十五次课学完初一上学期数学(人教版)讲义

1、有理数的基本概念（上）板块一 有理数基本概念【知识导航】 正数：像3、1、+0.33 等的数，叫做正数。在小学学过的数，除0外都是正数。正数都大于0。负数：像-1、-3.12、-2012等在正数前加上“-”（读作负）号的数，叫做负数。负数都小于0。0既不是正数，也不是负数。如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义。如：南为正方向，向南1km表示为+1km，那么向北3km表示为-3km。有理数：整数与分数统称为有理数。无理数：无限不循环小数，如。 注意：正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数和零统称为非负整数；负整数和零统称为非正整数。【例1】 下列各组量中，具有相反意义的量

2、是（ ） A节约汽油10升和浪费粮食 B向东走8公里和向北走8公里C收入300元和支出100元D身高1.8米和身高0.9米 如果零上记作，那么零下记作（ ） A-5B-10CD如果水位升高4m时水位变化记为+4m，那么水位下降3m记作_，水位不升不降时水位变化记为_m 甲乙两地的海拔高度分别为200米，-150米，那么甲地比乙地高出（ ） A200米 B50米 C300米 D350米 学而思饮料公司生产的一种瓶装饮料外包装上印有“”字样，请问“”是什么意思？质监局对该产品抽查3瓶，容量分别为，问抽查产品的容量是否合格？ 【例2】 一种零件的长度在图纸上是米，表示这种零件加工要求最大不超过_，最

3、小不小于_. 1是（ ） A最小的整数 B最小的正整数 C最小的自然数 D最小的有理数以上各数中，_属于负数，_属于非正数， _属于非负有理数。在中，负分数的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 判断下列说法正确与否 一个有理数不是整数就是分数 （ ） 一个有理数不是正数就是负数 （ ） 一个整数不是正的，就是负的 （ ） 一个分数不是正的，就是负的 （ ）板块二 数轴【知识导航】 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线。 数轴特点分析：1在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大。2正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。【例3】 画出数轴，在数轴上表示下列各数，并把数用“

4、”连接。在数轴上，一个点从原点开始，先向右移动了2个单位长度，再向左移动3个单位长度，最终达到终点，此时这个点表示的数是（ ） A5 B1 C-1 D-5 数轴上的点A、B分别表示数-3和1，点C是AB的中点，则点C所表示的数是_ 如图所示，数轴的一部分被墨水污染了，被污染的部分内含有的整数为_ 【例4】 数轴上点A对应的数为-3，那么与A相距1个单位长度的点B所对应的数是_。数轴上的点A对应的数是-1，一只蚂蚁从A点出发沿着数轴向右以每秒3个单位长度的速度爬行至B点后，用2秒的时间吃光了B点处的蜜糖，又沿着原路返回A点，共用去6秒，则蚂蚁爬行的路程是几个单位长度？B点与A点的距离是多少个单位

5、长度？B点对应数是多少？有理数的基本概念（下）【例】(复习)板块三 相反数，绝对值，倒数【知识导航】 相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，特别地，0的相反数是0。几何意义：一对相反数在数轴上应分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等。求一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“” 号即可。多重符号的化简绝对值：数a的绝对值记作|a|。代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。几何意义：点到原点距离。倒数：乘积为1的两个数互为倒数。负倒数：乘积为-1的两个数互为负倒数。 【例1】 7的相反数是( )AB7CD下列正确的是( )A一个数的相反数一定是负数

6、 B和-3.14互为相反数 C所有的有理数都有相反数 D13和31互为相反数 如果a0，化简下列各数的符号，并说出是正数还是负数。 -(+a)； -(-a)；-+(-a)； -(-a)；-+-(-a)-6的绝对值等于( )ABCD-|-1.5|_； 绝对值不大于3的整数有_。 绝对值大于2而小于5的负整数是_ -3 的倒数是( )ABCD下列说法正确的是( )A符号相反的数互为相反数 B任何有理数都有倒数 C最小的自然数是1D一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远 【例2】 与_互为相反数；是_的相反数。 -(-2)的相反数是_；b4是_的相反数 -+(-4)_。 -+(-5)与_互

7、为相反数，-(-a-b)与_互为相反数，+-(-7+b-c)与_互为相反数。已知a、b为有理数，且a0，b0，|b|a|，则a、b、-a、-b的大小关系是（ ） A-bab-aB-bb-aaCa-bb-aD-ab-ba|x2|y2|0，求 xy_；|x|-|y7|，则xy_。【例3】 若a、b互为相反数，c、d互为负倒数，m的绝对值为2，求 有理数的四则混合运算（上）板块一 有理数的加减法【知识导航】 有理数的加法法则： 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数。有理数加法的运

8、算步骤：确定和的符号；求和的绝对值，即确定是两个加数的绝对值的和或差。【例1】 计算 有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。有理数减法的运算步骤：把减号变为加号（改变运算符号）把减数变为它的相反数（改变性质符号）把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行运算。【例2】计算 有理数加减混合运算的步骤：把算式中的减法转化为加法；省略加号与括号；利用运算律及技巧简便计算，求出结果。【例3】 计算 例4】 有8筐白菜，以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的纪录如下： 1.5 -3 2 -0.5 1 -2 -2 -2.5回答下列问题： 这8筐白菜中，最接近25

9、千克的那筐白菜为 千克； 以每筐25千克为标准，这8筐白菜总计超过多少千克或不足多少千克？ 若白菜每千克售价2.6元，则出售这8筐白菜可卖多少元？【例5】 a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，d是绝对值等于2的数，则a(-b) c d_。 有理数的四则混合运算（中）板块二 有理数乘除法【知识导航】 有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。有理数乘法法则的推广：几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数。(奇负偶正) 几个数相乘，如果有一个因数为0，则积为

10、0。【例1】 计算 计算【例2】 计算 有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。在进行有理数运算时，先确定符号，再计算绝对值，有括号的先算括号里的数。【例3】 计算 【例4】 计算 计算计算板块三 有理数乘方【知识导航】 概念：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在 中，a叫做底数，n叫做指数。“奇负偶正”口诀的应用：多重符号的化简 有理数乘法 有理数乘方 有理数的四则混合运算（下）【例1】 把下式写成乘方运算的形式： 【例2】计算 【例3】计算 【例4】 计算，结果为（ ）A B C D-填空： _；_；如果a是有理数，那么下列各式一定为正数的是（ ）A

11、B C D若，则的值等于_。 【例5】 已知：a、b、c是有理数，满足 求： 板块四 科学记数法,有效数字【知识导航】 定义：把一个大于10的数表示成的形式（其中，n是正整数），此种记法叫做科学记数法。有效数字： 从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字。【例6】 国家游泳中心“水立方”是北京2008年奥运会场馆之一，它的外层膜的展开面积是平方米，将用科学记数法表示应为（ ）A B C D截止到2008年5月19日，已有21600名中外记者成为北京奥运会的注册记者，创历届奥运会之最，将21600用科学记数法表示应为（ ）A B C D改革开放以来，我国国内生产

12、总值由1978年的3645亿元增长到2008年的亿元。将用科学记数法表示应为（ ）A B C D【例7】 1指出下列各近似值精确到哪一位：56.3； 5.630； ； 5.630万；0.017； 3800 2指出下列各数有几个有效数字： 0.319； 0.0170； 0.25037； 4.46万； 5.29103； 38.7 整式的概念与加减运算（上）启东作业本轻巧夺冠5年中考3年模拟 新思维 培优新方法板块一 单项式的相关概念【知识导航】 代数式的定义：用基本的运算符号(加、减、乘、除、乘方等)把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式单独的一个数或字母也是代数式。【例1】 指出下列各式，哪

13、些是代数式？单项式：像这些代数式中，都是数字与字母的积，这样的代数式称为单项式。单项式的次数：是指单项式中字母的指数和。 单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数。同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项。 【例2】 分别写出下列单项式的系数和次数： 【例3】 一个单项式：它的系数是-1，次数是 3，必须含 x，y两个字母，请写出这样的单项式 。（写出一个即可） 下面给出的四对单项式中，是同类项的一对是( )若与是同类项，那么m，n的值分别是( ) Am-2，n3 Bm2，n3Cm-3，n2 Dm3，n2如果与是同类项，则mn_。-2002与2000是同类项

14、；2ab与-3abc是同类项；3x5与5x5是同类项；-5b与3b是同类项，上述说法正确的有( ) A0个 B1个 C2个 D3个 板块二 多项式的相关概念【知识导航】 多项式：几个单项式的和叫做多项式。 多项式的项：其中每个单项式都是该多项式的一个项。多项式的次数：多项式里，次数最高项的次数就是这个多项式的次数。 整式：单项式和多项式统称为整式。【例4】 多项式是_次四项式，最高次项是_。 下列判断中正确的是( )【例5】 是_次_项式，把它按字母x的降幂排列成_，排列后的第二项系数是_，系数最小的项是_。 整式的概念与加减运算（下）整式的运算整式加减【知识导航】 合并同类项：把多项式中同类

15、项合并成一项，叫做合并同类项。合并同类项时，只需把系数相加，所含字母和字母指数不变。【例1】下列各式正确的是( ) A BC D下列计算正确的是( ) A BC D下列式子中去括号错误的是( ) ABC D【例2】化简下列各式： 计算： 则： 多项式 【例3】已知互为相反数，互为倒数，的绝对值为2，则的值为( ) A1 B C0 D无法确定 先化简，再求值 ，其中 求，其中 先化简，再求值： 已知，求 【例4】求值：A与x, y, z无关 B与x, y, z大小有关 C仅与x的大小有关 D仅与x, y的大小有关 【例5】求代数式的值，其中，已知长方形一边长为，另一边长比它小，则长方形的周长为多

16、少？ 有一道题“已知，当时，求的值”。有一个学生指出，题目中的是多余的，你认为他的说法有道理吗？为什么？ 【例6】已知，求代数式的值。 一元一次方程初步（上）板块一 等式的概念及性质【知识导航】等式的概念：用等号来表示相等关系的式子，叫做等式。等式的类型：恒等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式总能成立。 条件等式：只能用某些数值代替等式中的字母，等式才能成立。矛盾等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式都不能成立。等式性质1：等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，所得结果仍是等式。等式性质2：等式两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能是0)，结果仍是等式。【例1】 下列各式中，哪

17、些是等式？是等式的请指出类型。 【例2】 根据等式的性质填空： ，则，则 ，则 ，则已知等式，则下列等式中不一定成立的是( ) ABCD下列变形中，根据等式的性质变形正确的是( )ABC D板块二 方程的有关概念【知识导航】 方程：含有未知数的等式。即：方程中必须含有未知数；方程是等式，但等式不一定是方程。方程的解：使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。解方程：求方程的解的过程。方程中的已知数：一般是具体的数值。方程中的未知数：是指要求的数，未知数通常用x、y、z 等字母表示。一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的整式方程叫做一元一次方程，这里的“元

18、”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数。最简形式：方程(为已知数)的形式叫一元一次方程的最简形式。 标准形式：方程 (是已知数)的形式叫一元一次方程的标准形式。 【例3】 (1)下列式子：，其中方程的个数是( )A1 B2 C3 D4，是一元一次方程的有_下列方程中解是x=2的一共有( ) 4x-8=0 4x+8=0 8x-4=0 2x-4=0 A1个B2个C3个D4个 【例4】 若是关于 x的一元一次方程，则若是关于的一元一次方程，则m的值是_若是关于的一元一次方程，则的值是_已知是关于的一元一次方程，则m=_方程是关于的一元一次方程，若是它的解，则( )A B C D 【例5】 已

19、知是关于的一元一次方程，则一元一次方程初步（下）【例5】 已知是关于的一元一次方程，则板块三 一元一次方程的基本解法【知识导航】解一元一次方程的一般步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；(5)未知数的系数化为1。易错点1：去分母：漏乘不含分母的项。易错点2：去括号：括号前是负号时，括号里各项均要变号。易错点3：移项忘记变符号。 易错点4：忘了写“解”。【例1】 方程去括号正确的是( )A. B. C. D. 方程去分母正确的是( )A.B.C.D.当x为_值时，代数式和的值互为相反数。若方程的解是 ，则【例2】解方程 【例3】 已知方程的解为，求方程的解。如果与互为相反数，且满足方程，求的值

20、。【例4】 解方程 【例5】 是关于x 的一元一次方程，且该方程有唯一解，则。二元一次方程组的概念及基本解法(上)板块一 二元一次方程的基本概念【知识导航】 二元一次方程：含有两个未知数，并且含未知数的项的最高次数是1的整式方程叫二元一次方程。二元一次方程的一般形式：判定一个方程是二元一次方程必须同时满足三个条件：含有两个未知数“二元”；含有未知数的项的最高次数为1“一次”；方程两边的代数式都是整式整式方程(注意：未知数的系数不能为0)。【例1】 下列方程，是二元一次方程的有哪些？ 方程中是二元一次方程的有( )A1个 B2个C3个 D4个若是二元一次方程，求的值。已知方程是关于的二元一次方程

21、，求的值。二元一次方程的解：使二元一次方程左、右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。任何一个二元一次方程都有无数个解。【例2】 已知是方程的解，则的值是( )A-1 B1 C2 D3判断下列数值是否是二元一次方程的解？ 已知方程用x的代数式表示y；用y的代数式表示x。板块二 二元一次方程组【知识导航】 二元一次方程组：由几个一次方程组成并且含有两个未知数的方程组，叫二元一次方程组。二元一次方程组不一定由两个二元一次方程合在一起，有的方程可以只有一元(一元方程在这里也可看作另一未知数系数为0的二元方程)，方程可以超过两个。二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程左右两边的值

22、都相等的两个未知数的值(即两个方程的公共解)，叫做二元一次方程组的解同时它也必须是一个数对，而不能是一个数。注意：一般情况下，一个二元一次方程组只有惟一一组解；二元一次方程组的解还有另外两种情况：无解或有无数组解。【例3】 下列方程组中，属于二元一次方程组的是( )A B C D以为解的二元一次方程组是( )A B C D【例4】 已知是方程组的解，则。已知是二元一次方程组的解，则( )A1 B-1 C2 D3【例5】若方程组的解是则方程组 的解是( )A B C D【例6】已知是关于的二元一次方程，求。二元一次方程组的概念及基本解法(下)板块三 二元一次方程组的基本解法【知识导航】 ：代入消

23、元法：加减消元法 【例1】 用代入消元解方程组用代入消元解方程组 方程组的解是( )A B C D方程组的解是( ) A B C D【例2】解方程组： ： 若二元一次方程组的解为，则( )A B C D【例3】解方程组： ：已知方程是关于的二元一次方程，求。【例4】解关于的方程组： 不等式的概念及解法（上）板块一 不等式的定义和性质【知识导航】 不等式的概念：用不等号连接的式子叫不等式不等号包括：“”、“”、“”、“”、“”。基本性质1：不等式两边都加上或减去同一个数或式子，不等号方向不变。基本性质2：不等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变。基本性质3：不等式两边都乘以或除以同一个

24、负数，不等号的方向改变。不等式具有互逆性。 不等式具有传递性。注意： 在不等式两边都乘以或除以同一个负数，要改变不等式的方向。 在不等式两边都乘以0，不等式变为等式。 【例1】 用不等式表示数量的不等关系： a是正数 a是非负数 a不比0大 x与y的差是负数 a的相反数不大于1q的相反数与q的一半的差不是正数 例：如果ab，则2aab，是根据不等式两边都加上同一个数，不等号方向不变； 如果ab，则3a3b，是根据 ； 如果ab，则-a-b，是根据 ； 如果a1，则aa，是根据 ； 如果a -1，则a-a，是根据 。 【例2】设都是实数，且满足：用去乘不等式的两边，不等号方向不变；用去除不等式的

25、两边，不等号方向改变；用去乘不等式的两边，不等号要变成等号，则的大小关系是()AB C D如果，则下列各式不成立的是()ABCD. 如果，则下列不等式成立的是()ABC D【例3】根据，则下面哪个不等式不一定成立( )ABC D若，且，则中负数的个数最多有()A1B2C3D4【例4】若，则满足的条件是。 不小于的负整数是。 板块二一元一次不等式【知识导航】 一元一次不等式：类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫作一元一次不等式。一元一次不等式标准形式：经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，能化为或的形式(其中)。不等式的解：使不等式成立的每一个未知数的值叫作不

26、等式的解。 不等式的解集： 能使不等式成立的所有未知数的集合，叫作不等式的解集。一般不等式的解集是一个范围，在这个范围内的每一个值都是不等式的解。不等式的解集可以用数轴来表示。解一元一次不等式的步骤： 去分母去括号移项合并同类项(化成或形式)系数化为1(化成或的形式)。【例5】下列说法中，正确的是()A是不等式的解 B是不等式的唯一解 C不是不等式的解 D是不等式的解集 利用数轴表示下面未知数的取值范围： 求不等式的所有整数解的和。不等式的概念及解法（下）【例6】不等式的解集是。 不等式的正整数解是。 解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来。解不等式解不等式，并将解集在数轴上表示出来，并写出它

27、的正整数解。【例7】当x为何值时，代数式-2x3的值总不大于x15的值。m为何正整数时，关于x的方程的解是非负数？ 求不等式的非负整数解。 板块三一元一次不等式组【知识导航】 一元一次不等式组：含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫作一元一次不等式组。一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式解集的公共部分，叫作由它们所组成的一元一次不等式组的解集，当几个不等式的解集没有公共部分时，称这个不等式组无解(解集为空集)。解一元一次不等式组的步骤：求出这个不等式组中各个不等式的解集；利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即求出这个不等式组的解集。同大取大，同小取小， 大小小大中间找

28、，大大小小无解了。【例8】不等式组的解集是()ABC D将不等式组的解集在数轴上表示出来，正确的是()ABCD【例9】解不等式组： ： 线和角（上）板块一 线【知识导航】 直线：能够向两端无限延伸的线。 射线：直线上的一点和这点一旁的部分叫射线，这个点叫做射线的端点。 线段：直线上两点和中间的部分叫线段，这两个点叫线段的端点。 公理： 经过两点有且只有一条直线，也称为“两点确定一条直线”。两点之间的连线中，线段最短，简称“两点之间，线段最短”。中点：把线段分成两条相等的线段的点叫做这条线段的中点。【例1】下面说法中错误的是( )A直线AB和直线BA是同一条直线 B射线AB和射线BA是同一条射线 C线段AB和线段BA是同一条线段 D把线段AB向两端无限延伸便得到直线AB把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这样做的道理是( )A两点之间，射线最短 B两点确定一条直线 C两点之间，线段最短 D两点之间，直线最短 下列叙述正确的是( )A孙悟空在天上画一条十万八千里 的直线 B笔直的公路是一条直线 C点A一定在直线AB上 D过点A、B可以画两条不同的直线，分别为直线AB和直线BA下列图形中，有交点的是( )【例2】下列说法中，正确的是( )A两点之间的连线中，直线最短 B若点P是线段AB的中点，则APBPC若APBP，则点P是线段AB的中点 D两点之间的线段叫做这两点的距离 如