函数的奇偶性

1、1.3.2函数的奇偶性,1.创设情景，观察图片:,一 新课引入,(1)已知函数f(x)=x2,求f(-2),f(2), f(-1),f(1),及f(-x) ,并画出它的图象。,解:,f(-2)=(-2)2=4 f(2)=4,f(-1)=(-1)2=1 f(1)=1,f(-x)=(-x)2=x2,(2)已知f(x)=x3,求出f(-2),f(2),f(-1),f(1)及f(-x),并画出它的图象,解:,f(-2)=(-2)3=-8 f (2)=8,f(-1)=(-1)3=-1 f(1)=1,f(-x)=(-x)3= -x3,思考 : 你发现了什么规律?,f(-2)=f(2) f(-1)=f(1)

2、 f(-x)=f(x),f(-2)= - f(2) f(-1)= - f(1) f(-x)= - f(x),-x,x,f(-x),f(x),-x,f(-x),x,f(x),2 创设情景，观察函数图象:,偶函数的图象关于y轴对称，反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数.,偶函数定义: 如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有 f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫偶函数.,二 新课,奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数.,奇函数定义: 如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有 f(-x)=-f(x) ,那么函数f(x

3、)就叫奇函数.,对奇函数、偶函数定义的说明:,(1). 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。,（2）.奇、偶函数定义的逆命题也成立，即： 若f(x)为奇函数, 则f(-x)=f(x)成立。 若f(x)为偶函数, 则f(-x)= f(x) 成立。,（3） 如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数f(x) 具有奇偶性。,练习 说出下列函数的奇偶性:,偶函数,奇函数,奇函数,奇函数,f(x)=x4 _ f(x)= x -1 _, f(x)=x _,奇函数,f(x)=x -2 _,偶函数, f(x)=x5 _,f(x)=x -3 _,说明：对于形如 f(x)=x n 的函数，

4、若n为偶数，则它为偶函数。 若n为奇数，则它为奇函数。,例1. 判断下列函数的奇偶性,(1) f(x)=x3+2x (2) f(x)=2x4+3x2,解:,f(-x)=(-x)3+2(-x),= -x3-2x,= -(x3+2x),即 f(-x)= - f(x),f(x)为奇函数,f(-x)=2(-x)4+3(-x)2,=2x4+3x2,f(x)为偶函数,定义域为R,解:,定义域为R,即 f(-x)= f(x),练习2. 判断下列函数的奇偶性,(2) f(x)=5,(3) f(x)=0,说明: 函数f(x)=0 (定义域关于原点对称），为既奇又偶函数。,(5). f(x)=x2 x- 1 ,

5、3,(7) f(x)= (8). f(x)=,(4). f(x)=x+1,(9), f(x) 为奇函数.,先求定义域，看定义域是否关于原点对称; 再判断f(x)= -f(x)或f(-x)=f(x) 是否恒成立。, 说明：用定义判断函数奇偶性的步骤:,4奇函数的图象(如y=x3 ),偶函数的图象(如y=x2),o,a,P/(-a ,f(-a),p(a ,f(a),-a,(-a,-f(a),(-a,f(a),5 奇偶函数图象的性质:, 奇函数的图象关于原点对称.反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数为奇函数., 偶函数的图象关于y轴对称.反过来,如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这

6、个函数为偶函数.,注：奇、偶函数图象的性质可用于： 1) 简化函数图象的画法; 2) 判断函数的奇偶性; 3)由图象的对称特点应用奇、偶函数的性质.,(3)奇函数的图象在其定义域内对称的区间上具有相同的单调性；偶函数的图象在其定义域内对称的区间上具有相反的单调性.,o,y,x,例3 已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如图，画出y=f(x)在 y轴左边的图象。,练习,已知函数， 且f(-2)=10，则f(2)等于( ) A -26 B -18 C -10 D 10,注意：奇函数若在x=0处有定义，则一定有f(0)=0.,例4已知定义在R上的函数f(x)对一切x,y满足f(x+y)=f(x)+f(y) （1）求证：f(x)是奇函数； （2）若f(-3)=a，试用a表示f(12),例5 (1)已知f(x)是奇函数, 且当x0时, f(x)=x(x-2)， 求当x0时，f(x)的表达式。,(2) 已知f(x)是定义在-1，1上的偶函数,且在0，1上为增函数，若f(1+m)f(2m),求m的取值范围.,三课堂小结,1.两个定义: 对于f(x)定义域内的任意一个x , 如果都有f(-x)=-f(x) f(x)为奇函数。 如果都有f(-x)= f(x) f(x)为偶函数。,2.两个性质: