TM5-9哈密顿原理.pptx

1、1,5.7 哈密顿原理,变分法简介 哈密顿原理 哈密顿原理的应用,一.变分法简介,1.力学体系的变分原理,(1) 定义,凡力学原理用到变分运算的,叫做力学的变分原理,它是在基本定律基础上用变分法得到的，提出了区分真实运动与同样条件下可能的运动的规则。,(2) 意义,(3) 力学的变分原理有,如果一个变量由一个或几个函数来确定，这个变量就称为这个或这几个函数的泛函。,2.泛函,(1) 泛函的定义,泛函 f 随函数 y(x) 的变化而变化.,函数 y(x) 称为 泛函 f 的宗量.,5,如:连接平面上已知两点a,b的曲线弧长l的表达式为,函数 y(x) 不同，则弧长 l 不同.,(2) 泛函与复合

2、函数的说明,a.复合函数仅随自变量的变化而变化，泛函随函数 的变化而变化； b.复合函数只有单一曲线，泛函有许多条曲线.,求泛函的极值问题，称为变分问题.,数学上的变分法是为了解决最速落径问题发展起来的。,(1) 变分问题,(2) 最速落径问题,铅直平面内, 在所有联接二个定点A,B的曲线中,找出一条曲线,使得初速度为零的质点,在重力作用下,自A点无摩擦下滑时,以最短时间到达B点.,3.泛函的极值,设曲线AB方程为 y = y(x)，质点沿曲线运动速度为,质点自A沿曲线y(x)自由滑至B点所需的时间,时间T的值与函数y(x)有关，,最速落径问题实质就是求泛函 Ty(x)的极值问题，而求关于泛函

3、的极值就是变分问题，即求,4.泛函的变分,(1) 泛函宗量的变分,这种自变量不变时的变分，称为等时变分.,11,11,(2) 泛函的变分,是指当自变量 x 不变时，函数的变分 ，,所引起的泛函 J 的变化，即,泛函的变分，定义为泛函 对,参数 的导函数在 时的值。即为,13,(3) 泛函取极值的条件,5. 变分的运算法则,假设有两个变量A和B，他们一般都是 p, q, t 的函数，则,(1) 变分运算法则,证 ( iV ) :,15,假定C是S维位形空间的一条曲线，且为质点遵循运动定律的轨道，即动力轨道或真实轨道。 C为临近C的一条曲线，但不是质点的动力轨道.,设一质点M沿C运动，它们同时自

4、P1出发，同时到达 P2. 则在P1和P2 点有,叫做不动边界条件,16,1）,2）,先后顺序可对易,17,(2) 等时变分与不等时变分,变分与微分运算顺序是否可以对易？,18,则,等时变分,不等时变分,二、哈密顿原理,(1) 位形空间,受有完整约束的力学体系, 由s个广义坐标组成的空间，称为位形空间.,1.位形空间和运动路径,(2) 运动路径,这种以时间为参量的轨迹q(t) ，称为运动路径.,20,哈密顿作用量S 随函数q(t )的变化而变化， S是函数q(t)的泛函.,2.哈密顿作用量和哈密顿原理,(1) 哈密顿作用量S,从相同的起点q(t1)到相同的终点q(t2)，约束条件所允许的可能运

5、动路径有许多。但在S维位形空间的各种可能的运动路径中，真实运动的路径只能有一条。,S定义为拉格朗日函数L的时间定积分.,(2) 哈密顿原理,对于完整保守系,在给定的起始位置和相同的约束条件下,体系的真实运动对应于哈密顿作用量取极值.,由拉格朗日方程，推导保守力系作用下的哈密顿原理.,力学系统从时刻 t1到 t2的一切可能(约束条件所允许)的运动中，使哈密顿作用量S取极值(泛函取极值)的运动才是实际发生的运动.,22,但,由拉氏方程各项乘 ,对 求和，,然后沿着一条可能的运动轨道自P1运动到P2 ,对t 积分，,代入上式得：,23,因为,24,通过变分，可把微分方程变为简单形式，即哈密顿正则方程

6、，哈密顿用该方程提供一个普遍原理，对量子力学中薛定谔方程的建立和广义相对论提供了桥梁。 能量观点和拉格朗日方程、哈密顿原理及正则方程，适用于其它形式的物质运动，如电动力学、统计物理、相对论、量子力学。,(3) 说明,三、哈密顿原理的解体步骤,（1） 按照求拉格朗日方程的步骤求 ； （2） 将L代入 中计算， （3）正确使用变分规则，求出结果。,26,例：用哈密顿原理推出一维线性谐振子的运动方程。 解：先得到拉氏函数,由哈密顿原理：,例2 轻弹簧一端挂一质量为m的质点，另一端为悬点O，弹簧倔强系数为 k，不受力时原长为 l，摆动限于铅垂平面内，试用哈密顿原理求出质点的运动微分方程。,解：s=2, 取弹簧