02 线代-张翀02 第二讲 矩阵_W

1、 线性代数全考点精讲考研数学 Kira第二讲矩阵【考试要求】 1. 理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵以及它们的性质 2. 掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质 3. 理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件， 理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵 4. 理解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法 5. 了解分块矩阵及其运算 考点：矩阵的概念和基本运算1. 定义1）矩阵 由m n 个数aij (i =

2、 1, 2, m; j =1, 2, n) 排成m 行n 列的数表 a11a1n a1222 aaa2n 21 aaa m1mn m2称为一个m 行n 列矩阵，简称m n 矩阵，矩阵通常用大写黑体字母表示，记作 A或 Amn .当m = n 时，称 An 为n 阶矩阵(或n 阶方阵).A 称为 A 的行列式.2）元素 这m n 个数aij 称为矩阵 A 的第i 行第 j 列元素，简称为元. 以数aij 为元素的矩阵可简记作 A = (aij ) 或(aij )mn (i = 1, 2,其中横排为行，竖排为列., m; j =1, 2, n)，3）实矩阵 元素是实数的矩阵称为实矩阵（考研仅考察实

3、矩阵）2. 常见矩阵关系 1） 同型矩阵： 行数、列数都相同的矩阵称为同型矩阵.2） 矩阵相等： 如果两个同型矩阵 A = (aij )mn 和 B = (bij )mn 的各元素也对应相等，1 / 29 线性代数全考点精讲考研数学 Kira即= bij (i =1, 2, m; j = 1, 2,aij, n) ，则称 A 和 B 相等，记作 A = B .3. 矩阵与行列式的区别 1） 矩阵是一个数表，行数和列数可以不相等；行列式是一个算式，行数和列数必须相等； 2） 两个矩阵相等是指两个矩阵同型且对应元素完全相同；两个行列式的值相等不一定有对应元素相等，甚至阶数也不一定相等.4. 矩阵的

4、线性运算 1）矩阵的加法： n 矩阵加法定义：设有两个m n 矩阵 A = (aij ) 和 B = (bij ) ，规定 a11 + b11a12 + b12a1n + b1n aa+ ba+ b+ bA + B = (a + b ) = 2n2n 21212222ijij a+ ba+ ba+ b m1m1mnmn m2m2注：只有同型矩阵才能相加.矩阵的加法满足运算律： 交换律： A + B = B + A ; 结合律： ( A + B) + C = A + (B + C ) ; A + O = A ; A + (- A) = O .2）矩阵的数量乘法（数乘） 矩阵数乘定义 设k 是任意

5、常数， A = (aij ) ，将k 乘到矩阵的每个 A 元素上，即 ka11 kaka12 kaka1n 2n kakA = (ka ) = 2122ij kakakam1mn m22 /29 线性代数全考点精讲考研数学 Kira矩阵的数乘满足运算律 加乘分配律: k ( A + B) = kA + kB ， (k + l) A = kA + lA ； 数乘结合律： k (lA) = (kl) AcA = O c = 0 或 A = O.5.矩阵的乘法 a11a1222a1n b11b1222b1s a baabb1）定义 设m n 矩阵 A = 2n 和n s 矩阵 B = 2s ，212

6、1 a baabb m1mn n1ns m2n 2m s 矩阵，其中则 A, B 的乘积 AB = (cij )ms 是一个n+ ainbnj=a bcij = ai1b1 j + ai 2b2 j +ik kjk =1即矩阵C = AB 的第i 行第 j 列元素cij 是 A 第i 行的n 个元素与 B 第 j 列对应的n个元素分别相乘的乘积之和，有 b1 jb2 ji aa= aciin i1i 2ijmn msbnsnjjj2）矩阵乘法满足的运算律 结合律： (AB)C=A(BC);左、右分配律： C (A+B) =CA + CB;(A+B)C =AC+BC；数乘结合律： (kA)(lB

7、)=(kl)(AB)； Em Amn = Amn En = Amn ； AO = O, OA = O3）注意矩阵乘法与数的乘法的区别： 矩阵乘法左边矩阵的列数必须与右边矩阵的行数相同，否则不能相乘；矩阵乘法不满换律，一般 AB BA ； 矩阵乘法中， AB = O /A = O 或 B = O ； 3 / 29 线性代数全考点精讲考研数学 Kira6. 矩阵的转置 1）矩阵转置的定义： a11a1n a1222 aaa2n 的行与列的元素互换位置，得到的一个 将 m n 矩阵 A = 21 aaa m1mn m2n m 矩阵，称为 A 的转置矩阵，记作 AT ，即 a11a2122am1 aa

8、aAT = m2 12 aaa 1nmn 2n2）转置矩阵的运算性质： ( AT )T = A ; ( A + B)T = AT + BT ; (kA)T= kAT ; ( AB)T = BT AT【例1】求矩阵A = -2 与 B = 424-2 -3-6 1的乘积 AB 及 BA【例2】设矩阵 A = 1 , 0, 1 ,B = E - AT A, C = E + 2 AT A ，其中 E 为 3 阶单 22 位阵，求 BC .直觉训练 T 和T4 / 29 线性代数全考点精讲考研数学 Kira考点：常见特殊矩阵1. 行矩阵（列矩阵）：只有一行的矩阵 A = (a11, a12， , a1

9、n ) 称为行矩阵，又称 b1 b 行向量. 只有一列的矩阵 B = 2 称为列矩阵或列向量. b n 2. 零矩阵： m n 个元素全为零的矩阵称为零矩阵，记作O .3. 三角矩阵：主对角线下方元素全为 0 的 n 阶矩阵称为上三角矩阵，主对角线上方元素全为 0 的 n 阶矩阵称为上三角矩阵，上、下三角矩阵合称为三角矩阵. 形状分别如下： a11a1n a11a1222aaaa2n ,2122aaaann n1nn n2上（下）三角矩阵具有如下性质： 如果 A, B 为同型的三角矩阵，则kA, A + B, AB 仍为三角矩阵； 如果 A 为上（下）三角矩阵，则 AT 为下（上）三角矩阵；=

10、 a11a22ann .A4. 对角矩阵：主对角线上的元素是任意常数，其余元素都为 0 的n 阶矩阵，称 为n 阶对角矩阵(简称对角阵)，记作 ，即 a1a = ，2an , an ) .或记作diag(a1, a2 ,对角矩阵有如下性质：5 / 29醒脑提问：不同型的零矩阵是否相等？ 线性代数全考点精讲考研数学 Kira 若 A, B 为同阶对角矩阵，则kA, A + B, AB 仍为同阶对角矩阵； 若 A 为对角矩阵，则 AT = A ； = a1a2 若 A 为对角矩阵，则Aan .5. 单位矩阵：主对角线上的元素都为 1 的n 阶对角矩阵,，称为n 阶单位矩阵 ( 简 称 单 位 阵

11、) ， 记 作 I 或 E . 单 位 矩 阵 的 作 用 类 似 常 数 1 ， 如 E A= AE = A, A0 = E 等.m mnmn nmn6. 数量矩阵：若对角矩阵主对角线上的元素相等，则称为数量矩阵.数量矩阵有如下性质： 如果 A, B 为同阶数量矩阵，则kA, A + B, AB 仍为同阶的数量矩阵； AT = A ； A = aE （ a 为 A 的主对角元）； AB = BA = aB （ A 为数量矩阵， B 为同阶方阵）；= an .A7. 对称矩阵：设 A = (aij ) 是一个n 阶矩阵，如果aij = aji (i, j = 1, 2,., n) ，即 AT=

12、 A，则称 A 为对称矩阵.同阶对称矩阵 A, B 有如下性质： kA, A + B 仍为对称矩阵； 若 AB = BA ，则 AB 也为对称矩阵； 对任意矩阵C, CT C 及CC T 均为对称矩阵.设列矩阵 X = ( x , x)T 满足 X T X = 1 ， E 为 n 阶单位矩阵，【例1】, x12nH = E - 2XX T ,证明 H 是对称矩阵，且 HH T = E6 / 29 线性代数全考点精讲考研数学 Kira8. 反对称矩阵：设 A = (aij ) 是一个n 阶矩阵，如果aij = -aji (i, j = 1, 2,., n) ，即 AT= -A ，则称 A 为反对

13、称矩阵.反对称矩阵有如下性质：反对称矩阵的主对角元aii 全为零； = 0；A对于奇数阶的反对称矩阵 A ，有 A, B 为同阶反对称矩阵，则kA, A + B 仍为反对称矩阵； 若 AB = -BA ，则 AB 也为反对称矩阵； 任意一个n 阶矩阵都可表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和.-2 0103 设 A = 2-1A .【例2】，求 -30 7 / 29 线性代数全考点精讲考研数学 Kira考点：方阵的幂和多项式1. 矩阵可交换 定义： A, B 为同阶方阵，若有 AB = BA ，则称矩阵 A 与 B 可交换A, B 可交换，即有以下等价命题成立：AB = BA ( A B)2

14、=A2 2AB+B2 (A + B)(A - B) = A2 - B2n ( A +B)n =C ABkn-kknk =02. 方阵的幂 设 A 是n 阶矩阵，定义 Ak = AAk个AA ，称 Ak 为 A 的k 次幂. 特别地，若存在整数 m，使 Am = O ，称 A 为幂零矩阵. 规定 A0 = E= Am+n= An Am ; ( Am )n = ( A)mn （ m, n 为正整数）.运算规律： Am An注: 只有方阵才有幂； 显然，方阵的幂是可交换的.3. 方阵的多项式 定义：设 x 的k 次多项式 f (x) = a xk + axk -1 + a x + a ，A 是n 阶

15、矩阵，称k -1k10f ( A) = a Ak + aAk -1 + a A + a E ， kk -110 n为矩阵 A 的一个k 次多项式性质： 1） 矩阵 A 的两个多项式 f ( A) 和j( A) 总是可交换的.（因为 Ak , Al , E 都可交换）2） 矩阵 A 的多项式可以像数的多项式一样相乘或因式分解. 例如 A2 + 2 A - 3E = ( A + 3E)( A - E) ， ( A + E)(E - 2A)= - 2A2 - A + E 等.8 / 29 线性代数全考点精讲考研数学 Kira11010设 A = 00 ，求 An【例1】01 04 200【例2】设

16、A = 03 ,求矩阵 A2 , A3 , A4 . 00 1 已知矩阵 A = PQ ，其中 P = 2 ， Q = (2, -1, 2) ，求矩阵 A, A2 , A100 .【例3】 1 9 / 29 线性代数全考点精讲考研数学 Kira考点：逆矩阵和伴随矩阵 1. 逆矩阵的定义： 设 A 是 n 阶矩阵，如果存在 n 阶矩阵 B，使得AB = BA = E,则称 A 为可逆矩阵(简称 A 可逆)，记为 A-1 .注： 1） 可逆矩阵一定都是方阵； 2） 设 A 是 n 阶矩阵，若存在 n 阶矩阵 B，使得 AB= E，则 BA=E. 即只要有AB=E 或 BA=E，即可得出 A, B

17、互为逆矩阵的结论， A-1 = B, B-1 = A .3） 单位矩阵的逆矩阵是它本身.【例1】 设n 阶方阵 A, B,C 均满足 ABC = E ，则必有（）(A) ACB = E(B)CBA = E(C) BAC = E(D) BCA= EA2 + B2 + C 2 等于(D) O设 A, B, C 均为n 阶方阵，且 AB = BC = CA = E ，则【例2】(A) 3E(B) 2E(C) E设 A 是 n 阶方阵，且( A + E)2 = O ，证明 A + 2E 可逆并求其逆矩阵.【例3】10 / 29 线性代数全考点精讲考研数学 Kira【例4】(2005)设 A, B, C

18、 均为n 阶矩阵， E 为n 阶单位矩阵，若 B = E + AB,C = A + CA ，则 B - C 为 .2. 逆矩阵的性质：1）若 A 可逆，则 A-1 唯一；1A 0 ，此时 A-1 =A* ；2）A 可逆的充要条件是A3）若 A 可逆，则 AT ， A-1 均可逆，且有( AT )-1 = ( A-1 )T , ( A-1 )-1 = A ； 4）若 A 可逆，且k 0 ，则(kA)-1 = 1 A-1 ； k5）设 A, B 为同阶可逆矩阵，则 AB 也可逆，且( AB)-1 = B-1 A-1 .推广：（A AA）-1 =A -1 A-1A -1 A -1 ； A-k( Ak

19、 )-1 = ( A-1 )kss-11 2s21A -1 ；A-1=6）7）如果 A 是可逆矩阵，则 A* 也可逆，且( A* )-1 = A= ( A-1 )* .A11 / 29醒脑提问：若 A, B 为同阶可逆矩阵，则 A + B 一定可逆吗？若 A, B, A + B 为同阶可逆矩阵，则一定有( A + B)-1 = A-1 + B-1 吗？若不成立，试表示真正的( A + B)-1 ？ 线性代数全考点精讲考研数学 Kira3. 伴随矩阵的定义： a11a1222a1n aaa2n 的行列式为方阵 A = 21设 AA 中a 的代数式，定义 ijij aaa n1nn n 2 A11

20、A2122An1 AAAn 2 ()A* = T12= Aijnn AAA 1n为方阵 A 的伴随矩阵，记作 A* .nn 2n4. 伴随矩阵的性质（“一招通关”）：1) 核心公式 AA* = A* A = A E ；A*1AA A-1 ， A =， (A* )=-1-1若 A 可逆，则 A* =AAA n-1A*=(n 2)2)3) ( A* )* =A n-2 A(n 2)4) A 可逆， ( A* )-1 = ( A-1 )* , ( AT )* = ( A* )T5) ( AB)* = B* A* （ A, B 均为n 阶方阵）6) (kA)* = kn-1 A* （ k 为数， A

21、为n 阶方阵）再思考：为什么将 A* 定义为转置 a11a13 A11A31 a1222A2122AA* = a AaaAA23 1232 21 a AaaAA 3133 1333 3223 a11 A11 + a12 A12 + a13 A13a11 A21 + a12 A22 + a13 A23a11 A31 + a12 A32 + a13 A33 = a A + a A + a Aa A + a A + a Aa A + a A + a A21 3122 3223 33 21 1122 1223 1321 2122 2223 23 aA + a A + a Aa A + a A + a

22、Aa A + a A + a A 31 1132 1233 1331 3132 3233 33 31 2132 2233 2312 / 29 线性代数全考点精讲考研数学 Kira00 10 A000= =A 010 =A00A E 01 A 00 2021【例5】设 A = 1()-1*3 ， 求 A 32 5. 利用伴随矩阵求逆矩阵（低阶数值型矩阵求逆）：A*A公式： A=-1【例6】 求下列矩阵的逆 1224312 4 （2） B = 21 ；（1） A = ； 3 33l1 l1（3） = (l； （4） C = ll(l 0) 0).2i2i ll3 313 / 29 线性代数全考点精

23、讲考研数学 Kira考点：方阵的行列式1. 方阵行列式的运算律l A= ln=AT=1)A ；2)A ；3)ABAB；A -1 ；A n-1= A k ；AkA-1=A*=4)5)6)；注：1）一般地， A B A B；2）若 A = O ，则 A= 0 ，但 A= 0 推不出 A = O .2 1设 A 为三阶方阵，且 A = 4 ，则 2 A = .【例1】）【例2】设 A, B 为n 阶方阵，则下列结论成立的是（(A) AB O A O 且 B O ；A =0 A = O ；(B)AB =0 A=E A =1 .(C)(D)A =O 或B =O ； b a【例3】设 3 阶方阵 A =

24、3g , B = g ，其中, , , 为 3 维行向量，且已2 2 23 2g g 3 3 = 24,= 3 ，求A -B .知行列式AB14 / 29 线性代数全考点精讲考研数学 Kira= 3 ， A* 为 A 的伴随矩阵，求：【例4】设 A 为 5 阶方阵，且AA-1AATA*（1）；（2）；（3）；（5） ( A* )*（4） 2A-1 - A*.； 15 / 29 线性代数全考点精讲考研数学 Kira考点：分块矩阵及其运算1. 分块矩阵的定义： 将矩阵 A 用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为 A 的子块， 以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵 2. 分块矩阵的运

25、算： 分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则类似.1）加法：设两个矩阵行数、列数相同，采用相同的分块法，有A + BA2 + B2 A1ABB2+12=11 A B A+ BA + BAB 34 34 3344 2）数乘：设有分块矩阵和常数k ，有 k A1AkAkA2 2=1 AA kAkA 34 34 3）乘法：设两个分块矩阵的子块对应的列数和行数符合矩阵乘法的要求，则Y = AX + BZAY + BW AB X CD ZW CX + DZCY + DW 4）转置：T AT AAAATAT11121k1121m1 AAAATATATm2 2k = 21221222 AAATATATA m

26、1mk 1kmk m22k5）分块矩阵的逆矩阵：D -1O -1= B B-1-B-1DC -1 BB-1O= ， OC DC C -1-C DBC-1-1-1O6）分块（副）对角矩阵的逆矩阵（假设每个子块都可逆）:-1 A A -111A -1A2= ,2-1AAn n16 / 29 线性代数全考点精讲考研数学 KiraA -1A -1 1nA2= .A -12A -1 An17）分块对角矩阵的幂：n A A n11A2A2n= AnAn n注： 分块副对角矩阵的幂无此规律.8）拉普拉斯公式：A*OBAO*B=AB ,AB，OA*BAO= (-1)mn= (-1)mnAB ,AB，B A1A

27、若 ,2= 0(i = 1,2,AAAA,A, k)（设 A 为m 阶方阵，12kiAk B 为n 阶方阵， Ai 为方阵， i = 1, 2, k ）【例1】设G = AO ，其中 A, B 均是n 阶可逆矩阵，证明矩阵G 可逆，并 CB 求其逆17 / 29醒脑提问：设G = AB 为k (k 3) 分块矩阵，且 G 0 ，则一般是否有下列等 CD 式成立？ G = AD - BC； G* = D-B ； G-1 = 1 D-B -CA G -CA 线性代数全考点精讲考研数学 Kira300【例2】A = 140 ,则( A - 2E )-1 = .003O *B A【例3】设 A*, B

28、* 分别为n 阶可逆矩阵，A, B 对应的伴随矩阵，C* = O= . 18 / 29 线性代数全考点精讲考研数学 Kira考点：矩阵的初等变换、矩阵等价 1. 引入：消元法解线性方程组（方程组的同解变换） 2. 初等变换的定义： 对矩阵施行以下三种变换称为矩阵的初等变换 (1) 交换矩阵的两行（列），即ri rj 或ci cj ；(2)以一个非零的数k 乘矩阵的某一行（列），即kri 或kci ， k 0 ； (3)将矩阵的某一行（列）乘以常数k 加到另一行（或列），即ri + krj 或ci + kcj .3. 初等矩阵： 1） 定义：对单位矩阵 E 作一次初等(行或列)变换所得的矩阵.2

29、） 三种初等矩阵（对应三种初等变换）： E(i, j): 交换 E 的 i, j 两行(或列)所得到的矩阵.E(i(c): 用非 0 数 c 乘 E 的第 i 行(或列)所得到的矩阵.E(i,j (c): 把 E 的第 j 行的 c 倍加到第 i 行上(或把第 i 列的 c 倍加到第 j 列上)所得到的矩阵. 010 100 10100 E (1,2) = 100， E (3(2) =00 ， E (3,1(-1) = 00 10例如: 01 02 -11 03）定理 对矩阵 A 作一次初等行(列)变换，相当于用一个相应的初等矩阵 P 左(右)乘 A .19 / 29线性方程组增广矩阵4x1

30、+ 8x2 - 4x3 = 6 (1)x - x + 2x = 2 (2)123(1)(2) x1 - x2 + 2x3 = 2(1)4x1 + 8x2 - 4x3 = 6 (2)(2)2 x1 - x2 + 2x3 = 2(1)2x1 + 4x2 - 2x3 = 3 (2)(2)-2(1)0 x1 - x2 + 2x3 = 2(1)+ 6x - 6x = -1 (2)23 48-46 1-122 r1 r2 1-122 48-46 r2 2 1-122 24-23 r2 -2r1 1-122 06-6-1 线性代数全考点精讲考研数学 Kira10102580 12580103例如： 计算 -

31、40 46 =1 79 03 10 1 46 00 = 79 03 4）结论 初等矩阵均可逆，且其逆是同类型的初等矩阵，即 1 ( ( )(i, j ) = E (i, j ),(i, j(k ) = E (i, j(-k )-1E -1-1i k= E i E,EkE (i (k )E (i, j ) = -1,E (i, j(k)= 1 = k, 【例1】设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 列加到第 1 列得到矩阵 B，再交换 B 10100 100 的第2 行与第3 行得到单位阵E. 记 P = 10 ，P = 001 ，则A=（）12 01 00 1（B） P -1P（D） P

32、P -1（A） PP（C） P P1 2122 12 1【例2】设 A 为n ( n 2 )阶可逆矩阵，交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B ,A* ， B* 分别为 A , B 的伴随矩阵，则()(A) 交换 A* 的第 1 列与第 2 列得 B* .(B)交换 A* 的第 1 行与第 2 行得 B* .(C) 交换 A* 的第 1 列与第 2 列得-B*(D)交换 A* 的第 1 行与第 2 行得-B* .20 / 29 线性代数全考点精讲考研数学 Kira4. 几种初等变换下的特殊矩阵： 1）行阶梯形矩阵 定义 非零矩阵若满足下列条件： 所有零行在非零行的下面； 非零行的首非零元

33、所在列在上一行（如果存在的话）的首非零元所在列的右面， 则称此矩阵为行阶梯形矩阵.-1 123000-3 005100 07 0例如2 00 2）行最简形矩阵 定义 行阶梯形矩阵若还满足下列条件：各非零行的首非零元为 1； 首非零元所在列的其他元均为 0， 则称此行阶梯形矩阵为行最简形矩阵.-1 200 1010074000 00 0例如1 00 3）矩阵的标准形特点是： 左上角是一个单位阵； 其余行列（如果有的话）元素全为 0 10100001000 00 0 0例如00 00 04）定理 任一矩阵 Amn 总可经过初等行变换化为行阶梯形矩阵，再经过初等行变 换化为行最简形矩阵，最后通过初等

34、列变换化为标准形 O F = Er. OO mn21 / 29 线性代数全考点精讲考研数学 Kira-1 1-66-1-2 2-9214311-2 72449【例3】设矩阵 A = ，试将 A 通过初等行变换：（1）化为行阶梯形矩阵；（2）化为行最简形矩阵；（3）写出 A 的标准形.5. 矩阵等价的定义： 矩阵 Amn 经有限次初等变换化为 B ，即存在一系列m 阶初等阵 P1, P2, Pk 和一系列n 阶初等阵Q1 ,Q2 ,Ql 使Pk AQ1Q2Q1 = B ， P1P2则称矩阵 A 与 B 等价，记作 A B .注：如果矩阵 Amn 经有限次初等行变换化为 B ，则称矩阵 A 与 B

35、 行等价；如果 矩阵 Amn 经有限次初等列变换化为 B ，则称矩阵 A 与 B 列等价.6. 矩阵等价的等价命题： 1） A 经过有限次初等变换变成 B ；P1AQ1Qt = B, Ps,Q1,2）存在有限个初等阵 P1,Qt 使得 Ps3）存在可逆阵 P, Q ，使得 PAQ = B推论： 1） 若 A 可逆，则 A 与 E 等价； 2） 可逆矩阵可经过有限次初等变换化为单位矩阵； 3） 可逆矩阵可以表示为有限个初等矩阵的乘积，即若矩阵 B 可逆，则存在有限个初等阵 P1, Ps ，使得 B = P1Ps22 / 29 线性代数全考点精讲考研数学 Kira7. 矩阵等价的性质： 1） 反身

36、性： A A2） 对称性：若 A B ，则 B A3） 传递性：若 A B ， B C ，则 A C .8. 矩阵等价的充要条件： 若矩阵 A 与 B 同型，则 A 与 B 等价 r( A) = r(B) ；23 / 29 线性代数全考点精讲考研数学 Kira考点：利用初等变换求逆矩阵 1. 利用初等变换求逆矩阵(A E) 初等行变换(E A-1) 或 A 初等列变换E E -1A 01-1 23【例1】求矩阵 A = 10 的逆.-112. 利用初等变换解矩阵方程 矩阵不能规定除法，乘法的逆运算是解矩阵方程（含有未知矩阵的等式）：(I) AX=B.(II) XA=B.这里假定 A 是行列式不

37、为 0 的 n 阶矩阵（即 A 可逆），在此条件下，这两个方程 的解都是存在并且唯一的，其中矩阵方程(I) 的解为 X = A-1B ，(II) 的解为 X = BA-1 . 即有 ( A, B) 初等行变换(E,X) 42123设 AX = A + 2X ，其中 A = 10 ，求 X【例2】 -1324 / 29 线性代数全考点精讲考研数学 Kira考点：矩阵的秩1. 矩阵子式的概念：在矩阵 A中任取k 行和k 列，位于这些行列交叉处的k 2 个元素，不改变它们在mnAmn 中所处的位置次序而得到的k 阶行列式，称为矩阵 Amn 的k 阶子式.注:1)2)矩阵 A 的任意一个元素都是 A

38、的一个一阶子式.n 阶方阵 A 的唯一n 阶子式是A .2.矩阵的秩的概念：定义 1 矩阵 A 的所有非零子式的最高阶数，称为矩阵 A 的秩. 记作r( A) .定义 2 设在矩阵 A 中有一个不为 0 的 r 阶子式，且所有r +1 阶子式（如果存在的话）全为0 ，则数 r 称为矩阵 A 的秩.规定 零矩阵的秩等于 0，故有 A = 0 r( A) = 0 .易知 1）矩阵 A 中有一个 s 阶子式不为 0 r( A) s ；2）矩阵 A 中所有 t 阶子式全为 0 r( A) t .3. 求数量型矩阵的秩： 定理 初等变换不改变矩阵的秩方法 1）定义法 最高阶子式法 2）初等变换法 可通过初等行变换化矩阵为行阶梯形，非零行的行数即为 矩阵的秩.【例1】 求下列矩阵的秩124035015 （1） A = 006 ； 07 -125 / 29 线性代数全考点精讲考研数学 Kira 12 020（2） B = 0