八年级下册第4章因式分解单元测试题因式分解专题3_用分组分解法(含答案)

1、4、用分组分解法进行因式分解【知识精读】分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。使用这种方法的关键在于分组适当， 而在分组时， 必须有预见性。 能预见到下一步能继续分解。 而“预见”源于细致的“观察” ，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。应用分组分解法因式分解， 不仅可以考察提公因式法， 公式法，同时它在代数式的化简，求值及一元二次方程，函数等学习中也有重要作用。下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解。【分类解析】1. 在数学计算、化简、证明题中的应用例 1. 把多项式 2a( a2a1)a4a 21分解因式，所得的结果为（）A . (a 2a1) 2B

2、. (a 2a1) 2C. (a 2a1) 2D. (a 2a1) 2分析：先去括号，合并同类项，然后分组搭配，继续用公式法分解彻底。解：原式22a1421a( a)aaa42a33a22a1(a 42a 3a 2 )( 2a 22a)1(a 2a) 22(a 2a)1(a 2a1) 2故选择 C例 2. 分解因式 x 5x 4x 3x 2x 1x 5x 4x 3和 x2分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把x1 分别看成一组， 此时六项式变成二项式，提取公因式后， 再进一步分解； 此题也可把 x5x 4 ，x3x2 和 x1分别看作一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行

3、分解。解法 1：原式( x5x 4x3 ) ( x2x 1)( x 31)(x 2x1)( x 1)( x2x1)( x 2x1)解法 2：原式( x5x 4 ) (x 3x 2 ) (x 1)x 4 (x 1)x 2 ( x1)( x1)( x1)( x4x 21)( x1)( x 42x 21)x 2 ( x1)( x2x1)( x 2x1)第 1页共 7页2. 在几何学中的应用例：已知三条线段长分别为a、 b、 c，且满足 ab，a2c2b 22ac证明：以 a、 b、c 为三边能构成三角形分析：构成三角形的条件，即三边关系定理，是“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”证明：a2c2

4、b 22aca2c 2b 22ac022acc2b2，即(ac)2b20a0(ac b)( a cb)0又acbacbacb0， acb0abc，abc即 abcab以 a、 b、 c为三边能构成三角形3. 在方程中的应用例：求方程xyxy 的整数解分析：这是一道求不定方程的整数解问题，直接求解有困难， 因等式两边都含有x 与 y，故可考虑借助因式分解求解解：xyxyxyxy0xyxy11即 x(y1)(y1)1(y1)( x1)1是整数x, yx11或x11y1y111x0x2y或y 204、中考点拨例 1.分解因式： 1m 2n22mn _ 。解： 1m2n22mn1( m22mnn 2

5、)1( mn) 2(1 m n)(1 m n)说明： 观察此题是四项式，应采用分组分解法，中间两项虽符合平方差公式，但搭配在第 2页共 7页一起不能分解到底，应把后三项结合在一起，再应用完全平方公式和平方差公式。例 2分解因式： x 2y 2x y_解： x 2y 2x y(x 2y2 ) ( x y)( xy)( xy)(x y)( xy)( xy1)说明：前两项符合平方差公式，把后两项结合，看成整体提取公因式。例 3. 分解因式： x 33x 24x12_解： x 33x 24x12x 34x3x 212x (x 24)3( x 24)( x3)( x2)( x2)说明：分组的目的是能够继

6、续分解。5、题型展示：例 1. 分解因式： m2 (n 21)4mnn 21解： m2 (n 21)4 mnn21m2 n 2m24mnn 21(m 2 n22 mn1)(m22mn n 2 )(mn1) 2( m n) 2(mnmn1)( mnmn1)说明：观察此题，直接分解比较困难， 不妨先去括号， 再分组，把 4mn 分成 2mn 和 2mn ，配成完全平方和平方差公式。例 2. 已知： a2b 21，c 2d21，且 acbd0 ，求 ab+cd 的值。解： ab+cd= ab1cd1ab(c 2d2 )cd(a2b2 )abc 2abd2cda2cdb 2(abc2cdb 2 )(a

7、bd 2cda2 )bc(acbd)ad( bdac)(acbd)( bcad)acbd 0原式0说明：首先要充分利用已知条件a2b 21， c2d21 中的 1（任何数乘以1，其值不变），其次利用分解因式将式子变形成含有ac+bd 因式乘积的形式，由ac+bd=0 可算出结果。第 3页共 7页例 3.分解因式： x 32x3分析：此题无法用常规思路分解，需拆添项。观察多项式发现当x=1 时，它的值为 0，这就意味着 x 1是 x32x3 的一个因式，因此变形的目的是凑x 1 这个因式。解一（拆项）：x32x 3 3x 33 2x32x3( x1)( x 2x1) 2x( x 21)(x 1)

8、( x 2x3)解二（添项）：x32x 3 x 3x2x 22x 3x 2 (x1)(x1)( x 3)( x 1)( x2x3)说明：拆添项法也是分解因式的一种常见方法，请同学们试拆一次项和常数项，看看是否可解？【实战模拟】1. 填空题：（ 1）分解因式： a 2 3a b 2 3b（ 2）分解因式：x22 x4xy4 y 24 y（ 3）分解因式： 1 mn(1 mn) m3 n 32. 已知： a b c 0，求 a3 a 2 c abc b2 c b 3 的值。3. 分解因式： a5 a 1第 4页共 7页4. 已知： x2y2z20，A是一个关于 x, y, z的一次多项式，且 x3

9、y3z3(xy)(xz)A ，试求 A 的表达式。5. 证明： (a b 2ab)( a b 2) (1 ab) 2(a 1) 2 ( b 1) 2第 5页共 7页【试题答案】1. （ 1）解： 原式(a 2b2 )3(ab)( ab)( ab)3( ab)( ab)( ab 3)（ 2）解： 原式(x 24 xy4y 2 )2( x 2y)( x2y) 22(x2y)( x 2y)( x2 y2)（ 3）解： 原式1 mn m2 n 2m 3n 3(1mn)m2 n 2 (1mn)(1mn)(1m 2 n2 )2. 解： 原式(ab)(a2ab b 2 ) c(a 2ab b2 )( a2a

10、b b2 )( a b c)a bc0原式0说明：因式分解是一种重要的恒等变形，在代数式求值中有很大作用。3. 解： a5 a 1a5a 2a2a1231) (a2a1)a ( aa2 ( a1)(a 2a1)(a 2a 1)(a 2a1)( a3a 21)4.解：x 2y 2z20y2x 2z2 ， z2x 2y2x3y 3z3( x 3y3 )zz2( xy)( x 2xyy 2 )z(x 2y2 )( x y) x 2xy y 2z( x y)( x y) x(xz) y( x z) ( x 2z 2 )( xy)( xz)( xyxz)( xy)( xz)( 2xyz)A2x y z5.证明： (ab2ab)( ab 2)(1ab) 2第 6页共 7页a2ab2aabb 22 b 2a2 b2ab24ab