奥赛培训内部资料：第二讲曲线运动(含2015年高考真题)

1、第二讲：曲线运动,一、曲线运动的发生条件,F,合外力方向与速度方向不在一直线,二、曲线运动的特点,速度方向一定变化,切向力改变速度大小 法向力改变速度方向,v,Fn,Ft,三、求解曲线运动问题的运动学基本方法,矢量的合成与分解,微元法,概述,四、常见的曲线运动形式,1.基本形式,（1）抛体运动,平抛运动,斜抛运动,（2）圆周运动,2.比较复杂的曲线运动,（1）螺旋运动,平面螺旋,螺距运动,（2）漂移圆周运动,例1如图所示，球1和球2均从同一点水平抛出，起抛点离水平地面的高度为H，水平速度分别为v1和v2（v1 v2）。球1抛出后刚好能越过位于xp处的竖直杆顶端，并落于地面上的R点，R点与O点的

2、距离为R。球2抛出后落于地面，与地面做弹性碰撞，反弹后也刚好能越过杆顶，并落在同一点R。试求： （1）两球初速度的比值； （2）杆的位置xp； （3）杆的高度h。,一平抛运动,点评一：平抛运动要点,（1）概念：,语言描述：,数学解析式描述：一,图象描述：,（2）运动特点：,水平方向：匀速直线运动,竖直方向：自由落体,（3）运动规律：,水平方向：,竖直方向：,（4）质点运动的轨迹方程,轨迹方程,运动方程,a,（5）两点讨论,位移的讨论,s,x,y,方向：,速度的讨论,v,方向：,（6）二级结论,表述方式一：,平抛运动中，任一时刻物体速度方向与水平方向夹角的正切值，等于从运动开始到这一时刻物体的位

3、移方向与水平方向夹角正切值的二倍。,表述方式之二 ：,平抛运动中，任一时刻物体速度的反向延长线与初速度延长线的交点，是这段时间内物体水平位移的中点。,证明：如图所示，任取点P，作其切线的反向延长线交x轴与A点,简化表述方式：交点是中点,A,y,点评二：此题中小球的轨迹方程,点评三：运动的对称性分析,R/3,2R/3,小球1：起抛点、杆的顶端、落地点R；,小球2：,起抛点；,第一次落地点：,杆的顶端；,反弹到最高点：,落地点R。,解析：,（1）由平抛运动轨迹方程有：,球1：,球2：,落地点坐标：（R，0）,第一次落地点坐标：（R/3，0）,（2）球2反弹后的轨迹方程：,式中,球1：,舍去,（3）

4、,球1：,两个特殊点：（xp，h）和（R，0）,例2如图所示，在一倾角为的斜面上，以初速度v0水平抛出一小球，落到斜面上，不计空气阻力，试讨论下列问题： （1）小球在空中的运动时间； （2）小球离斜面的最大高度； （3）证明小球落到斜面上时的速度方向与水平初速度v0无关。,解析：,建立图中所示直角坐标系,小球的运动分解为：,x轴方向：初速度？加速度？,y轴方向：初速度？加速度？,g,（1）小球在空中的运动时间,（2）小球离斜面的最大高度,（3）证明,例3（2014模拟）大学新生军训演练中，同学们正在教官指导下进行投掷训练。 （1）若已知手榴弹出手时速率为v0，与水平方向的夹角为，则手榴弹在空中

5、运动的最小速率为多少？ （2）若已知手榴弹出手时速率为v0，则其与水平方向夹角为多少时射程最远？最远射程为多少？ （3）若已知目标离投掷点（手榴弹脱手时的位置）的水平距离为s，竖直高度为h，手榴弹质量为m。要准确命中目标，对手榴弹至少要做多少功？（以上过程中，均忽略空气阻力。）,二斜抛运动,点评：斜抛运动要点分析,（1）运动的分解,水平方向：,竖直方向：,（2）空中运动时间t,（3）射程X和射高Y,（4）极值讨论,当=450时，,（5）轨迹方程,当=900时，,X,Y,（1）手榴弹做斜抛运动，将其初速度分解为水平和竖直两个方向，则有：,解析：,当手榴弹运动到最高点时，竖直方向的分速率为零，此时

6、速率最小，其值为：,（2）设手榴弹出手时速度与水平地面的夹角为，空中运动时间为t，射程为L，则有：,因此，当=450时，射程最远。,最远射程为：,（3）设的手榴弹出手时速度为v0，方向与水平地面成角，以投掷点为坐标原点，竖直向上为y轴正方向，则t时刻手榴弹的位置坐标为：,因手榴弹准确命中目标，故目标位置满足位置方程，即：,消除参数t，得：,即：,故要对手榴弹做功的最小值为,例4如图所示，一人从离地平面高为h处以速率v0斜向上抛出一个石子，求抛射角为多少时，水平射程最远？最远射程为多少？,解法一：设抛射角为，运动时间为t,当,时，x2有极值，x有极值,解法二：设抛射角为,解法三：设抛射角为，任一

7、时刻t,当y=-h时，x=s,再用辅助角公式求解,解法四：将斜抛运动分解为v0方向的匀速运动和自由落体运动,其位移矢量图如右所示,v0t,y,由图可知：,x,其他与解法一相同。,解法五：初速v0、末速v和增加的速度gt的矢量图如右，该矢量图的面积,v0,v,gt,vx,因初速v0、末速v均为定值，显然当二者夹角为900时，S最大，因而x最大，所以有：,例5一礼花竖直向上发射，达到最高点爆炸。设各碎片以相同的速率v0，向四面八方炸开，试证明各碎片在下落过程中始终保持在同一球面上面，并求球面半径与球心位置随时间变化的规律（忽略空气阻力）。,v0,点评:,（1）速度的分解,（2）运动分析,X方向：,

8、Y方向：,Z方向：,解析：,以爆炸时刻为零时刻，爆炸点为坐标原点，建立如图所示直角坐标系，对任一碎片在时刻t，其位置坐标为：,式中0为任一碎片的初速率，与抛射角无关，对于每一给定时间t，上述方程式是一个球面方程，球面半径R=0t，即R随时间t成正比不断增大，球心位置为（0，0， ），表明球心位置始终保持在z轴上，且随时间以重力加速度g加速下降。,例6.初速度为v0 的炮弹向空中射击，不考虑空气阻力，试求出空间安全区域的边界的方程,点评：,建立图中直角坐标系，设v0与xoy平面的夹角为，对任一时刻t有：,这是发射角各不相同的炮弹的空间轨迹方程,此方程式有解时，必满足,包络线方程为,整理该包络线方

9、程为所求安全区域的边界方程,例7一斜面体两斜面的倾角分别为和，如图所示。一物体从倾角为的斜面的底角处做斜上抛运动。为使物体从斜面体顶角处切过，并落在倾角为的斜面底角处，则物体的抛射角与倾角、应满足什么关系？（用简单形式写出）,解析：,建立图中直角坐标系，则有：,h,设斜面体高度为h，则其顶点和右侧底端坐标分别为（hcot,h）和h(cot+cot),0,例8军训中，战士自距离墙壁s处以速度v0起跳，再用脚蹬墙面一次，使身体变为竖直向上运动而继续升高。若墙面与鞋底之间的静摩擦因数为，求能使人体重心有最大总升高的起跳角是多少？,解析：,设人的质量为m，从起跳到达墙面所用时间为t，到达墙面处时，人的

10、速度的水平分量为vx，竖直分量为vy，则：,这一过程，人的重心升高为：,脚蹬墙面，利用最大静摩擦力的冲量可使人向上的动量增加，由动量定理有：,由题意知，正压力的冲量恰可使人的水平分动量变为零，即：,因而得:,蹬墙后，人的重心速度变为竖直向上的方向，以vy表示，则有：,人体以此速度继续升高，其升高量为：,则全过程人体的总升高量为,上式改写为：,式中：,可见，当：,时，H有最大值为：,例9.（北约2013）质量为M、半径为R的匀质水平圆盘静止在水平地面上，盘与地面间无摩擦。圆盘中心处有一只质量为m的小青蛙（可处理成质点），小青蛙将从静止跳出圆盘。为解答表述一致，将青蛙跳起后瞬间相对地面的水平分速度

11、记为vx，竖直向上的分速度记为vy，合成的初始速度大小记为v，将圆盘后退的速度记为u。 （1）设青蛙跳起后落地点在落地时的圆盘外。 （1.1）对给定的vx，可取不同的vy，试导出跳起过程中青蛙所作功W的取值范围，答案中可包含的参量为M、R、m、g（重力加速度）和vx。 （1.2）将（1.1）问所得W取值范围的下限记为W0，不同的vx对应不同的W0值，试导出其中最小者Wmin，答案中可包含的参量为M、R、m和g。 （2）如果在原圆盘边紧挨着另外一个相同的静止空圆盘，青蛙从原圆盘中心跳起后瞬间，相对地面速度的方向与水平方向夹角为45，青蛙跳起后恰好能落在空圆盘的中心。跳起过程中青蛙所作功记为W，试

12、求W与（1.2）问所得Wmin间的比值=W/Wmin，答案中可包含的参量为M和m。,（1.1）水平方向动量守恒，青蛙落地点在圆盘外，有：,解析：,mvx=Mu , （2分）, （1分）, （1分）, （1分）,得：,故得W取值范围为：, （1分）,（1.2）由式得：, （3分）,由均值不等式有：,所以有：, （3分）,（）依题意,得：, （3分）,得：,综合可得,（2分）,所求比值为：,（1分）,例10(第20届预赛)质量为M的运动员手持一质量为m的物块，以速率v0沿与水平面成a角的方向向前跳跃（如图）。为了能跳得更远一点，运动员可在跳远全过程中的某一位置处，沿某一方向把物块抛出。物块抛出时相

13、对运动员的速度的大小u是给定的，物块抛出后，物块和运动员都在同一竖直平面内运动。 (1)若运动员在跳远的全过程中的某时刻to把物块沿与x轴负方向成某角的方向抛出，求运动员从起跳到落地所经历的时间。 (2)在跳远的全过程中，运动员在何处把物块沿与x轴负方向成角的方向抛出，能使自己跳得更远？若v0和u一定，在什么条件下可跳得最远？并求出运动员跳的最大距离。,点评：复杂问题简单化,（）从起跳到t0 时刻，运动员做斜抛运动；,（）抛物块的过程：动量守恒,（）抛后的运动：新的斜抛运动,解析：,（1）运动员起跳为计时起点， t0时刻到达图中P点，设P点的坐标为P（x，y），速度v的分量为vpx和vpy，则

14、有：,设抛物后瞬间，运动员的速度为V，分量为Vpx和Vpy，物块相对于运动员的速度u的分量为ux和uy，,由动量守恒定律有：,抛出物块后，运动员沿新的抛物线运动，其初速度为Vpx和Vpy，在t（ ）时刻运动员的位置和速度分别为：,运动员落地时，,上式中取正号，得：,（）因为：,显然，当t0=0时，x最大，即抛出点坐标为：,即在刚起跳时把物块抛出，运动员可跳得远一点。,运动员自起跳至落地所经历的时间为,运动员跳远的距离,当：,时，x有最大值,三圆周运动,1.匀速圆周运动,角速度,线速度,加速度,v,2.变速圆周运动,角加速度,加速度,vA,v,匀变速圆周运动,3.匀速圆周运动与简谐运动的相互等效

15、,x,A,2A,v,a,匀速圆周运动可以分为两个互相垂直方向上的简谐运动，它们的相位相差,y,例11.质点沿半径为R的圆周运动，初速度的大小为v0在运动过程中，点的切向加速度与法向加速度大小恒相等，求经时间T质点的速度v。,点评：,切向加速度,法向加速度,例11.质点沿半径为R的圆周运动，初速度的大小为v0在运动过程中，点的切向加速度与法向加速度大小恒相等，求经时间T质点的速度v。,方法一：积分法,若速率从v0增加, 有,若速率从v0减小, 有,例11.质点沿半径为R的圆周运动，初速度的大小为v0在运动过程中，点的切向加速度与法向加速度大小恒相等，求经时间T质点的速度v。,方法二：微元法,设速

16、率从v0增加,取运动过程中第i个极短时间t，依题意有,若速率从v0减小, 有,例12用手握着一绳端在水平桌面上做半径为r的匀速圆周运动，圆心为O。绳长为L，质量可以忽略，绳的另一端系着一个质量为m的小球，恰好也以O点为圆心在桌面上做匀速圆周运动。已知手和小球的角速度均为，小球和桌面之间有摩擦，求： （1）手对细绳做功的功率P； （2）小球与桌面之间的动摩擦因数。,点评：示意图,r,L,解析：,（1）手对细绳做功的功率P,以小球为研究对象，水平面内受力：,T,f,R,（2）小球与桌面之间的动摩擦因数,例13如图所示，一长为a的细线系着一小球悬挂在O点静止不动。若使小球获得一个水平初速度 ，略去空

17、气阻力，证明：小球的运动轨迹经过悬点O。,小专题：竖直平面内的圆周运动,1.水平直径以上各点的临界速度,(1)在水平直径以上各点弹力方向是指向圆心的情况，例如系在绳端的小球，过山车,mg,T,当T=0时，,在水平直径以上各点不脱离轨道因而可做完整的圆运动的条件是 ：,(2)在水平直径以上各点弹力方向是背离圆心的情况，例如车过拱形桥,mg,N,当N=0时，,在水平直径以上各点不脱离轨道的条件是 ：,2.竖直平面光滑圆形轨道,（1）机械能守恒,（2）最高点与最低点的弹力差：,（3）能到达最高点时，最低点的速度：,（4）恰能到达最高点时，最低点的加速度：,小球运动轨迹会通过悬点O，是因为线绳在水平直

18、径上方与水平成某一角度时，绳恰不再张紧，小球开始脱离圆轨道而做斜上抛运动,h,解析：,绳上张力为零时小球达临界速度,该过程机械能守恒:,设小球做斜上抛运动设当y方向位移为-h时历时t,有,这段时间内小球完成的水平位移为,说明小球做斜抛运动过程中，通过了坐标为,的悬点O!,例14如图所示，质量为m的小车以恒定速率v沿半径为R的竖直圆环轨道运动，已知动摩擦因数为，试求小车从轨道最低点运动到最高点过程中，摩擦力做的功。,点评：,1.摩擦力大小的分析,随正压力大小的变化而变化,2.正压力大小的分析,在水平轴下方时：,在水平轴上方时：,3.摩擦力做功的特点及计算,微元法：,取什么物理量的微元？,这一条件

19、下的结论 什么？,解析：,如图所示，小车运动过程中经过关于水平轴对称的两位置1和2，且两位置和圆心的连线与水平轴的夹角均为a。,因为：,所以：,同理：,小车经过1、2两处一极小段位移内摩擦力所做的功和为,即Wf与的大小无关，于是整个过程中摩擦力的功,v,例15如图所示，长为L的轻杆顶端放一小重球，由竖直位置开始无初速倒下，杆的下端被地面上的台阶挡住，求重球落地时的方向。,点评：,1.小球与杆分离前做什么运动？,2.小球与杆在什么位置分离？分离时的动力学特点？,3.与杆分离后小球做什么运动？,解析：,球开始时在轻杆上与轻杆一起沿圆弧运动，当轻杆对重球的支持力变为零时，球脱离杆，做斜下抛运动。,设

20、杆的支持力为零时，杆与竖直方向的夹角为，小球速率为v1，此时有：,由动能定理有：,将v1沿水平和竖直两方向分解，则有,设小球落地时速率为v，则有：,设落地时重球的速度与竖直方向的夹角为，则,例16如图所示，长度为l的轻杆上端连着一质量为m的体积可忽略的小重物B。杆的下端被用铰链固接于水平面上的A点。同时，置于同一水平面上的立方体C恰与B接触，立方体C的质量为M。今有微小扰动，使杆向右倾倒，设B与C、C与水平地面间均无摩擦，而B与C刚脱离接触的瞬间，杆与地面夹角恰为300，求B、C的质量之比,点评：,1.B、C分离前二者运动学和动力学特点,B对C有作用力，C沿水平方向做加速运动；,二者水平方向速

21、度和加速度均相等。,2.B、C分离瞬间,水平方向速度和加速度仍相等；,刚好无相互作用力；,C的加速度为零；,杆对B的作用力的水平分量必为零,此刻杆对B的作用力为零。（？杆为轻杆）,解：,以B球为研究对象，设B、C分离时B球的速度大小为，杆与水平面夹角以表示，如图所示。则B此刻是仅受重力作用而绕A点作半径为l的圆周运动，则有：,此时B速度的水平分量,所以C的速度：,对B、C组成的系统，机械能守恒：,联立以上各式，将 的值代入求解得：,例17如图所示，三个质量均为m的弹性小球用两根长均为l的轻绳连成一条直线而静止在光滑水平面上。现给中间的小球B一个水平初速度v0，方向与绳垂直。小球相互碰撞时无机械

22、能损失，轻绳不可伸长。求： （1）当小球A、C第一次相碰时，小球A的速度； （2）当三个小球再次处在同一直线上时，小球B的速度和此时绳子的张力； （3）运动过程中小球A的最大动能EKA和此时两根绳的夹角以及绳子的张力。,-ma,点评：非惯性系与惯性力,1平动加速参考系_平移惯性力,惯性力：,定义：,为了使牛顿定律在非惯性系中形式上成立，而引入的假想的力。,m为研究对象的质量；,为非惯性系相对惯性系的加速度。,负号表示惯性力方向与非惯性系加速度方向相反。,理解：,（1）惯性力不是真实力，没有施力体，没有反作用力；,（2）惯性力的效果是真实存在的，也能用测力计测出来；,（3）所有质点在非惯性系下都

23、可能是惯性力。,2.转动参考中,_惯性离心力,惯性离心力的特点： （1）离心力与转动参考系的转动角速度有关，方向垂直 转轴向外； （2）离心力与物体所在位置有关，与物体在转动系中运 动与否无关。,解析：,（1）A、C第一次相碰时，,vx,vy,（2）当三个小球再次处在同一直线上时,设T，以B为参考系（惯性系或非惯性系？），A、C做圆周运动，（线速度多大？）,（3）A的最大动能EKA最大时，B的速度为零，此时A的速度方向一定垂直于AB的连线（？）,对B球,对A球，以B为参考系（非惯性系），A做圆周运动,例18.如图，质量可忽略不计的刚性细杆可绕通过其中点O的光滑水平轴在竖直面内自由转动。两质量分

24、别为2m和m的小球1和2（可视为质点）串在细杆上，它们与细杆之间的静摩擦系数为 。开始时细杆静止在水平位置，小球1和2分别位于紧靠细杆两端点A和B的位置。系统自水平位置以零初速下摆。问小球1和2分别在什么位置脱离细杆？（分别求出小球1和2脱离细杆时细杆与水平线的夹角）。,点评：,（1）设轻质杆转过时，系统的角速度和角加速度分别为和，如何计算这两个值？,（2）受力分析，判断哪个球先离开轻质杆。如何计算弹力和静摩擦力？,mg,2mg,N1,N2,f1,f2,（3）一个球离开轻质杆后，另一球的运动分析。,点评：,以系统为研究对象，小球离开轻质杆前，机械能守恒,角动量定理：,对小球1：,对小球2：,小

25、球1与杆之间的摩擦力先达到最大静摩擦力，故小球1先滑动。设球1开始滑动时，细杆与水平线夹角为1 ，则,由于球1的初始位置在杆的末端，故此时轻质杆与水平线夹角为300。,因轻杆没有质量，球1一旦脱离轻杆，球2与轻杆间的相互作用立即消失，此后球2只受重力作用而作斜抛运动，其初速度：,初速度的方向与水平线的夹角：,得任意 t 时刻球2的位置坐标：,球2脱离细杆时，几何关系,方法一：设质点在M平面内沿椭圆轨道以速率v运动，这个运动在M1平面的一个分运动轨道恰成半径为b的圆，则两平面间夹角,对椭圆长轴端的A点:,aA1,对A点投影A1点:,椭圆短轴端B点的曲率半径由,v,v,aA,v,aB,aB,例19

26、质点做椭圆运动，已知长半轴与短半轴为a和b，求长其轴与短轴端点的曲率半径。,四曲率半径的计算,方法二:,轨迹方程：,参数方程：,将栯圆运动等效为两个简谐运动,vA,vB,aA,aB,例20质点做抛物线运动，已知其轨迹方程为： ，求轨迹上任一点的曲率半径。,点评：特殊到一般,设质点以速度v0做平抛运动,对轨迹上的P点:,g,v,vy,解析：设物体以v0做匀速率的圆周运动、同时以vh沿垂直于v0方向做匀速直线运动，每前进一个螺距，完成一次圆周，即有,设螺旋线上任一点的曲率半径为,h,r,例21旋转半径为r、螺距为h的等距螺旋线，曲率半径处处相同试用运动学方法求解曲率半径值。,小结：曲线运动轨迹的曲

27、率与曲率半径,五螺旋运动,1.平面螺旋运动,P(r,),平面内长直细杆绕其端点O旋转,套在杆上的小环P沿杆运动,t=0时，P的位置：,r,小球沿杆方向速率vr与杆旋转角速度均为常量,任意t时刻有：,vr,v,v,轨迹方程：,阿基米德螺旋线,t时刻小环的角向速度：,t时刻小环的速率：,.空间螺旋运动,（）等螺距运动,v,x,（）等差螺距运动,a,例22已知等距螺旋线在垂直轴方向的截面半径为R，曲率半径为，一质点沿此螺旋线做匀速率运动。已知质点在垂直轴方向的投影转过一周所用时间为T，则质点沿轴方向的分运动速率为多少？,点评：例19,解析：,设速率v，圆周运动线速率v1，轴方向速率v2,例23.如图

28、所示，从x轴上的O点发射一束电量为q(q0)、质量为m的带电粒子，它们的速度方向分布在以O点为顶点、x轴为对称轴的一个顶角很小的锥体内，速率均为v。试设计一种匀强磁场，能使这束带电粒子会聚于x轴上的另一点M，M点与O点的距离为d。要求给出该磁场的方向，磁感应强度的大小及最小值。不计重力及粒子间的相互作用。,点评：,（1）怎样加磁场，才能使这束带电粒子会聚于x轴上的另一点M？,x,B,（2）带电粒子的运动分析,x轴方向：,区别？,匀速直线运动,yoz平面：,匀速圆周运动,等螺距运动,（3）怎样理解很小？,（）磁聚集,解析：,沿x轴方向加匀强磁场，设磁感应强度为B。,沿x轴方向有：,垂直于x轴平面

29、内，设半径R，周期T，则有：,过M点的条件：,联立以上各式得：,n为什么时，B有最小值：,例24. 如图，一刚性螺旋环质量为m（质量均匀分布），半径为R，螺距 ，可绕竖直的对称轴OO无摩擦地转动，连接螺旋环与转轴的两支撑杆的质量可忽略不计。一质量为m的小球穿在螺旋环上并可沿螺旋环无摩擦地滑动。扶住小球使其静止于螺旋环上的某一点A，这时螺旋环也处于静止状态。然后放开小球，让小球沿螺旋环下滑，同时螺旋环便绕转轴 转动。求： （1）当小球下滑高度为h时，螺旋环转过的角度。 （2）此时螺旋环转动的角速度。,点评：,（1）立体问题平面化：,H,（2）螺旋环的角动量：,（3）系统角动量是否守恒？,（4）系

30、统机械能是否守恒？,解：,（1）设小球下滑高度为h时，球相对于螺旋环的速率为v，环的速率为v0。如图所示。,螺旋环的角动量：,系统水平面内，合外力为零，角动量守恒：,（2）由机械能守恒定律,由角动量守恒定律有：,解法二：等效法,第一讲：例17,（2）,例25.如图所示，两个竖直放置的同轴导体薄圆筒，内筒半径为R，两筒间距为d，筒高为L（LRd），内筒通过一个未知电容Cx的电容器与电动势U足够大的直流电源的正极连接，外筒与该电源的负极相连。在两筒之间有相距为h的A、B两点，其连线AB与竖直的筒中央轴平行。在A点有一质量为m、电量为-Q的带电粒子，它以v0的初速率运动，且方向垂直于由A点和筒中央轴

31、构成的平面。为了使此带电粒子能够经过B点，试求所有可供选择的v0和Cx值。,点评：复杂问题简单化,（）电路结构分析；,（）带电粒子受力分析；,（）带电粒子运动分析；,（）薄圆筒导体的电容；,（）两电容器连接方式及其特点；,（）带电粒子能经过B点的条件；,速度选择器,R,d,探究一：模型的建立,两环之间的电场是怎样的？,探究二：工作原理,满足什么条件的带电粒子才能从左端进，右端出？,运动学特征？,动力学特征？,解：竖直方向，粒子做自由落体运动，设由A到B所用时间为，则,水平方向，粒子做匀速率圆周运动，设其周期为T，则,粒子能经过B点,粒子所受电场力大小,圆筒的电容：,两电容器串联,例26（201

32、4模拟）如图所示，空间有互相正交的匀强电场E和匀强磁场B，E沿+y方向，B沿+z方向，一个带电+q、质量为m的粒子(设重力可以忽略)，从坐标圆点O开始无初速出发，在xoy平面内做图中所示的曲线运动，其运动轨迹是数学中众多的迷人曲线之一，叫做摆线，又称旋轮线。图中只画出了其运动轨迹的两拱，事实上以后每拱的形状和大小都是完全相同的，试求： （1）粒子的运动周期； （2）每拱的拱高； （3）每拱的拱宽； （4）粒子运动过程中的最大速率。,五.漂移圆周运动,（1）任何一个正交的匀强磁场和匀强电场组成速度选择器。,（2）带电粒子必须以唯一确定的速度（包括大小、方向）才能匀速（或者说沿直线）通过速度选择器

33、。否则将发生偏转。即有确定的入口和出口。,（3）这个结论与粒子带何种电荷、电荷多少都无关。,（4）若速度小于这一速度，电场力将大于洛伦兹力，带电粒子向电场力方向偏转，电场力做正功，动能将增大，洛伦兹力也将增大，粒子的轨迹既不是抛物线，也不是圆，而是一条复杂曲线；若大于这一速度，将向洛伦兹力方向偏转，电场力将做负功，动能将减小，洛伦兹力也将减小，轨迹是一条复杂曲线。,点评：,（）定量分析：若初速度为零,f,qE,f,几个概念：,旋轮线或摆线,拱,拱宽,L,拱高,h,几个物理量的计算：,周期：,拱宽：,拱高：,最大速率：,v,令：,则：,若v0，粒子做先下后上的逆时针方向圆周运动,若v0，粒子做先

34、上后下的逆时针方向圆周运动,探究：,哪些物理量发生了怎样的变化？,满足什么条件，粒子才能经过N点？,（）定量分析：若初速度不为零,立体问题平面化,解析：,粒子同时参与两种分运动，沿x轴正方向做匀速直线运动，速率,xoy平面内做匀速率圆周运动，速率也为,设粒子圆周运动周期为T，轨道半径为R，拱高为h，拱宽为L，最大速率为vmax。,（1）,（4）最大速率,（3）拱宽,（2）拱高,例27（2013北约）如图所示，在一竖直平面内有水平匀强磁场，磁感应强度B的方向垂直于该竖直平面朝里，竖直平面中a、b两点在同一水平线上，两点相距l。带电量q0，质量为m的质点P，以初速度v从a对准b射出。略去空气阻力，

35、不考虑P与地面接触的可能性，设定q、m和B均为不可改取的给定量。 （1）若无论l取什么值，均可使P经直线运动通过b点，试问v应取什么值？ （2）若v为（1）问可取值之外的任意值，则l取哪些值，可使P必定会经曲线运动通过b点？ （3）对每一个满足（2）问要求的l值，计算各种可能的曲线运动对应的P从a到b所经过的时间。 （4）对每一个满足（2）问要求的l值，试问P能否从a静止释放后也可以通过b点？若能，再求P在而后运动过程中可达到的最大运动速率vmax。,（1）初速度v水平对准b点，为使P经直线运动通过b，要求P所受磁场力与重力抵消，有：,解析：, （4分）,（2）若式不能满足，P便在此竖直平面内

36、作曲线运动。将初速度v水平分解：v=v1+v2，其中v0，但, （4分）,v2=v-v1，,P所受力可分解为,P的运动可分解为：,分运动1：以初速度为v1的匀速直线运动；,分运动2：以初速度v2的匀速圆周运动。,v20对应先上后下的逆时针方向圆周运动,v20对应先下后上的逆时针方向圆周运动,圆周运动的周期为：, （3分）,为使P通过b点，要求经整数个圆周运动周期时，v1对应的直线运动位移大小恰好等于l ，即有：,l =v1nT，（其中n=1、2、） （3分）,将、式代人式，即得l必须取下述值：,n=1、2、 （1分）,（3）符合（2）问要求的每一个l均需满足式，无论v和v2取何值，P从a到b所经时间同为：,即：, （3分）,其中n为一个由l 值对应的正整数。,（4）P可通过b点。因为据（2）问解答可知，v0中的v=0即对应P从a静止释放，只要l 取式限定的值，P必定也可通过b点。 v=0的分解式为：,对应的分运动2为上图所示的先下后上的逆时针方向匀速圆周运动。,经半个周期，P在最低点两个分速度相同，对应的合速度最大,故所求最大速率为, （4分）,