高一数学教案第二章函数概念与基本初等函数第12课对称变换

1、对称变换对称变换都有哪些内容？【答】对称变换主要有 y=f( x)与 y=f(x)的图象关于 y 轴对称 ;若 f( x)=f(x),则函数自身的图象关于y 轴对称 . y= f(x)与 y=f(x)的图象关于 x 轴对称 . y= f( x)与 y=f(x)的图象关于原点对称 ;若 f( x)= f( x),则函数自身的图象关于原点对称. y=f1 (x)与 y=f(x)的图象关于直线y=x 对称 . y= f1(x)与 y=f(x)的图象关于直线y= x 对称 . y=f(2a x)与 y=f(x)的图象关于直线x=a 对称；若 f(x)= f(2a x)(或 f(a x)=f(ax) 则

2、函数自身的图象关于直线x=a 对称 . y=2b f(x)与 y=f(x)的图象关于直线y=b 对称 . y=2 b f(2a x)与 y=f(x)的图象关于点 (a,b)对称 .案例 1证明函数 y= x1(a 1)的图象关于直线y=x 对称 .ax1本题考查对函数图象本身关于直线对称的理解.【分析】利用函数解析式与它的反函数的解析式若为同一个函数，则函数图象关于直线y=x 对称，也可利用函数图象上任意点关于直线的对称点也在已知函数的图象上，则函数图象关于直线 y=x 对称 .1a【证法一】 a 1,y=1(1a) y1aax1a由 y= x1得 x(ay 1)=y1,x=y1ax1ay1

3、y= x 1 (a 1)的反函数是 y= x 1ax1ax 1 y= x1 的图象关于直线y=x 对称 .ax1【证法二】设点 p(x ,y )是这个函数图象上任一点，则x 1且 y=x1 aax1易知点 p 关于直线y=x 的对称点 p的坐标为 (y ,x )由得 y (ax 1)= x 1即 x (ay 1)=y 1如果 ay 1=0,则 y = 1,代入得 1=x1.aaax1解得 a=1, 与已知矛盾 .第1页共4页于是 ay 1 0,由得 x = y1ay1这说明点 p (y,x )也在已知函数的图象上 .因此，这个函数的图象关于直线y=x 成对称图形 .【评注】 要分清函数本身关于

4、直线y=x 对称与两个函数关于直线y=x 对称的区别 .1.已知函数 y=f(x)的图象如图2 3，则下列函数所对应的图象中，不正确的是()a. y=|f(x)|b. y=f(|x|)c.y=f( x)d.y= f(x)图 2 3【解析】8.设函数a. y=2 xc.y=2 4 x【解析】【答案】 cy=f(|x|)是偶函数，图象关于y 轴对称 .【答案】by=2x 的图象为 c，某函数的图象c与 c 关于直线 x=2 对称，那么这个函数是()b. y=2 2 xd. y=2 x 4 y=f(x)的图象与 y=f(4x)的图象关于直线 x=2 对称，设 f(x)=2x,则 f(4x)=24x.

5、10.设函数 y=f(x) 的定义域是r ，且 f(x 1)=f(1 x),那么 f(x)的图象有对称轴()a. 直线 x=0b. 直线 x=1c.直线 y=0d. 直线 y=1【解析】 设 x 1=t,则 f(t)=f( t)，函数为偶函数，关于 y 轴对称 .【答案】 a12.已知函数 f(x)=x1(x 2),那么函数f(x 1)的图象关于直线y=x 成对称图形的函数是x2()a. y= 3x (x 1)b. y= x2 ( x1)x 1x1第2页共4页2 x1d. y=2x 3c.y=x1(x 1)(x 0) f(x 1)=y= x23x【解析】=1(x 1)x1x1 x=1 3,即上

6、式的反函数是x2(x 1).【答案】 by=1y1x13.函数 y=2x 的图象关于点 _对称 .x1【解析】y=2x= 11,y=2x 的图象是由 y=1 的图象先右移1 个单位，再下移1 个x1x1x1x单位而得到，故对称点为 (1， 1).【答案】(1， 1)16.定义在 r 上的函数y=f(x) 、y=f( x)、y= f(x)、y= f(x)的图象重合，它们的值域为_.【解析】函数 y=f(x)与 y=f( x)的图象重合，说明函数y=f(x)的图象关于y 轴对称； y=f(x)与 y= f(x)图象重合，说明y=f(x)的图象关于x 轴对称； y=f(x) 与 y= f( x)的图

7、象重合，说明y=f( x)的图象关于原点对称.即若 y=f(x)上任一点 (x,y),则也有点 ( x,y)、(x, y)、( x, y); 根据函数的定义，对于任一x r ,只能有惟一的y 与之对应，从而y= y,即 y=0，故函数的值域为0.17.已知函数f(x) 定义域为r，则下列命题中 y=f(x) 为偶函数，则y=f( x 2) 的图象关于y 轴对称 . y=f(x 2)为偶函数，则y=f(x)关于直线x=2 对称 .若 f(x 2)=f(2 x),则 y=f(x)关于直线x=2 对称 . y=f(x 2)和 y=f(2 x)的图象关于x=2 对称 .其中正确命题序号有_(填上所有正

8、确命题序号).【解析】 y=f(x)是偶函数，而f(x 2)是将 f(x) 的图象向左平移2 个单位得到的，则对称轴左移 2 个单位为x= 2,所以 f(x 2)图象关于直线x= 2 对称 . y=f(x 2)为偶函数，则f(x 2)= f(2x),所以 y=f(x) 图象关于直线x=2 对称 .令 x 2=t,则 2 x=t,得 f(t)=f( t),y=f(x)的图象关于y 轴对称 . f(x) 与 f( x)的图象关于y 轴对称，将f(x)与 f( x)的图象分别向右平移2 个单位，分别得到 f(x 2)与 f(2 x)的图象，对称轴右移2 个单位为直线 x=2.【答案】 18.若函数

9、y=f(x)=2ax1 的图象关于直线y=x 对称，求 a,b 应满足的条件 .2xb【解】 由 y=f(x)= 2ax1 (x b2 xb2),得 2xyby=2ax 1 2(y a)x=by1, x= by 12y2a y=f(x) 的反函数是 f 1( x)=bx1(xa)2x2a y=f(x) 的图象关于直线y=x 对称，则函数 y=f(x)反函数就是它本身 .第3页共4页 2ax1=bx1 ，比较系数得 b=2a.2xb2x2a即为 a,b 所满足的条件 .20.设 f(x)是定义在 r 上的奇函数，且 f(x 2)= f( x),又当 1 x1 时， f(x)=x3 .(1)证明直线 x=1 是函数 f(x)的图象的一条对称轴；(2)当 x 1,5时，求 f( x)的解析式 .【解】(1) 设( x0,y0)是 f(x)的图象上任意一点，它关于x=1 对称的点为 (x1,y1),则 y0=y1,x0=2x1, y1=f(2 x1)= f( x1)=f(x1