2012届高考数学一轮复习 2-3函数的奇偶性与周期性课件 文 北师大版

1、考纲定位 结合具体函数，了解函数奇偶性及周期性的含义,教材回归 1奇函数、偶函数的概念 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)_f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)_f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称,2判断函数的奇偶性 判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是： (1)考查定义域是否关于原点对称； (2)考查表达式f(x)是否等于f(x)或f(x)： 若f(x)f(x)，则f(x)为奇函数； 若f(x)_f(x)，则f(x)为偶函数；,

2、若f(x)f(x)且f(x)_f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数； 若f(x)f(x)且f(x)f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数,3奇、偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反 (2)在公共定义域内， 两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； 两个偶函数的和、积是偶函数； 一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数,思考探究1：奇函数、偶函数的定义域具有什么特点？它是函数具有奇偶性的什么条件？ 提示：定义域关于原点对称，必要不充分条件,4周期性 (1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常

3、数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)_f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期 (2)最小正周期；如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期,思考探究2：如果T是函数yf(x)的周期，那么kT(kZ)是否一定也是该函数的周期？ 提示：当k0时，不是；k0时，是,答案：A,答案：C,3(2011年汉台中学)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，则f(6)的值为() A1B0 C1 D2,解析：由f(x2)f(x)知f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)， 故知函数yf(x)的周期为4，f

4、(6)f(42)f(2)f(0) f(x)是R上的奇函数，易知f(0)0，f(6)f(0)0，选B. 答案：B,考点一函数奇偶性的判定 判断函数奇偶性的一般步骤 1首先确定函数的定义域，看它是否关于原点对称；若不对称，则既不是奇函数又不是偶函数,2若定义域关于原点对称，再判定f(x)与f(x)之间的关系 (1)若f(x)f(x)(或f(x)f(x)0)，则f(x)为奇函数； (2)若f(x)f(x)(或f(x)f(x)0)，则f(x)为偶函数； (3)若f(x)f(x)且f(x)f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数； (4)若f(x)f(x)且f(x)f(x)，则f(x)既不是奇函数也不是

5、偶函数,【分析】首先判断函数的定义域，若可能具有奇偶性，则在定义域的条件下对函数式进行适当的化简；最后判断f(x)与f(x)间的关系(相等还是互为相反数),(4)函数定义域为R. 若x为无理数，则x也是无理数， f(x)f(x)0； 若x为有理数，则x也是有理数， f(x)f(x)1. 综上可知，对任意实数x都有f(x)f(x) f(x)为偶函数,考点二抽象函数的奇偶性与单调性 (1)对抽象函数解不等式问题，应充分利用函数的单调性，将“f”脱掉，转化为我们会求的不等式； (2)奇偶函数的不等式求解时，要注意到：奇函数在对称的单调区间上有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间上有相反的单调性,【分

6、析】(1)根据函数的奇偶性的定义进行证明，只需证f(x)f(x)0； (2)根据函数的单调性定义进行证明，并注意函数奇偶性的应用,【解】(1)证明：函数定义域为R，其定义域关于原点对称， f(xy)f(x)f(y)，令yx， f(0)f(x)f(x)，令xy0， f(0)f(0)f(0)，得f(0)0. f(x)f(x)0， 得f(x)f(x)， f(x)为奇函数,(2)解：解法一：设x，y是正实数， f(xy)f(x)f(y)， f(xy)f(x)f(y) x是正实数，f(x)x， f(x)在(0，)上是减函数,解法二：设x10，f(x2x1)0. f(x2)f(x1)0. 即f(x)在R上

7、单调递减 f(2)为最大值，f(6)为最小值,变式迁移2已知yf(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在(0，)上是增函数，如果x10，且|x1|0 Bf(x1)f(x2)0 Df(x1)f(x2)0,解析：x10，|x1|x2| 0x1x2 又f(x)是(0，)上的增函数， f(x1)f(x2) 又f(x)为定义在R上的偶函数，f(x1)f(x2) f(x1)f(x2)0.选D. 答案：D,考点三函数的周期性及应用 如果奇偶性是讲函数图象的对称，那么函数的周期性就是讨论函数图象的平移，而函数图象的对称与函数的周期性也是密不可分的，比如：若函数f(x)的图象关于直线xa，xb(ab)对称，则f

8、(x)为周期函数，其周期为T2(ba)等,【答案】,变式迁移3(2011年湖北八校联考)奇函数f(x)满足对任意xR都有f(2x)f(2x)9，且f(1)0，则f(2010)f(2011)f(2012)的值为_ 解析：f(x2)f(2x)f(x2)， f(x4)f(x22) f(x22)f(x)， f(x)周期为4. f(2010)f(2011)f(2012) f(2)f(3)f(4),f(x)为奇函数且xR， f(0)0f(4)f(0)0， f(3)f(12)f(12)f(1)9. 在f(2x)f(2x)0中 令x0，得： f(2)0，原式9. 答案：9,考情分析 函数的奇偶性是函数的另一个重要性质，每套高考试题都从不同角度进行考查，其热点是与函数的单调性、周期性结合考查,考场样题,【答案】偶函数,2判断函数奇偶性时忽视了定义域 纠错训练2函数f(x)x21，x(1,3的奇偶性为_ 【答案】非奇非偶函数,3偶函数和周期函数的概念理解错误 纠错训练3已知函数yf(x)满足