随机信号分析基础课件：3_1 随机信号通过线性系统的分析

1、第三章 随机信号通过线性系统3.1 随机信号通过线性系统的分析3.1.1 线性系统的基本理论线性时不变h(t) H(w)x(t) y(t)设时不变线性系统的冲激响应函数为h(t)，系统输入为x(t)，输出为y(t)，且均为确知信号，则输入和输出的关系为：若，则有式中函数称为系统的传输函数。卷积定理：时域卷积定理：若给定两个时间函数，已知，则频域卷积定理：3.1.2 系统的输出响应所讨论的系统是线性的、时不变的、稳定且物理可实现的。若输入为随机信号X(t)，则线性时不变系统的输出Y(t)为：对于物理可实现系统，当t0时，有h(t)=0，则上式改写为3.1.3 系统输出的概率分布理论上，根据输入随

2、机信号的统计特性，就能确定一个已知线性系统输出的统计特性。一种特殊情况，当输入为高斯过程时输出也是高斯过程。3.1.4 随机信号通过线性系统的时域分析主要讨论线性系统输出的时域数字特征。1 系统输出的数学期望若输入X(t)为平稳随机过程，且假设其均值为，则有对于物理可实现系统，有显然，系统输出随机信号的均值是常数。2 系统输出的均方值对于物理可实现系统，有由于X(t)为平稳随机过程，可得3 系统输出的自相关函数由以上的结论可知，当一个宽平稳随机信号输入到线性时不变稳定系统时，其输出随机信号也是宽平稳的。当系统是物理可实现系统时，有由上述结果可推出，输出自相关函数等于输入自相关函数与系统冲激响应

3、的二次卷积输出平稳过程的平均功率为实际上，还可证明若输入随机过程是严平稳的，则系统的输出也将是严平稳的；若输入是各态历经过程，则输出也具有各态历经性。例：书95页例3.2.14 系统输入与输出的互相关函数一般来讲，系统的输入和输出是相关的，相关程度可用互相关函数来表示。假定线性系统的输入是随机过程，而输出也是一个随机过程，则互相关函数若X(t)是平稳过程，则即输入输出的互相关函数等于输入过程的自相关函数与系统冲激响应函数的卷积。若X(t)是平稳过程，由上述分析可知，Y(t)也是平稳过程，且它们是联合平稳的。同理可得由上述分析可得，若已知和，则可得系统冲激响应。例：书97页例3.2.25 系统输

4、入为随机过程与加性噪声所谓加性噪声，就是噪声和信号是相加的关系。X1(t) X(t) Y(t) X2(t)线性系统h(t)我们可以把这种情况看作是，在系统的接收端同时存在几个随机信号。现在以两个随机过程为例，结论可以推广到多个随机过程的情况。 假设随机过程X1(t)、X2(t)是各自平稳且联合平稳的，它们之和X(t)通过线性系统后，产生对应的两个随机过程Y1(t)、Y2(t)之和Y(t)，可证得(1)Y1(t)、Y2(t)是各自平稳且联合平稳的；(2)X(t)和Y(t)也是联合平稳的。若输入的两个平稳过程X1(t)和X2(t)是不相关的，则有进一步，若输入的两个平稳随机过程的数学期望为零，则有3.1.5随机信号通过线性系统的频域分析频域分析法主要是讨论系统的功率谱密度。1 线性系统输出的功率谱密度若输入随机过程X(t)为平稳过程，则输出的自相关函数为：利用傅立叶变换，可得输出的功率谱密度，假定h(t)是实函数：又将称为系统的功率传输函数。由上述结论可得，由输入和输出的功率谱密度可确定系统的幅频特性，即系统输出的平均功率为：例：书100页例3.3.1，例3.3.22 系统输入与输出间互功率谱密度已知 则可得互功率谱密度为 从这两个式子可看出，由和互功率谱密度的测量可以确定线性系统传输函数，即 若输入是两个联合平稳的随机过程X1(t)和X2(t)之和，则有可得输出功率