简单的线性规划问题.ppt

1、内容,要求,线性规划,A,1.二元一次不等式表示平面区域 (1)一般地，二元一次不等式AxByC0在平面直角 坐标系中表示直线AxByC0某一侧的所有点组成 的平面区域(半平面) 边界直线. 不等式AxByC0所表示的平面区域(半平面) 边界直线.,不包括,包括,(2)对于直线AxByC0同一侧的所有点(x，y)，使得AxByC的值符号相同，也就是位于同一半平面的点，其坐标适合AxByC0；而位于另一个半平面内的点，其坐标适合 . (3)可在直线AxByC0的某一侧任取一点，一般取特殊点(x0，y0)，从Ax0By0C的 来判断AxByC0(或AxByC0)所表示的区域. (4)由几个不等式组

2、成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的 .,AxByC0,符号,公共部分,2线性规划的有关概念 (1)可行域 所表示的平面区域称为可行域 (2)线性规划问题 求线性目标函数在线性约束条件下的 和 的 问题,约束条件,最大值,最小值,思考探究 可行解和最优解有什么联系和区别？,提示：最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解.,1下列说法正确的是_(填序号) 图中表示的区域是不等式2xy10的解集； 图中表示的区域是不等式3x2y10的解集； 图中表示的区域是不等式AxByC0的解集,解析：把原点O(0,0)分别代入不等式，可知20010.边界应为虚线A0B0CC与0的大小

3、不定,答案：,2.不等式x3y10表示的平面区域在直线x3y1 0的 方.,答案：左下,3下面给出的四个点：(0,2)；(2,0)；(0， 2)；(2,0)，其中位于 表示的平面 区域内的点是_,解析：本题可以利用代入法验证,答案： ,4.若不等式组 表示的平面区域是一个三角形， 则a的取值范围是.,解析：先画出xy50和0 x2表示的区域，再确定y a表示的区域. 由图知：5a7.,答案：5,7),5.已知实数x，y满足 则z2xy的最小值 是.,解析：由约束条件画出x，y满足的可行域，得三个点A(2,0)，B(5,3)，C(1,3)，当目标函数过点C(1,3)时z取得最小值.,答案：1,二

4、元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法 1.直线定界，特殊点定域 注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线， 有等号时直线画成实线.若直线不过原点，特殊点常选 取原点. 2.同号上，异号下 即当B(AxByC)0时，区域为直线AxByC0的上 方，当B(AxByC)0时，区域为直线AxByC0的 下方.,特别警示(1)AxByC0(0)：表示直线l：AxByC0某一侧所有点组成的平面区域，直线应画成虚线. (2)AxByC0(0)：表示直线l：AxByC0某一侧含边界直线上的所有点组成的平面区域，直线l应画成实线.,(2009安徽高考改编)若不等式组 所表示的平面区域被直线ykx 分

5、为面积相等的两部分，求k的值.,思路点拨,课堂笔记由图可知，线性规划区域为ABC边界及内部，ykx 恰过A(0， )，ykx 将区域平均分成面积相等两部分，故过AB的中点D( )， k ，k .,1.求目标函数的最值，必须先准确地作出线性可行域，再 作出目标函数对应的直线，根据题意确定取得最优解的 点，进而求出目标函数的最值.,2.最优解的确定方法 线性目标函数zaxby取最大值时的最优解与b的正负 有关，当b0时，最优解是将直线axby0在可行域内 向上方平移到端点(一般是两直线交点)的位置得到的； 当b0时，则是向下方平移.,特别警示当目标函数不是直线形式时，常考虑目标函数的几何意义，常见

6、代数式的几何意义主要有以下几点： (1) 表示点(x，y)与原点(0,0)的距离； 表示点(x，y)与(a，b)的距离. (2) 表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率； 表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率. 这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键.,已知实数x，y满足 (1)若z2xy，求z的最大值和最小值. (2)若zx2y2，求z的最大值和最小值； (3)若z ，求z的最大值和最小值.,思路点拨,课堂笔记不等式组 表示的平面区域如图所示. 图中阴影部分即为可行域. 由 得 A(1,2)； 由 得 B(2,1)；,由 得 M(2,3).,(1)z2xy，y

7、2xz， 当直线y2xz经过可行域内点M(2,3)时，直线在y轴上的截距最大，z也最大，此时 zmax2237. 当直线y2xz经过可行域内点A(1,2)时，直线在y轴上的截距最小，z也最小，此时 zmin2124. 所以z的最大值为7，最小值为4.,(2)过原点(0,0)作直线l垂直于直线xy30，垂足为N，则直线l的方程为yx， 由 得 N( )， 点N( )在线段AB上，也在可行域内. 此时可行域内点M到原点的距离最大，点N到原点的距离最小.,又|OM| ，|ON| ， 即 ， x2y213， 所以，z的最大值为13，z的最小值为 . (3)kOA2，kOB ， 2， 所以z的最大值为2

8、，z的最小值为 .,在例2中，若zaxy(其中a0)，仅在点(1,2)处取得最小值，求a的范围.,解：直线xy30的斜率k11， zaxy(a0)的斜率k2a， 由题意k1k2，即1a，得a1.,1.能建立线性规划的实际问题的类型 (1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资 源，使完成的任务量最大，收到的效益最大； (2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗 费的人力、物力资源量最小.,2.解线性规划应用问题的步骤 (1)设出决策变量，找出约束条件和线性目标函数； (2)利用图象在线性约束条件下找出决策变量，使目标 函数达到最大或最小.,特别警示(1)用图解法解答线性规划应

9、用题时应注意仔细审题，对关键部分进行“精读”，准确理解题意，明确有哪些限制条件，探求的目标如何？起关键作用的变量有哪些？由于线性规划应用题中的量较多，为了理顺题目中量与量之间的关系，一般可将数据列成一个表格来帮助分析数量关系. (2)要注意结合实际问题，确定未知数x、y等是否有限制.,(2009山东高考)某公司租赁甲、乙两种设备生产A、B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元.现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为元.,思路点拨,课堂笔

10、记设需租赁甲型设备x台，乙型设备y台. 租赁费为z元. 根据题意得 z200 x300y.,如图可知z在(4,5)处取到最小值，z420053002 300. 即所需租赁费最少为2 300元.,答案2 300,以填空题的形式考查给出线性约束条件，求线性目标函数的最值问题是高考对本节内容的常规考法.09年山东、安徽、福建高考则考查了线性规划的逆向性问题，即已知目标函数的最值，求约束条件或目标函数中所含参数的最值范围问题，这是一个新的考查方向.,考题印证 (2009山东高考改编)设x，y满足约束条件 若目标函数zaxby(a0，b0)的最大值为12，则 的最小值为 .,【解析】由图形可知，目标函数

11、 在(4,6)处取得最大值12， 2a3b6， 从而有 (2a3b) ,【答案】,自主体验 已知x、y满足 且目标函数z2xy的最大值为7，最小值为1，则 .,解析：先作出 所表示的平面区域，再将目标函 数z2xy进行平移，可知目标函数z2xy在直线2x y7和xy4的交点(3,1)处取得最大值7，在直线2xy 1和x1的交点(1，1)处取得最小值1，故直线axby c0经过点(3,1)与点(1，1)，且c0，代入两点坐标可 解得 故 2.,答案：2,1.(2009安徽高考改编)不等式组 所表示的平面 区域的面积等于 .,解析：不等式组表示的平面区域如图所示. A(0， )，B(1,1)，C(

12、0,4). SABC |AC|h,答案：,2.(2009宁夏、海南高考纠缠)设x、y满足 则z xy的小值为 .,解析：不等式组 的平面区域为如图的阴影区域.xy在点A(2,0)处取最小值为2.,答案：2,3.若实数x，y满足 且x2y2的最大值等于34， 则正实数a 的值等于 .,解析：在平面直角坐标系中画出已知不等式组所表示的平面区域MPA(如图所示)，其中直线axya0的位置不确定，但它经过定点A(1,0)，斜率为a.,又由于x2y2( )2，且x2y2的最大值等于34， 所以平面区域MPA中的点到原点的最大距离等于 ， 又M( ，3)，OM ， 所以点P( 1,3)到原点的距离最大，

13、故有( 1)2934，解得a .,答案：,4(2010淮安模拟)已知M、N是不等式组 所表 示的平面 区域内的不同两点，则|MN|的最大值 是 .,解析：不等式组所表示的平面区 域如图中阴影部分(包括边界)所 示，由图形易知，点D(5,1)与点 B(1,2)的距离最大，所以|MN| 的最大值为 .,答案：,5.已知点(x，y)在如图所示平面区域内运动(包含边界)， 目标函数zkxy.当且仅当x ，y 时，目标 函数z取最小值，则实数k的取值范围是.,解析：,答案：,6.某公司仓库A存有货物12吨，仓库B存有货物8吨，现按 7吨、8吨和5吨把货物分别调运给甲、乙、丙三个商店， 从仓库A运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分 别为8元、6元、9元；从仓库B运货物到商店甲、乙、丙， 每吨货物的运费分别为3元、4元、5元.问应如何安排调 运方案，才能使得从两个仓库运货物到三个商店的总运 费最少？,解：将已知数据列成下表：,商店,每吨运费,仓库,甲,乙,丙,A,B,8,3,6,4,9,5,设仓库A运给甲、乙商店的货物分别为x吨，y吨， 则仓库A运给丙商店的货物为(12xy)吨， 从而仓库B运给甲、乙