高中数学第二章函数2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法_二分法精品学案新人教B版必修

1、名校名 推荐2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法二分法 学习目标 1. 了解函数变号零点与不变号零点的概念，会判断函数变号零点的存在.2. 会用二分法求函数变号零点的近似值，并能对二分法的过程作出程序化的步骤. 知识链接 现有一款手机，目前知道它的价格在5001 000 元之间，你能在最短的时间内猜出与它最近的价格吗？ ( 误差不超过20 元 ) ，猜价格方案：(1) 随机； (2) 每次增加20 元； (3) 每次取价格范围内的中间价，采取哪一种方案好呢？ 预习导引 1. 二分法的概念对于在区间 a，b 上连续不断且f ( a) f ( b) 0 的函数 y f ( x) ，通过不断地把

2、函数f ( x) 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近为零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法 . 由函数的零点与相应的方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解.2. 用二分法求函数f ( x) 零点近似值的步骤(1) 在 d内取一个闭区间 a0，b0 ? d，使 f ( a0) 与 f ( b0) 异号，即 f ( a0) f ( b0)0. 零点位于区间 a0， b0 中 .(2) 取区间 a ， b 的中点 ( 如图 ) ，则此中点对应的坐标为x a 2( b a ) 2( a b ).0000100100计算 f ( x0) 和 f ( a0) ，并判断：如果 f (

3、x0) 0，则 x0 就是 f ( x) 的零点，计算终止；如果 f ( a0) f ( x0)0 ，则零点位于区间 x0， b0 中，令 a1 x0， b1 b0.11(3) 取区间 a1， b1 的中点，则此中点对应的坐标为x1 a1 2( b1 a1) 2( a1 b1).计算 f ( x1) 和 f ( a1) ，并判断：如果 f ( x1) 0，则 x1 就是 f ( x) 的零点，计算终止；如果 f( a1) f ( x1)0 ，则零点位于区间x1，1 上，令a21， 2 1.fbxbb(4) 继续实施上述步骤，直到区间 a ， b ，函数的零点总位于区间 a ， b 上，当a 和

4、 bnnnnnn按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数y f ( x) 的近似零点，1名校名 推荐计算终止 . 这时函数y f ( x) 的近似零点满足给定的精确度.要点一函数零点类型的判断例 1判断下列函数是否有变号零点；(1) y x2 5x 14； (2) y x2 x 1；(3) y 4x2 4x 1.解 (1) y x2 5x14 ( x2)( x 7) ，有两个零点 2,7.由二次函数的图象知，2,7 都是变号零点.(2) y x2x 1 ( x ) 2 3 0 恒成立，241此函数没有零点.(3) y 4x24x 1(2 x 1) 2，1有一个零点2，但它是

5、不变号零点 .规律方法函数的零点分为变号零点和不变号零点，若函数零点左右两侧函数值符号相反，则此零点为函数的变号零点；从图象来看，若图象穿过x 轴，则此零点为变号零点，否则为不变号零点 . 二分法只能求函数的变号零点.跟踪演练1已知函数yf ( x) 的图象如图所示. 下列结论正确的序号是()该函数有三个变号零点；所有零点之和为0；1当 x 2时，恰有一个零点；当 0 x 1 时，恰有一个零点.a. b. c.d.答案d解析函数 y f ( x) 的三个变号零点分别是1,0,1.所以正确.要点二二分法求函数零点近似解例 2求函数 f ( x) x3 2x2 3x 6 的一个为正数的零点( 精确

6、到 0.1).解由于 f (1) 6 0， f (2) 4 0，可取区间 1,2作为计算的初始区间.用二分法逐次计算，列表如下：2名校名 推荐端点或中点横坐标计算端点或中点的函数值定区间a 1， b 2f (1) 6， f (2)41,20011 2f(x101.5,22 1.5) 2.625x 21.5 21.7521.5,1.75x2f ( x ) 0.234 4 0x 1.5 1.751.625 ，32f ( x3) 1.302 7 01.75 1.6251.625 1.75，x41.687 52f ( x4) 0.561 8 01.75 1.687 51.687 51.75，x51.7

7、18 752f ( x5) 0.171 01.75 1.718 756 1.718 75 1.751.71875 ，x2f ( x6) 0.03 01.734375 1.734 375至此可以看出，区间1.718 75,1.734 375内的所有值精确到0.1 都为 1.7 ，所以 1.7 就是所求函数零点精确到0.1 的实数解，即为函数的一个正数零点.规律方法1. 在选择区间 a， b 时要使其长度尽可能小，以减少运算次数. 在没有特别要求的情况下，为了便于计算和操作，可以尝试取相邻的两个整数作为初始值区间的端点.2. 切记最后分得的区间两端点共同的近似值才是零点的近似值，若无共同近似值则需

8、继续运算，直到符合要求为止.跟踪演练2求函数 f ( x) x3x 1 在区间 1,1.5内的一个零点( 精确到 0.1).解由于 f (1) 11 1 1 0，f (1.5) 3.375 1.5 1 0.875 0， f ( x) 在区间 1,1.5 内存在零点，取区间 1,1.5 作为计算的初始区间，用二分法逐次计算列表如下：端点或中点横坐标计算端点或中点的函数值定区间a0 1，b0 1.5f (1) 1，1,1.5f (1.5) 0.875011.5 1.2501.25,1.5x 2f ( x ) 03名校名 推荐11.25 1.5f(x1) 01.25,1.375x 1.37521.2

9、5 1.375x2f ( x2) 01.312 5 ，1.3752 1.312 5x3 1.312 5 1.3752f ( x3) 01.3125， 1.343 75 1.343 75区间 1.312 5,1.343 75两个端点精确到0.1 的近似值都是1.3 ，所以原函数精确到0.1的近似零点为1.3.1. 设函数 f ( x) 用二分法求方程 f ( x) 0在 x(1,2)内近似解的过程中得f (1) 0， f (1.5)0， f (1.25) 0，则方程的根落在区间()a.(1,1.25)b.(1.25,1.5)c.(1.5,2)d. 不能确定答案b解析 f (1.5) f (1.2

10、5) 0，方程的根落在区间 (1.25,1.5).2. 函数 f ( x) 的图象如图所示，则函数f ( x) 的变号零点的个数为 ()a.0b.1c.2d.3答案d解析函数 f ( x) 的图象通过零点时穿过x 轴，则必存在变号零点，根据图象得函数f ( x) 有3 个变号零点 .3. 在用二分法求函数 f ( x) 的一个正实数零点时， 经计算， f (0.64) 0，f (0.72) 0，f (0.68)0，则函数的一个精确到0.1 的正实数零点的近似值为()a.0.68b.0.72c.0.7d.0.6答案c解析已知 f (0.64)0， f (0.72) 0，则函数f ( x) 的零点

11、的初始区间为0.64,0.72，又4名校名 推荐0.68 (0.64 0.72)/2，且 f (0.68) 0，所以零点在区间0.68,0.72上，且该区间的左、右端点精确到0.1 所取的近似值都是0.7 ，因此 0.7 就是所求函数的一个正实数零点的近似值.4. 下列函数图象均与x 轴有交点，其中能用二分法求函数零点的是_( 填序号 ).答案解析图中所示函数的零点都不是变号零点，因此不能用二分法求解； 图中所示函数的零点是变号零点，能用二分法求解.5. 用二分法求方程 x3 2x5 0 在区间 2,3内的实根，取区间中点x0 2.5 ，那么下一个有根区间是 _.答案2,2.5解析令 f ( x) x3 2x 5， f ( x) 图象在 2,3上连续不断， f (2) 1 0， f (3) 160，f ( x0) f (2.5) 5.625 0，f (2) f (2.5) 0，故下一个有根区间是2,2