第5章 常微分方程初值问题初步.ppt

1、1,第五章 常微分方程的数值解法,马尔萨斯人口模型：假设某特定区域在 t0 时刻的人口p(t0) = p0为已知的，该区域人口的自然增长率为。人口的增长与人口的总数成正比，所以 t 时刻的人口总数 p(t)满足如下的微分方程：,生活中常常有这样一类问题：,问 题 的 提 出,这些常微分方程有各种各样的解析方法，但解析方法只能用来求解一些特殊类型的问题，实际问题中归结出来的微分方程主要靠数值解法。,解析法：给出精确解析解。只适合少数简单情况。 近似解法：给出解的近似表达式。如级数法,逐步逼近法。 数值方法：给出方程在离散点上的近似解。它适合计算机求解,应用广泛,具有理论应用价值。,常微分方程的解

2、法：,内容分类：,定解问题,初值问题,边值问题,单步法,Euler方法,Taylor方法和Runge-Kutta方法,多步法,Adams方法和一般线性多部法,线性多部法的收敛性与稳定性,一阶常微分方程初值问题的一般形式：,问题:,其中: f (x, y) 为已知函数, 是已知值. (可能是观察值或实验值),基本条件：,f (x,y)在D上连续； f (x,y)在D上关于变量y满足Lipschitz连续条件：,设,对求解区域a,b做剖分,在区间xk, xk+1上对微分方程做积分,则有,常用等步长:, 则有,将微分方程的准确解记为y(x),称为步长。,的近似解记为,能不能将微分转化为积分？,因此，

3、建立节点处近似值yn满足的差分公式,称之为Euler公式.,对右边的积分应用左矩形公式，则有,Euler公式的几何意义,特点：简单，精度低.,例 求解初值问题,解： Euler公式的具体形式为,取步长 h=0.1，那么即可计算该微分方程。 具体结果见下页。,解析解：,(2) 前向差分近似微分法,前向差分,近似 , 得,将近似号改为等号，结合初始条件即得：,前面Euler方法是通过左矩形积分方法推导出来的，实际上 Euler方法还可以通过其他几种方法推导出来。,(3) Taylor展开法,忽略高阶项 ，,结合初值条件y (x0)=即得,将 y (xk+1)在x = xk点进行Taylor展开,1

4、1,Euler公式的局部截断误差：,后退的Euler公式,如果采用后向差分,近似 , 得,将近似号改为等号，结合初始条件即得：,这一类公式称为隐式的，相对应的前面介绍的Euler公式称为显式的,显式：更加方便计算 隐式：数值稳定性更好,显式与隐式的特点：,隐式方程的计算方法：,隐式方程常用迭代法计算，而迭代的过程实质是逐步显式化。,设用Euler公式 给出迭代的初值 ，用它代入后退Euler公式，使之转化为显式，得,然后再代入后退Euler公式,如此反复进行得：,如果迭代过程收敛，则极限值 必满足隐式方程，从而获得后退Euler方法的解。,后退Euler方法局部截断误差为,例 用后退Euler

5、方法求解初值问题,解： (1)取步长 h=0.1，首先用Euler方法计算初值，,(2)用它代入后退Euler公式，使之转化为显式，得,Euler,后退Euler, 误差,如果将这两种方法进行算术平均，即可消除误差的主要部分 从而获得更高的精度。这种平均化的方法通常称为梯形方法，其计算公式为：,即为前面导出的梯形微分方程公式.,若对上式右边的积分应用梯形求积公式，则可导出差分公式,梯形公式也可以通过积分的方法来获得：,将微分方程化为积分方程的形式,梯形方法的求解,梯形方法是隐式的，可用迭代法求解。同后退的Euler方法一样，仍用Euler方法提供迭代初值，则梯形法的迭代公式为：,例 用梯形方法

6、求解初值问题,解： (1)取步长 h=0.1，首先用Euler方法计算初值，,(2)用它代入梯形公式，使之转化为显式，得,梯形法虽然提高了精度，但其算法复杂，在迭代公式进行计算时，每迭代一次，都要重新计算函数 f 的值，而迭代又要反复进行若干次，计算量很大，而且往往难以预测。,1,用Euler公式求得一个初步的近似值,再用梯度公式将它校正一次,为了控制计算量，通常只迭代一两次就转入下一步的计算,2,预测值,校正值,这个方法也叫做：改进的Euler公式 或 预估-校正公式,预测,校正,这个公式也可以写为,梯形法步骤：,预估校正法步骤：,Euler 梯形 梯形 梯形,Euler 梯形 Euler

7、梯形,Euler两步方法,前面介绍过的数值方法，无论是Euler方法，后退的Euler方法，还是改进的Euler方法，他们都是单步法，其特点是在计算 yn+1 时值用到前一步的信息 yn；然而Euler两步法中的公式除了 yn 外，还显含更前面一部的信息 yn-1，即调用了前面两步的信息，Euler两步法因此而得名。,单步法的优点：,单步法的优点是“自开始的”，只要给出初值 y0 ，依计算公式可顺次计算 y1， y2 而两步法除了给出初值 y0 ，还需要求助于其他单步法再提供一个开始值 y1 ，然后才能启动计算公式依次计算 y2， y3 ,两步法的优点：,两步法的优点是它调用了两个节点上的已知信息，从而能以较少的计算量获得较高的精度。,如果用Euler两步公式与梯形公式相匹配，得到下列预测-校正系统：,校正,预测,例 用Euler两步法求解初值问题,解： (1)取步长 h=0.1，首先用Euler方法计算初值，,(2)用它代入Euler两步法公式，得,例 用Euler两步法的预测校正方法求解初值问题,解： (1)取步长 h=0.1，首先用Euler方法计算初值，,(2)用它代入Euler两步法公式，得,(3)用它代入梯形公式，