积分变换 傅里叶变换.ppt

1、1,积分变换,教材：工程数学积分变换 东南大学数学系,参考书： 一本积分变换学习指导书,2,前言,积分变换是通过积分运算，把一个函数变成另一个函数的变换，与复变函数有着密切的联系。 它的理论与方法不仅在数学的许多分支中有应用，而且在其他自然科学和各种工程技术领域中均有着广泛的应用，它已成为不可或缺的运算工具。 “积分变换”的中心思想是把复杂的、耗时费力的计算简化为简单的、节省时间的计算 为了理解“数学”是如何完成这项任务的，让我们从大家熟悉的对数起源说起 十七世纪，航海和天文学积累了大批观测数据，需要对它们进行大量的乘法和除法运算,3,这在当时，是一件非常繁重的工作为了克服这个困难，1614年

2、纳皮尔(Napier)发明了对数随后，人们造出以10为底和以e为底的对数表 令 Dx：x为正实数, Rx: x为实数 ; 指数函数yex是定义在R上取值于D的单值函数 对数函数y=lnx是指数函数的反函数，它是定义在D上取值于R的单值函数 它们建立了D和R之间的一个一一对应：,4,映射变换法,5,积分变换：通过积分运算，把一个函数变成另一个函数的变换。 这里是讨论含有参变量的积分,6,它实质上就是把某函数类A中的函数f (t)通过上述积分的运算变成另一函数类 F ()。 K(t, )是一个确定的二元函数，称为积分变换的核； F() 象函数 f (t) 象原函数 在一定的条件下，F()与 f (

3、t)是一一对应的。,7,第一章 傅里叶变换,1.1 傅里叶积分 1.2 傅里叶变换 1.3 傅里叶变换的性质 1.4 卷积与相关函数,8,1.1 傅里叶积分,本节从周期函数在区间(-T/2，T/2)上的Fourier级数展开式出发，讨论当T+时它的极限形式，得出非周期函数的Fourier积分公式。 主要内容: 1.傅里叶级数的复数形式 2.傅里叶积分定理 3.傅里叶积分公式的其它形式,9,1.傅里叶级数的复数形式,傅里叶级数收敛定理： 设fT(t)是以T为周期的函数，如果 在-T/2，T/2上满足（Dirichlet条件）： （1）连续或只有有限多个第一类间断点， （2）只有有限多个极值点。

4、则在-T/2，T/2上就可以展开成傅氏级数：,10,11,为了应用上的方便，下面将Fourier级数的三角形式利用Euler公式转换为复指数形式。,12,此时，(1.1)可写为,13,14,15,16,cn,17,18,首先作周期函数fT(t),使其在 -T/2 ，T/2 之内等于f(t)，而在 -T/2，T/2 之外按周期延拓到整个数轴上去。则,19,20,21,22,傅立叶积分公式,23,傅里叶积分定理,24,25,26,特别地，当 f(t) 为奇函数时,当 f(t) 为偶函数时,它们分别称为Fourier正弦积分公式和Fourier余弦积分公式。,27,28,小 结,29,傅里叶 (17

5、68 1830),法国数学家.,他的著作热的解析,理论(1822) 是数学史上一部经典性,书中系统的运用了三角级数和,三角积分,他的学生将它们命名为傅,里叶级数和傅里叶积分.,最卓越的工具.,以后以傅里叶著作为基础发展起来的,文献,他深信数学是解决实际问题,傅里叶分析对近代数学以及物理和工程技术的发展,都产生了深远的影响.,30,1.2 傅里叶变换,1. 傅里叶变换的概念 2. 单位脉冲函数及其傅里叶变换 3. 非周期函数的频谱,31,1. 傅里叶变换的概念,当函数f(t)满足傅里叶积分定理中的条件时，则在f(t)的连续点处有,32,上面两式可以看出，f(t)和F()通过指定的积分运算可以相互

6、表示。,(1.9)式叫做f(t)的傅里叶变换式，可记为,F()叫做 f(t) 的象函数。 (1.10）式叫做F( )的傅里叶逆变换式，可记为,f(t)叫做 F()的象原函数。 我们称f(t)和F()构成了一个傅里叶变换对。,f(t),-1F(),33,与傅氏级数一样，傅氏变换也有明显的物理 含义。 它说明非周期函数与周期函数一样，也是由许多不同频率的正、余弦分量合成，所不同的是，非周期函数包含了从零到无穷大的所有频率分量。 而F()是f(t)中个频率分量的分布密度，因此称 F()为频谱密度函数（简称为频谱或连续频谱），称|F()|为振幅频谱。,34,当f(t)为奇函数时，则,称做f(t)的Fo

7、urier正弦变换式(简称为正弦变换)，即,而,叫做F()的Fourier正弦逆变换式(简称为正弦逆变换)，即,35,当f(t)为偶函数时，则,称做f(t)的Fourier余弦变换式(简称为余弦变换)，即,而,叫做F()的Fourier余弦逆变换式(简称为余弦逆变换)，即,36,f(t),37,38,关于是 奇函数,关于是 偶函数,39,40,41,42,43,44,45,46,47,48,49,50,2.单位脉冲函数及其傅氏变换,在物理学和工程中常常产生“脉冲”现象。如运动中的物体间的碰撞在力学中称为冲击脉冲，如：矩形脉冲,尤其当 a 很小，E 较大的情况。 类似的物理现象有：点电荷、点质量

8、、线光源等等，此时的点电场强度、点密度可以理想地认为是“无穷大”，但事实上并不存在！ 这些物理量都不能用通常的函数形式去描述。,51,1）单位脉冲函数概念,52,53,无穷次可微,54,二、单位脉冲函数 (t)的性质,55,56,57,证：,58,59,三、 (t) 函数的傅氏变换,60,61,注： 这里 (t)的傅氏变换仍采用傅氏变换的古典定义，但此时的广义积分是根据函数的定义和性质直接给出的，而不是普通意义下的积分值。故称 (t)的傅氏变换是一种广义的傅氏变换。 利用这一概念，我们可以求一些常用的函数的傅氏变换。如常数、单位阶跃函数、正弦函数、余弦函数等的傅氏变换。,62,63,64,65,得证.,66,67,1.3 傅里叶变换的性质,68,2. 位移性质,或,69,证明：由定义有,70,71,解：,72,3.微分性质,如果f(t)满足： （1）在(- ，+ )上连续或只有有限个可去间断点， （2）当|t| , f(t) 0, 则,73,推论： 如果f (k)(t)在(- ，+ )上连续或只 有有限个可去间断点， 当|t| , f (k)(t) 0 , k=0，1，2，n。 则,74,同样可得到像函数的导数公式：,75,76,4.积分性质,77,78,位移性质,像位移性质,79,80,81,82,奇函数,83,小 结,1.位移性质,84