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文档简介

1、1,第二章 解析函数,1. 解析函数的概念与柯西-黎曼方程 2. 初等单值解析函数 3. 初等多值解析函数,第一节 解析函数的概念,一、复变函数的导数与微分,二、解析函数的概念,三、函数解析的充要条件,3,教学目的： 1. 能理解并掌握复变函数可导（可微）和解析的定义，以及复变函数在一点和闭区域上解析的含义； 2. 能根据条件正确判断所给函数在一点或在一个区间上的可导性与解析性 重难点： 1.证明函数的可导性与解析性； 2.函数可导与解析的联系与区别,4,一、复变函数的导数与微分,1.导数的定义:,5,在定义中应注意:,6,例1,解,7,例2,解,8,9,例3,解,10,11,2.微分的概念:

2、,复变函数微分的概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一致.,定义,12,特别地,13,3.可导与连续:,函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连续, 但函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导.,证,14,证毕,15,4.求导法则:,由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致, 并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样, 因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来, 且证明方法也是相同的.,求导公式与法则:,16,17,二、解析函数的概念,1. 解析函数的定义,18,2. 奇点的定义,根据定义可知:,函数在区域内解析

3、与在区域内可导是等价的.,但是,函数在一点处解析与在一点处可导是不等价的概念. 即函数在一点处可导, 不一定在该点处解析.,函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多.,19,注解1、“可微”有时也可以称为“单演”，而“解析”有时也称为“单值解析”、“全纯”、“正则”等； 注解2、一个函数在一个点可导，显然它在这个点连续； 注解2、解析性与可导性的关系：在一个点的可导性为一个局部概念，而解析性是一个整体概念；,注解：,20,注解3、函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内可导，因此在这个点可导，反之，在一个点的可导不能得到在这个点解析； 注解4、闭区域上的解析函数是指在包含这个区域的一个更

4、大的区域上解析； 注解5、解析性区域；,注解：,21,例4,解,由本节例1和例3知:,22,23,24,例5,解,25,例6,解,26,27,课堂练习,答案,处处不可导,处处不解析.,28,定理,以上定理的证明, 可利用求导法则.,29,根据定理可知:,(1) 所有多项式在复平面内是处处解析的.,30,三、小结与思考,理解复变函数导数与微分以及解析函数的 概念; 掌握连续、可导、解析之间的关系以及 求导方法.,注意: 复变函数的导数定义与一元实变函数 的导数定义在形式上完全一样, 它们的一些求 导公式与求导法则也一样, 然而复变函数极限 存在要求与z 趋于零的方式无关, 这表明它在 一点可导的条件比实变函

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