最值时，可以现根据约束条件在直角坐标系中画出可行域，再将所求函数写作一次函数（直线）的形式，将直线在可行域中进行平行（旋转），

5、然后确定纵截距（斜率）的最值，由这些最值便可确定待求量的最值；也可直接求得可行域边界处的端点，即两条直线的交点，而直线的纵截距（斜率）的最值必定会在这些端点处取得，所以将这些端点值代入直线方程便可求得待求量的值，从中选择最大（小）值即可.10已知双曲线在左顶点与抛物线的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，则双曲线的焦距为（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：双曲线的左顶点为，过一三象限渐近线为，抛物线的焦点为，准线方程为；由双曲线左顶点与抛物线的焦点的距离为，可得，由双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，可知为的解，所以有，代入中得，进一步可求得，

6、则焦距，故本题的正确选项为B.【考点】双曲线的渐近线，焦距，抛物线的准线，焦点.11一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，画该四面体三视图中的正视图时，以平面为投影面，则得到的正视图可以为（ ）【答案】A【解析】试题分析：由四个顶点坐标可知四面体的直观图如图所示，是棱长为的正方体的一个顶点与其中三个面的中心所围成的，所以以平面为投影面，则得到的正视图如图. 图 图【考点】三视图，投影，空间坐标系.【思路点睛】解答本题，首先要能够根据四个顶点的空间坐标，画出（或者在脑海中想象出）四面体在空间坐标系中的具体位置，由坐标可知点在平面投影坐标分别为，所以正视图应该为正方形，也可以直接根据空间

7、几何图得出投影正视图.12已知函数是定义在上的奇函数，当时，给出下列命题：当时，；函数有2 个零点；的解集为；，都有其中正确命题的序号是（ ）A B C D【答案】D【解析】试题分析：由题意可知，可见命题是错误的；时，此时有个零点，当，此时有个零点，又为上的奇函数，必有，即总共有个零点，即命题不成立；，可求得解为，可求得解为，所以命题成立；时，令，通过函数的单调性可求得此时的值域为，则时的值域为，所以有.【考点】奇函数的解析式与性质.【思路点睛】本题主要考查奇函数的性质，因为及函数关于原点对称，所以只要知道纵轴一侧的函数解析式，即可利用来求得函数在另一侧的解析式；对于奇函数的零点个数，要注意，

8、当定义域包含时，函数零点个数肯定为奇数，相反则为偶数；而对于命题四，则需要先求得函数的值域，而的最值则为函数值域端点值的差.本题也可利用排除法，前面已经证明命题是错误的，根据选项可直接选择D.二、填空题13已知，则_【答案】【解析】试题分析：对的分子分母同时除以，可将正余弦化简为正切，.【考点】同角的三角函数关系.14平面截球所得的截面圆的半径为1，球心到平面的距离为，则球的体积为_【答案】【解析】试题分析：由题意知截面圆半径，球心到平面的距离为，即，画出截面图，可知球的半径，则球的体积为.【考点】求空间中线段的长，球的体积.15已知函数的导函数为，且，则的最小值为_【答案】【解析】试题分析：

9、，则，即，又，当且仅当，或时等号成立.【考点】导数，重要不等式.【方法点睛】导函数也是函数，已知某点的导数值，相当于导函数在某点的值已知，所以首先得求得导函数，求函数导函数时，可先展开为多项式，也可根据公式求得导函数，再待值求的关系式，最后利用重要不等式求最值.16如图所示是毕达哥达斯（）的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续，若共得到1023个正方形，设初始正方形的边长为，则最小正方形的边长为_【答案】【解析】试题分析：由题意可知正方形的边长构成以为首项，以为公比的等比数列，县一直共得到个正方形，则有，可知，所以最小正方形边长为.【考点】等比数列的

10、运用.【方法点睛】解答本题首先要了解毕达哥拉斯生长程序，熟悉其中的规律，即图形中正方形的边长与其生出来的两个相同的小正方形的边长刚好构成一个等腰直角三角形，也即大整形的边长为相邻小正方形边长的倍，这一规律满足等比数列的定义，所以正方形的边长可用等比数列来表示，其次要清楚经过若干次生长后有多少个正方形，因为此生长程序类似于细胞分裂，所以可以用等比数列的前项和来表示小正方形的总数.三、解答题17在中，内角所对的边分别为，且（1）若，求的值；（2）若，且的面积，求和的值【答案】（1）；（2），.【解析】试题分析：（1）由与可求得，已知三边可利用余弦定理求；（2）利用二倍角公式对进行化简，得，利用正弦

11、定理将正弦转化为三边的关系，再利用面积公式即可求得和的值试题解析：（1）由题意可知由余弦定理得（2）由可得，化简得因为，由正弦定理可知，又，所以由于，所以，从而，解得，所以【考点】解三角形，三角恒等变换.18某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查 结果如下表所示：（1）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（2）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率，【答案】（1）是；（2）.【解析】试题分析：（1）由题中所给表可知代入公式

12、中，得到样本观测值，将该值与图二表中概率值比较，可得出有%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；(2)总共人，随机抽取三人，列出所有可能的事件，再利用即可求得至多有人喜欢甜品的概率.试题解析：（1）将列联表中的数据代入公式计算，得，由于，所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”（2）从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间，其中表示喜欢甜品的学生，表示不喜欢甜品的学生，由10个基本事件组成，且这些基本事件的出现是等可能的用表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件，则，事件由7个基本事件组成，因而【考点】独立性检验，

13、随机事件的概率.19如图，为圆的直径，为圆周上异于的一点，垂直于圆所在的平面，于点，于点（1）求证：平面；（2）若，求四面体的体积【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）由垂直于圆所在的平面可知，在圆中，由此可证得，则有，结合可证得平面；（2）由可求得，中点，因为，所以的距离为，再利用求得面积，即可求得四面体体积.试题解析：（1）证明：为圆的直径，圆所在的平面，且，平面，又平面，又，且，平面（2）方法一：，为中点，又平面，到平面的距离为，在中，由于，得，方法二：，为中点，到边的距离为，在中，由于，得，由（1）知平面，【考点】线面垂直的性质与判定，四面体的体积.20已知椭圆的左

14、焦点为，且椭圆上的点到点的距离最小值为（1）求椭圆的方程；（2）已知经过点的动直线与椭圆交于不同的两点，点，证明：为定值【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】试题分析：(1)左焦点为，可列方程，椭圆上的点到点的距离最小值为，由椭圆的准线的性质可知左顶点到的距离为，可列方程，解方程求便可得到椭圆的标准方程；（2）假设直线的斜率存在，有前面的求解可假设直线方程为，将直线方程与椭圆方程联立，可求得点的坐标（表示），在求的坐标，最后求并进行化简，可证明其值为定值，对于直线斜率不存在，可直接求得的坐标，求即可.试题解析：（1）因为圆的圆心为，半径为，所以椭圆的半焦距，又椭圆上的点到点的距离最小值为，

15、所以，即所以，所求椭圆的方程为（2）当直线与轴垂直时，的方程为，可求得，此时， 当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，由得 设，则 所以，为定值，且定值为【考点】椭圆的焦点及其标准方程，向量的运算.【思路点睛】本题考查了椭圆的相关性质即向量的运算，首先要清楚焦距（焦点）的概念及其计算公式，其次要熟悉椭圆的准线的性质，即椭圆上的点到焦点的距离等于该点到相应准线距离的倍，由此可知椭圆上到焦点距离最短的点分别为长轴上的两个顶点；对于为定值的证明，要能够结合已知条件正确假设直线方程，其次要注意斜率不存在的情形.证明过程中，要冲利用两根和与积的关系进行化简.21设函数（1）若，求的单调区间；（2）若当时，

16、求的取值范围【答案】（1）的单调增区间是，单调减区间是；（2）.【解析】试题分析：（1）求函数的单调区间，通常使用导函数法，令可求得单调增区间，令可求得单调减区间；（2）因为，有已知条件可知，通过在恒成立，来求的取值范围，所以可构造一个新函数，即，通过导函数求得其最小值，使最小值非负，即可求的取值范围试题解析：（1）时，当时；当时，；当时，故在单调增加，在单调减少（2）令，则若，则当时，为增函数，而，从而当时，即若，则当时，为减函数，而，从而当时，即综合得的取值范围为【考点】函数的单调性，导函数的运用.【方法点睛】求函数的单调区间，如果函数解析式比较简单可以通过定义法，也可通过基本初等函数的单

17、调性来求；当函数解析式比较复杂难求时，需要利用导函数的性质来求单调区间，即通过导函数的正负区间来确定函数的单调区间；而对于含参函数的恒成立问题，可以先求导函数，在对参数进行分类讨论，求得不同参数所应的函数最值，再结合不等式求参数的取值范围.22如图，是的一条切线，切点为，都是的割线，（1）证明：；（2）证明：【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）由割线定理可得，即可得证；（2）由可证得相似，可得，都为圆的割线，所以有，等量代换可得，便可证明.试题解析：（1）证明：因为是的一条切线。为割线，所以，又因为，所以，（2）由（1）得， 【考点】割线的性质，三角形相似.23在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系曲线的极坐标方程为，分别为与轴，轴的交点（1）写出的直角坐标方程，并求出的极坐标；（2）设的中点为，求直线的极坐标方程【答案】（1），；（2）.【解析】试题分析：（1）直角坐标系与极坐标系转化时满足条件，曲线的极坐标标方程为，将其中的利用前面的关系式换作，即可得到直角坐标方程；与轴，轴的交点的极坐标中分别等于，代入极坐标方程求，即可求得的极坐标；（2）由的极坐标可求得的极坐标，所以直线的方程为.试题解析：（1）由得，从而的直角坐标方程为，即时，所以时，所以（2