数学九年级资料三角形一边的平行线（很好很全很详细）

1、 24.3 三角形一边的平行线学习目标：1、通过对三角形中位线的概念与性质的分析,从特殊到一般，提出关于三角 形一边平行线的研究问题；2、经历运用分类思想针对图形运动的不同位置分别探究的过程,初步领略运用运动观点、化归和分类讨论等思想进行数学地思考的策略；3、掌握三角形一边的平行线性质定理的应用.主要概念： 4、了解三角形的重心的意义和性质并能应用它解题.主要概念：1、平行线分线段成比例定理 两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例.用符号语言表示：ADBECF,.2、平行线等分线段定理 两条直线被三条平行的直线所截，如果在一直线上所截得的线段相等，那么在另一直线上所截得的线段也相等

2、.用符号语言表示：. 熟悉定理的几种变形O井字型 A字型 X字型 倒 A字型 畸形(O无用)3、 三角形一边的平行线性质定理 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例4、三角形一边的平行线性质定理推论 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原 三角形的三边对应成比例.5、 重心的性质 三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的两倍重心要掌握三点：1、定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心. 2、作法：两条中线的交点. 3 、性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的两倍.6、 三角形一边平行线判定

3、定理 如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.7、 三角形一边的平行线判定定理推论 如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.即：如图，如果 或 或 则.典型例题：【导入】1、同底等高的三角形的面积比是多少？ （1：1）2、等底不等高的三角形的面积比是多少？（高之比）3、等高不等底的三角形的面积比是多少？（底之比）4、若，（均不为零）则把这个乘积式化成比例式可以写成哪几种形式： ， （ 让学生知道等积式转化到比例式可以有多种形式.）5、三角形的中位线有什么性质？（平行于底边且

4、等于底边的一半）【例1】如图若，能否得到?解：由等底同高三角形等积，面积比等于底之比得：；由等底同高三角形等积，面积比等于底之比得：.因为，所以 ，所以=1即 .【例1拓展1】若将向下平行移动能否得到 ？已知：,直线与边AB、AC分别相交于点D、E，且.求证： .证明：联结EB,CD设E到BA的距离为h ，则,得，同理可得，,请问：利用比例的性质，还可以得到哪些成比例线段？今后常用的有三个比例式：【拓展2】若DE截在AB,AC的延长线上，或DE截在BA,CA的延长线上，如上图，上面的三个比例式还成立吗？三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例

5、.符号语言：DEBC, ,用符号书写：DEBC强调在同一条线段上的比例关系.【例2】如图,已知DEBC,AB=15,AC=10,BD=6.求CE.解DEBC,由AB=15,AC=10,BD=6,得 ,CE=4 .【例2拓展练习】1、在ABC中，DEBC，DE与AB相交于D，与AC相交于E.（1）已知，求的长.（2）已知求的长. （3）已知3：2，求的长.2、 如图， 在ABC中，DEBC， SBCD：SABC=1：4，若AC=2，求EC的长.3、如图，已知，ABCDEF，OA=14，AC=16，CE=8，BD=12，求OB、DF的长.4、如图，在ABC, DGEC,EGBC,求证： =AB A

6、D. 【例3】证明三角形一边的平行线性质定理推论 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.分析：中的DE不在ABC的边BC上，但从比例可以看出，除DE外，其它线段都在ABC的边上，因此我们只要将DE移到BC边上去得CF=DE，然后再证明就可以了，这只要过D作DFAC交BC于F，CF就是平移DE后所得的线段.已知：，求证.证明：作交于,四边形DFCE为平行四边形，得FC=DE,. 得,.如上图，当结论同样成立，得证。【例4】如图，线段BD与CE相交于点A, ,已知2BC=3ED,AC=8,求AE的长.【例5】 已知：如图是的中线，交于点，求证：.

7、（重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点的距离的两倍.）【例6】已知：在Rt中，是中线交于点，求的长.【例7】 已知：在Rt中，是重心，于，求的长.【例7拓展】1.如图，在ABC中，DEBC，AE=2，EC=3，DE=4，求BC的长.2.如图：BDAC，CE=3，CD=5，AC=5，求BD的长.3.已知，ABC中，C=，G是三角形的重心，AB=8， 求： GC的长； 过点G的直线MNAB，交AC于M，BC于N， 求MN的长.第4题第3题 4. 已知，ABC中，G是三角形的重心，AGGC，AG=3，GC=4，求BG的长. 【例8】如图ADBECF，AB=3，AC=8，DF=1

8、0，求DE,EF的长. 【例9】已知线段a,b,c,求作线段x,使a:b=c:x来abcBOACDMNabcx【例10】如图，在ABC中，DEBC，DFAC,则下列比例式中正确的是（ ）A.;B.;C.;D.【答案】B【方法总结】在做一线三角类题目使可以要求学生按照下图所示，用单双弧标出（先将分别标为双弧、单弧，然后根据平行线定理标出其他线段）然后对各个选项进行判断.【例10拓展】如图，在ABC中，DEBC，EFAB，,则DE= 。【答案】6【提示】【例11】如图，四边形ABCD是菱形，且AB=14，BC=12,AC=10,则BE等于（）A.5;B.6;C.7;D.8.【答案】5【提示】 【方

9、法总结】往往设平行四边形（特殊的平行四边形）的边长为，然后列比例关系求解即可【例11拓展】如图，若DEBA，DFBC，AB=9，BC=6,则BEDF周长= 。【答案】【提示】 【例12】 如图，在ABC中，E是AC中点，延长BC到D，使DC=BC，连接DE，并延长交AB于F，则DE：EF= 。【答案】3:1【提示】【方法总结】以下图为例，当与的交点为或中点时，通常以过该点的某一线段为中位线，构造三角形的第三边，然后通过比例求解即可.【例12拓展1】1如图，G为AF的中点，则_。【答案】7:1【例13】（变式）如图，已知BD=DC,求证：EAFB=ECFA.【答案】略【提示】【方法总结】如下图，

10、遇到此基本图形，通常过A作DF的平行线或过D作AC的平行线【例13拓展】如图，D、E分别为ABC的AB和AC上的点，且BC的延长线交DE的延长线于F点，且.求证：DB=EC。【答案】略【提示】,【例14】（变式）如图，在ABC中，D为BC边的中点，延长AD到E，延长AB交CE于P。若AD=2DE。求证AP=3AB.【答案】略【提示】根据AD=2DE，标出图中AB,BG,BD,DC,GE;然后根据，标出PG，最后得证【说明】实际是例4一类题目的基本图形的变形【例14拓展】 如图，在ABC的边BC，CA上各取一点P和Q，若BP：PC=CQ：QA=2：3，设AP，BQ的交点为K。求BK：KQ的值。【

11、答案】【提示】由BP：PC=CQ：QA=2：3标出PB,BP,CG,GQ,BQ;由,标出KQ,BK【随堂练习1】1如图，ABC中，点P在BC上，四边形ADPE为平行四边形，则_。【答案】12如图，DEBC，DFAC，AD4 cm，BD8 cm，DE5 cm，求线段BF的长【答案】103ABC中，DEBC，EFAB，FC2，AC6，求DE和CE长【答案】3；4如图，AM是ABC中BC边上的中线，过点B作直线交AM于点P，交AC于点Q。求证：AP：PM=2AQ：QC。【答案】略【提示】过M作BQ的平行线5如图，E为AC的中点，点F在AB上，且AF:AB=2:5，FE与BC的延长线相交于D，求EF：

12、ED的值。【提示】过C作CGFE，设FE=k,则CG=2k,FD=6k,EF:ED=1:5【答案】1:5【课堂总结】【说明】本节课讲解的一线三角和后面的基本图形的解题技巧的再次讲解6. 如图,在ABC中，点D、E分别在AB、AC上,已知AD=3，AB=5，AE=2，EC=,由此判断DE与BC的位置关系是 .7. 如图,AMMB=ANNC=13，则MNBC= .8.如图, PMN中, 点A、B分别在MP和NP的延长线上, 则 （3题图）（2题图）（1题图） 9.ADE中,点B和点C分别在AD、AE上,且AB=2BD，AC=2CE，则BCDE= .10.如图,四边形ABCD中,AC、BD相交于O,

13、若，AO=8，CO=12，BC=15，则AD= .11.如图,AC、BD相交于点O,且AO=2,OC=3，BO=10，OD=15，求证：A=C. 12.已知在ABC中,点D、E、F分别在AB、BC、CA上,且,CF=CE，求证：四边形CFDE是菱形. 13.（拓展题）如图,已知点D、E在ABC的边AB、AC上,且DEBC,以DE为一边作平行四边形DEFG,延长BG、CF交于点H,连接AH,求证：AHEF. 【随堂练习2】1.在ABC中，D、E分别在AB、AC的反向延长线上,DEBC，若ADAB=34，EC=14厘米,则AC= .（4题图）（2题图）(3题图) 2.如图，已知AEBC，AC、BE

14、交于点D，若，则= .3.如图，L1L2L3 ,AB=3，BC=2，CD=1，那么下列式子中不成立的是( )(A) ECCG=51 (B) EFFG=11 (C) EFFC=32 (D) EFEG=354.在梯形ABCD中，ADBC，EFBC，且AE：EB=5：3，DC=16cm，求FC的长.5如图，已知ADEBFC，AC=12，DB=3，BF=7，求EC的长.6.已知线段AB,在线段AB上求作点C,使ACCB=32 .7. 如图,梯形ABCD中,ADBC,BECD交CA的延长线于点E.求证:FC2=FAFE.8.（拓展题）如图,P为平行四边形ABCD的对角线BD上任意一点,过点P的直线交AD

15、于点M,交BC于点N,交BA的延长线于点E,交DC的延长线于点F,求证:PEPM=PFPN. 一、基础巩固练习：选择题：1如图，ABC中，D为BC中点，E为AD的中点，BE的延长线交AC于F，则为（）A、15B、14C、13D、12【答案】D2如图，在ABC中，DEBC，DFAB，那么下列比例式中正确的是（ ）（A）；（B）；（C）；（D）【答案】A3如图，ABC中，D、E、F分别是AB、BC、AC上的点，四边形ADEF是菱形，AB15，AC10，则菱形的周长是（ ）。A. 6；（B）16；（C）24；（D）32。【答案】C4. 如图，在ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD上一点，且AF：

16、FD=1：5，连接CF并延长交AB于E，则AE：BE等于（ ）A.1:6; B.1:8; C.1:9; D.1:10.【答案】D【提示】过点D作CE的平行线5.如图，AD是ABC的中线，E是CA边上的三等分点，BE交AD于F，则AF：FD等于（ ）A.1：1;B.2：1;C.3：1;D.4：1.【答案】A填空题：1. 如图，在ABC中，AD是边BC上的中线，F是AD上一点，CF的延长线交AB于点E，若AF：FD=1：3，则AE：EB= 。【答案】1:6【提示】过D作CE的平行线2如图，DEBC，DFAC，AD5.5cm，BD=11cm，DE5cm，那么BF_cm。【答案】103如图，ABC中，

17、点P在BC上，四边形ADPE为平行四边形，则_。【答案】1解答题：1如图，ABC中，EFBC，FDAB，AE18，BE12，CD14，求线段EF的长。【答案】212如图，ABC中，AD2DC，G是BD中点，AC延长线交BC于E，求的值。【答案】2:33. 如图，ABC中，点D是AC的中点，3BE=2EC，AE与BD相交于点F。求DF：BF的值.【答案】4如图，BG:BE14:16，G为AF中点，求BF:FC的值。【答案】1:35已知：BE是等腰三角形ABC的角平分线，ACB=90o ,延长BC到点D，使CD=CE，连结AD与BE的延长线交于点F，说明：AEAC=2AF2。（8分）231233比

18、例线段单元测试班级_姓名_学号_分数_一、填空（3分1545分）：1已知线段b是线段a、c的比例中项，且a9，c4，则b 2线段AB6cm，点P在线段AB上，且AP是是AB与BP的比例中项，则PB_cm3ABC与A1B1C1中，若ABACBC40cm，则A1B1C1的周长是_4在比例尺为11000000的地图上，AB两地的图上距离是34厘米，则AB两地的实际距离是_千米5已知，则6已知：在中，点D、E分别在AB、AC上，且DEBC，AB6，AD2，EC3，则AE 7已知：点D、E分别在ABC的边AB、AC的反向延长线上，且DEBC，则DE 8如图，在梯形ABCD中，ADBC，AC、BD相交于点O若SAOD4，SAOB6，则SBOC_9如图，l1l2l3 ， AB2，AC5，DF10，则DE 10如图,AMMBANNC=13，则MNBC= 11如图，在ABC中，AM是中线，G是重心，GDBC，交AC于D若BC6，则GD 12如图，ADEFBC，AD13厘米、BC18厘米，AEEB23，则EF 第12题第9题第11题第10题13如图，ABC中有菱形ANPN，如果，则_14如图，在ABCD中，EFAB，EF4，则CD的长为_第13题第14题第16题第15题15已知平行四边形ABCD中,E为AD的中点,AFBF=