随即过程在通信系统中的应用

1、随机过程在通信原理中的应用(陕西理工学院 物理与电信工程学院 通信工程专业1203班，陕西 汉中 )指导教师：王桂宝摘要:随机过程是随机信号分析的基石，通过对随机过程的自相关函数和功率谱密度等参量的MATLAB仿真，理解自相关函数和功率谱密度的特点、波形及其之间的关系,掌握随机过程的自相关函数和功率谱密度的特点、波形及其之间的关系。学会利用MATLAB语句生成高斯白噪声，能够利用MATLAB工具分析随机过程的性能特性，能够利用MATLAB基本程序控制语句求信号的功率谱及自相关函数等，并对随机过程进行系统分析。关键词:随机过程；MATLAB；系统分析Random processin the ap

2、plication of the communication principleWang Yupeng（Grade12,Class03Major Communication，Physical and telecommunication engineering institute，Shaanxi University of Technology，Hanzhong ，Shaanxi）Instructor: Wang GuibaoAbstract: Stochastic process is the foundation of random signal analysis, based on the

3、 random process of the autocorrelation function and power spectral density parameters of MATLAB simulation, to understand the characteristics of the autocorrelation function and power spectral density, waveform and the relationship between the master the autocorrelation function of random process an

4、d the characteristics of the power spectral density, the waveform and the relationship between. Learn to use the MATLAB statements generated gaussian white noise, can use MATLAB tools to analyze characteristics of random process, be able to use MATLAB basic control statements for signal power spectr

5、um and autocorrelation function, and system analysis of stochastic process. Keywords:Stochastic process; MATLAB; System analysis目录1 绪论12 Matlab的简介23基本原理23.1随机过程23.2随机过程的数字特征23.3随机过程模型44 仿真设计64.1 带通滤波器的原理64.2 MATLAB程序64.3仿真结果分析95.总结14致谢15参考文献161.绪论通信中很多需要进行分析的信号都是随机信号。随机变量、随机过程是随机分析的两个基本概念。实际上很多通信中需要

6、处理或者需要分析的信号都可以看成是一个随机变量，利用在系统中每次需要传送的信源数据流，就可以看成是一个随机变量。例如，在一定时间内电话交换台收到的呼叫次数是一个随机变量。也就是说把随某个参量而变化的随机变量统称为随机函数；把以时间t为参变量的随机函数称为随机过程。随机过程包括随机信号和随进噪声。如果信号的某个或某几个参数不能预知或不能完全预知，这种信号就称为随机信号；在通信系统中不能预测的噪声就称为随机噪声。研究随机现象，主要就是研究它的统计特征，了解通信领域的随机过程分布和数字特征的应用又是我们学习的重点和最终目的，下面我们简单地谈谈其相关内容。首先，我们先了解一下随机过程的分类在通信领域中

7、有哪些体现。按照随机过程的参数集和状态空间是连续还是离散可以分为四类：一是参数离散、状态离散的随机过程，或叫做离散随机过程。如贝努力过程等；二是参数参数离散、状态连续的随机过程，或（连续）随机序列。如DAC（数模变换）过程中对随机信号进行采样；三是参数连续、状态离散的随机过程。如程控设备转接语音电话的次数，跳频设备在通信过程中改变频率的次数等；四是参数连续、状态连续的随机过程。如扫频仪的扫频信号进行扫频，各类信号中的纹波电压等。其次，我们关注一下通信领域的随机过程的分布和数字特征的应用，随机过程的分布情况可以通过其分布函数或概率密度函数来描述，对简单的随机过程而言，低维概率分布函数或概率密度函

8、数可以描述，无疑，在一般情况下用一维分布函数去描述随机过程的完成统计特性是极不充分的，通常需要在足够多的的时间上考虑随机过程的多维分布函数，对复杂的模型来说，N越大，用N维分布函数或概率密度函数去描述其统计特性就越充分。2 Matlab的简介MATLAB是矩阵实验室即MatrixLaboratory的缩写。除了具备超凡的数值计算能力外，它还具有专业水平的符号计算，文字处理，可视化建模仿真以及和实时控制等能力。MATLAB的基本数据单位是矩阵，它的指令表达式与数学,工程中常用的形式十分相似,所以利用MATLAB来计算问题要比用C,FORTRAN等语言使用简捷得多。MATLAB拥有数百个内部函数的

9、主包和三十几种工具包(Toolbox)。工具包又可以分为功能性工具包和学科性工具包。功能工具包是用来扩充MATLAB的符号计算,包括可视化建模仿真,文字处理和实时控制等功能。学科工具包是专业性比较强的工具包,包括控制工具包,信号处理工具包以及通信工具包等都属于此类。开放性是MATLAB广受用户喜欢原因之一。除内部函数外,所有MATLAB主包文件和各种工具包都是可读可修改的文件,用户通过对源程序的修改或加入自己编写程序构造新的专用工具包。以下简单介绍一下MATLAB的主要特点18。1）语言简洁紧凑，使用方便灵活，库函数极其丰富。MATLAB程序书写形式自由，利用起丰富的库函数避开繁杂的子程序编程

10、任务，压缩了一切不必要的编程工作。2）运算符丰富。由于MATLAB是用C语言编写的，MATLAB提供了和C语言几乎一样多的运算符，灵活使用MATLAB的运算符将使程序变得极为简短。3）MATLAB既具有结构化的控制语句（如for循环，while循环，break语句和if语句），又有面向对象编程的特性。4）程序限制不严格，程序设计自由度大。例如，在MATLAB里，用户无需对矩阵预定义就可使用。5）程序的可移植性很好，基本上不做修改就可以在各种型号的计算机和操作系统上运行。6）MATLAB的图形功能强大。在FORTRAN和C语言里，绘图都很不容易，但在MATLAB里，数据的可视化非常简单。MATL

11、AB还具有较强的编辑图形界面的能力。7）MATLAB的缺点是，它和其他高级程序相比，程序的执行速度较慢。由于MATLAB的程序不用编译等预处理，也不生成可执行文件，程序为解释执行，所以速度较慢。3基本原理3.1随机过程随机过程的定义：设 是随机试验。每一次试验都有一条时间波形（称为样本函数或实现），记作，所有可能出现的结果的总体就构成一随机过程，记作。简言之，无穷多个样本函数的总体叫做随机过程在任一给定时刻t1上，每一个样本函数i(t)都是一个确定的数值i(t1)，但是每个i(t1)都是不可预知的。在一个固定时刻t1上，不同样本的取值i(t1),i=1,2,n是一个随机变量，记为(t1)。换句

12、话说，随机过程在任意时刻的值是一个随机变量。因此，我们又可以把随机过程看作是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。这个角度更适合对随机过程理论进行精确的数学描述。同时通信系统中存在各种干扰和噪声，这些干扰和噪声的波形更具有随机性，是不可预测的。我们称其为随机干扰，或者随机噪声。尽管随机信号和随机噪声都是不可预测的，随机的，但是它们具有一定的统计规律性。研究随机信号和随机噪声统计规律性的数学工具是随机过程理论，随机过程是随机信号和随机噪声的数学模型。3.2随机过程的数字特征随机过程是一类随时间作随机变化的量不能用确切的时间函数描述。随机过程的分布函数分为一维分布函数、二维分布函数及二维以上的

13、分布函数。随机过程的各种数字特征分别从各个侧面间接的反映了随机过程的概率分布特性，不同的维的分布的数字特征具有不同的物理含义。1 随机过程的数学期望 随机过程的均值函数m（t）=EX（t）在通信中的物理意义是：如果 X（t）是电流或电压，则m（t）可理解为t时间点上的电压或电流的直流分量。2 随机过程的均方值随机过程X（t）的均方值E|X（t）|2在通信中的物理意义是：如果 X（t）表示电压或电流，则E|X（t）|2可以理解为在t时刻上这个电压或电流在1电阻上的平均功率。3 随机过程的方差随机过程X（t）的方差D（t）=EX(t)-m(t)2在通信中的物理意义是: 如果 X（t）表示电压或电流

14、，则D（t）可以理解为在t时刻上电压或电流的起伏分量在1电阻上耗散的平均功率。平稳随机过程是一类应用非常广泛的随机过程，它在通信系统的研究中有着极其重要的意义。定义：若一个随机过程X（t）发热任意有限维分布函数与时间的起点无关，即对于任意的正整数n和所有的实数，有fn(x1,x2, ,xn;t1,t2,tn)=fn(x1,x2,xn;t1+,t2+,tn+)则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，简称严平稳随机过程。该定义表明，平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而改变。它的一维分布函数与时间t无关：f(x,t)=f(x) （2-1） 而二维分布函数只与时间间隔=t2-t1有关：f(x1,

15、x2;t1,t2)=f(x1,x2; ) （2-2） 其均值和自相关函数分别为 EX(t)= （2-3）R(t1,t2)=EX(t1)X（t2）= （2-4） 可见平稳随机过程具有简明的数字特征：1）均值与t无关，为常数a；2）自相关函数只与时间间隔=t2-t1有关。在通信系统分析中我们常用这两个条件来直接判断随机过程的平稳性，并把同时满足1）和2）的过程定义为广义平稳随机过程。 在通信系统中所遇到的信号及噪声，绝大部分为广义平稳的随机过程。所以，平稳随机过程的研究也具有实际的意义。 我们知道，随机过程的数字特征均值、方差，是对随机过程的所有样本函数的统计平均，然而在实际中这是不现实的，因此有

16、如下的定义： 随机过程的任意一次实现都经历了随机过程的所有可能的状态，我们称之为“各态历经性它是用一次过程的时间平均代替过程的统计平均满足如下条件： （2-5） （2-6） 平稳过程使下式成立 （2-7） （2-8） 即时间平均等于统计平均。3.3随机过程模型在通信系统中，随机过程存在几种典型的数学模型，这些模型是构建通信仿真系统的基础，有随机序列、泊松过程和高斯随机过程。2.3.1 随机序列对于随机过程，当时间参数用离散值表示，即当随机过程的参数集为离散集时，连续变化的随机过程就成为随机序列。(1)独立序列：对于平稳随机序列X(n)，当j0 时，如果X(k)和X(k+j)是相互独立的，即该序

17、列为独立序列。这种序列常用于仿真通信系统中的信号源及噪声的采样值。(2)马尔可夫序列：Markov 过程是一类重要的随机过程，它可以根据参数空间与状态空间的离散与连续类型，分为四种类型：离散参数集、离散状态集的马尔科夫过程；离散参数集、连续状态集的马尔科夫过程；连续参数集、离散状态集的马尔科夫过程；连续参数集、连续状态集的马尔科夫过程。其中马尔科夫随机过程就属于其中的前两种类型，从数学的观点，这种数列有以下特点： PX(n)/X(n-1)，X(n-2)，X(n-k)=PX(n)/X(n-1)由此可以得出，马尔科夫序列下一时刻的采样值仅仅与现在的值有关。根据这一特性，马尔科夫序列可以用来模拟信息

18、源的输出，而且该信息源产生的符号存在相关性，例如语音、视频信号的采样值等，另外，英语报文中的字母序列也可以利用这种信息源来产生。(3)自回归和滑动平均序列：ARMA 模型在估计随机过程的功率谱密度方面起着很重要的作用，同时这个模型也可以用来产生具有给定的功率谱密度函数或者自相关函数形式的随机序列。ARMA 序列产生模型：其中，为滑动平均部分，为自回归部分，Y(n)是希望产生的随机序列，Y(n-k)为回归序列，X(n)为输入模型的已知序列，通常将其设定为零均值高湿白噪声序列。ARMA模型产生的Y(n)序列的性质有以下几点：a.由于ARMA 模型是线性系统，X(n)序列为高斯序列，因此Y(n)序列

19、也是高斯序列，而且其均值为零。b.在平稳状态下，Y(n)序列的功率谱密度为。(4)M 进制数字波形在数字通信系统中载有信息的波形可以表示为: （3-1）式中，An表示第n个信息符号所对应的电平值，即An=A(n)，g()是脉冲波形，T是该序列的码元周期，表示波形的延迟。2.3.2 泊松过程泊松过程是一类重要的随机过程，它是随机点流的基本数学模型之一。例如某电话交换台一天内收到用户的呼叫情况，如果令t(n)为第n 次呼叫发生的时间，那么t(n)就是一个随机变量，此时t(n)=x0，24）表示一个随机点，而t(n),n=1,2,构成一个随机过程，这类随机过程被称为随机点过程。(1)泊松过程的定义设

20、X(t),t0为计数过程，如果满足条件：X(0)=0；对于任意的st0，t0,且增量具有平稳性或者齐次性；对于任意的正整数n，以及任意的非负实数，各个增量具有独立性；对于足够小的时间t，有PX(t)=1=t+O(t)、PX(t)=0=1-t+O(t)、PX(t)2=O(t)，此时，就称X(t),t0是强度为的泊松过程。(2)数字特征和特征函数泊松过程的均值函数可以表示为：m(t)=EX(t)=t, （3-2）根据上式，可以看出EX(t)表示在0，t)时段内平均到达的事件个数， 就是单位时间内平均达到的事件个数。 方差函数为 （3-3） 均方差函数 （3-4）自相关函数 min() （3-5）2

21、.3.3 高斯随机过程目前，高斯随机过程被广泛的应用于构建通信仿真系统中信号、噪声和干扰的模型，在很多物理问题中的随机现象都可以用高斯随机过程进行满意的近似，如利用中心极限定理，散弹噪声过程就是用高斯过程近似的。高斯过程最重要的用途就是模拟和分析通信系统中热噪声的影响，当热噪声强度足够大时，就可以掩盖弱信号，并使系统对这些弱信号的识别变得极其困难。高斯随机过程简称为高斯过程，就是指它在任意n 维（n=1,2,）概率密度函数可以表示为（3-6）其中，mk= EX()，,|相关系数矩阵的行列式。 （3-7）在上式中，是行列式中元素随对应的代数余因子。通常情况下，通信信道中的噪声均值a=0。因此，在

22、噪声均值为零时，噪声的平均功率等于噪声的方差。即有Pn=R(0)=Dn(t)=。这个结论是非常有用的，在通信系统的性能分析中，常常会通过求自相关函数或方差的方法来计算噪声的功率。4.仿真设计4.1 带通滤波器的原理 一个理想的带通滤波器应该有一个完全平坦的通带，在通带内没有放大或者衰减，并且在通带之外所有频率都被完全衰减掉，另外，通带外的转换在极小的频率范围完成。 实际上，并不存在理想的带通滤波器。滤波器并不能够将期望频率范围外的所有频率完全衰减掉，尤其是在所要的通带外还有一个被衰减但是没有被隔离的范围。这通常称为滤波器的滚降现象，并且使用每十倍频的衰减幅度的dB数来表示。通常，滤波器的设计尽

23、量保证滚降范围越窄越好，这样滤波器的性能就与设计更加接近。然而，随着滚降范围越来越小，通带就变得不再平坦，开始出现波纹。这种现象在通带的边缘处尤其明显，这种效应称为吉布斯现象。 除了电子学和信号处理领域之外，带通滤波器应用的一个例子是在大气科学领域，很常见的例子是使用带通滤波器过滤最近3到10天时间范围内的天气数据，这样在数据域中就只保留了作为扰动的气旋。在频带较低的剪切频率f1和较高的剪切频率f2之间是共振频率，这里滤波器的增益最大，滤波器的带宽就是f2和f1之间的差值。4.2 MATLAB程序Fs=;Ns=1024; x=randn(Ns,1);%产生白噪声 t=0:Ns-1; figur

24、e(1) plot(t,x); grid on title(高斯白噪声波形) xlabel(t) x_mean=mean(x) %均值 x_std=std(x) ; %标准差 x_var=x_std.2 %方差 x_msv=x_var+x_mean.2 %均方值 %计算高斯白噪声的相关函数% x_c,lags=xcorr(x,200,unbiased);%相关函数 figure(2) plot(lags,x_c);%画出相关函数的图形 title(白噪声的自相关函数) grid on % 利用periodogram函数计算功率谱% nfft=1024; index=0:round(nfft/2

25、-1); k=index.*Fs./nfft; window=boxcar(length(x_c); Pxx,f=periodogram(x_c,window,nfft,Fs); x_Px=Pxx(index+1); figure(3) plot(k,x_Px); grid on title(白噪声的功率谱) Xlabel(Frequency/Hz) %求白噪声的一维概率密度 x_pdf,x1=ksdensity(x); figure(4) plot(x1,x_pdf);%画出白噪声的一维概率密度 grid on title(白噪声的一维概率密度) %求高斯白噪声的频谱 f=(0:Ns-1)/

26、Ns*Fs; X=fft(x);%对白噪声进行傅里叶变换 mag=abs(X); %取信号X的幅度 figure(5) plot(f(1:Ns/2),mag(1:Ns/2);%画出白噪声的频谱 grid on title(白噪声频谱); xlabel(Frequency/Hz); %产生一个十阶IIR带通滤波器 %通带为10KHz-20KHz，并得到其幅频响应 Fs= b,a=ellip(10,0.5,50,10000,20000*2/Fs); H,w=freqz(b,a,512); figure(6) plot(w*Fs/(2*pi),abs(H); title(带通滤波幅频响应); set

27、(gcf,color,white) xlabel(Frequency Hz); ylabel(Mag of frequency response); gridon %白噪声通过带通滤波器以及通过后y相关参数 y=filter(b,a,x);%白噪声通过带通滤波器 y_mean=mean(y) %y的均值 y_std=std(y); %标准差 y_var=y_std.2 %方差 y_msv=y_var+y_mean.2 y_pdf,y1=ksdensity(y); figure(7) plot(y1,y_pdf);%y的一维概率密度 grid on title(y的一维概率密度函数图像); y_

28、c,lags1=xcorr(y,200,unbiased);%计算y的相关函数 figure(8) plot(lags1,y_c);%画出y的相关函数的图形 title(y的自相关函数) grid on %计算y的频谱 Y=fft(y);%对y进行傅里叶变换 magY=abs(Y); figure(9) plot(f(1:Ns/2),magY(1:Ns/2);%画出y的频谱 grid on title(白噪声通过带通滤波器的频谱); xlabel(Frequency/Hz); %y的功率谱 nfft=1024; index=0:round(nfft/2-1); ky=index.*Fs./nf

29、ft; window=boxcar(length(y_c); Pyy,fy=periodogram(y_c,window,nfft,Fs); y_Py=Pyy(index+1); figure(10) plot(ky,y_Py); grid on title(白噪声通过带通滤波器后的功率谱) Xlabel(Frequency/Hz)4.3仿真结果分析 (1)图4.1为高斯白噪声波形，所谓高斯白噪声中的高斯是指概率分布是正态函数，而白噪声是指它的二阶矩不相关，一阶矩为常数，是指先后信号在时间上的相关性。图4.1 高斯白噪声波形 (2)图4.2为白噪声的自相关函数，自相关函数在统计上，反映了同一序

30、列在不同时刻的取值之间的相关程度。图4.2 白噪声的自相关函数(3)图4.3为白噪声的功率谱，即对所有频率下的能量积分或求和，就是信号的总能量。从这里看出，功率谱表达的是信号某个频率下所拥有的能量，功率谱可由自相关函数的傅里叶变换得到。白噪声是一种功率谱密度为常数的随机信号或随机过程。图4.3 白噪声的功率谱 (4) 图4.4为白噪声的一维概率密度，此白噪声的一维概率密度关于x=0对称，在内单调上升，在内单调下降，且在x=0点处达到极大值。图4.4 白噪声的一维概率密度(5) 图4.5为白噪声频谱，通过频谱图观察信号的构成，频谱分析就是将信号源发出的信号强度按频率顺序展开，使其成为频率的函数，

31、并考察变化规律。频谱分析的意义就是分析信号的频率构成。更确切地说就是用来分析信号中都含有哪几种正弦波成份，反过来说就是，该信号可以用哪几种频率的正弦波来合成出来。图4.5 白噪声频谱(6) 图4.6为10-20kHz的带通滤波器的频谱，通过设置带通滤波器的通带边界频率、通带最大衰减，阻带截止频率、阻带最小衰减等，它的功能是允许从某个频率到某个频率的信号无衰减地通过，而对其他频率的信号有抑制作用。图4.6 0-2kHz的带通滤波器的频谱 (7) 图4.7为y的一维概率密度，表示的是白噪声通过带通滤波器后，计算出所得的一维概率密度，与原白噪声的一维概率密度相似，都是关于x=0对称，在内单调上升，在

32、 内单调下降，且在x=0点处达到极大值。图4.7 y的一维概率密度(8) 图4.8为y的自相关函数，是白噪声通过带通滤波器后，计算得到的自相关函数，与原白噪声的自相关函数图相似，都是在x=0处自相关函数值最大，说明高斯白噪声不具有周期性。图4.8 y的自相关函数(9) 图4.9为白噪声通过带通滤波器的频谱，白噪声通过前面所设置的10-20kHz低通滤波器，将信号除带通部分的白噪声滤去，经过频率计算得到图3.2.9所示的白噪声在10-20kHz之间的频谱。图4.9白噪声通过带通滤波器的频谱 (10)图4.10为白噪声通过带通滤波器后的功率谱，与原白噪声的功率谱相比，在频率低于10kHz高于20kHz的地方功率谱为0，在频率10-20kHz含有功率谱，说明白噪声通过带通滤波器将信号除带通部分全部滤除。图4.10 白噪声通过带通滤波器后的功率谱5.总结近一个月的专业综合课设结束了，在这期间我完成了随机过程在通信原理过程中的应用