2013年重庆高考数学理科试卷(带详解)

1、2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(重庆卷)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知全集U1,2,3,4,集合A1,2,B2,3,则( )A.1,3,4 B.3,4 C.3 D.4【测量目标】集合的并集与补集运算.【考查方式】先求出两个集合的并集,再结合补集概念求解.【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】1,2,3,而U1,2,3,4,故4，故选D2.命题“对任意,都有”的否定为( )A.对任意,都有 B.不存在,使得C.存在,使得 D.存在,使得【测量目标】含有一个量词的命题的否定.【考查方式】

2、根据含有一个量词的命题的否定的方法直接求解.【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】全称命题的否定是一个特称命题(存在性命题)，故选D3.的最大值为( )A.9 B. C.3 D. 【测量目标】函数的最值.【考查方式】利用配方法结合函数的定义域求解.【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】，因为，所以当时取得最大值,故选B.4以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分) .已知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平均数为16.8,则x,y的值分别为( )A.2,5 B.5,5 C.5,8 D.8,8第4题图 【测量目标】茎叶图.【考查方式】结合茎叶图上的数据，根

3、据中位数和平均数的概念求解.【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】由甲组数据中位数为15，可得x5；而乙组数据的平均数，可解得y8.故选C5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )第5题图 A. B. C.200 D.240【测量目标】由三视图求几何体的体积.【考查方式】先将三视图还原为空间几何体，在根据体积公式求解.【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】由几何体的三视图可得,该几何体是一个横放的直棱柱,棱柱底面为梯形,梯形两底长分别为2和8,高为4,棱柱的高为10,故该几何体体积V(28)410200,故选C6.若abc,则函数f(x)(xa) (xb)(xb)(xc)(

4、xc)(xa)的两个零点分别位于区间( )A. (a,b)和(b,c)内 B. (,a)和(a,b)内C. (b,c)和(c,)内 D. (,a)和(c,)内【测量目标】函数零点的求解与判断.【考查方式】利用函数在区间端点处的函数值并判断符号.【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】由题意abc,可得f(a)(ab)(ac)0，f(b)(bc)(ba)0，f(c)(ca)(cb)0.显然f(a)f(b)0,f(b)f(c)0,所以该函数在(a,b)和(b,c)上均有零点,故选A7.已知圆C1：(x2)2(y3)21,圆C2：(x3)2(y4)29,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上

5、的动点,则|PM|PN|的最小值为( )A. B. C. D. 【测量目标】圆与圆的位置关系. 【考查方式】利用圆心坐标和半径，在结合对称性求解.【难易程度】中等【参考答案】A【试题解析】圆C1,C2的圆心分别为C1,C2,由题意知|PM|PC1|1,|PN|PC2|3，|PM|PN|PC1|PC2|4，故所求值为|PC1|PC2|4的最小值.(步骤1 )又C1关于x轴对称的点为C3(2,3),所以|PC1|PC2|4的最小值为|C3C2|4,故选A.(步骤2)8.执行如图所示的程序框图,如果输出s3,那么判断框内应填入的条件是( )A. B. C. D.第8题图 【测量目标】循环结构的程序框

6、图.【考查方式】利用循环结构运算并结合输出结果求解.【难易程度】中等【参考答案】B【试题解析】由程序框图可知,输出的结果为slog23log34logk(k1)log2(k1) .由s3,即log2(k1)3,解得k7.又因为不满足判断框内的条件时才能输出s,所以条件应为k7.故选B.9.( ) A. B. C. D. 【测量目标】同角三角函数的基本关系,诱导公式.【考查方式】利用商数关系，三角恒等及角度拆分求解.【难易程度】较难【参考答案】C【试题解析】(步骤1 ).故选C. (步骤2 )10.在平面上,|1,.若|,则|的取值范围是( )A. B. C. D. 【测量目标】平面向量的数量积

7、运算.【考查方式】利用所给条件转化为以为起点的向量表示，再利用所给关系列出不等式求解.【难易程度】较难【参考答案】D【试题解析】因为,所以可以A为原点,分别以,所在直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系.设B1(a,0),B2(0,b),O(x,y)，则(a,b),即P(a,b)(步骤1 )由|1,得(xa)2y2x2(yb)21.所以(xa)21y20,(yb)21x20. (步骤2 )由|,得(xa)2(yb)2，即01x21y2.(步骤3 )所以x2y22，即.所以|的取值范围是,故选D.(步骤4 )二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分把答案填写在答题卡相应位置上

8、11.已知复数(i是虚数单位),则|z|_.【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】先化简复数，再利用定义求解.【难易程度】容易【参考答案】【试题解析】，.12.已知是等差数列,公差,为其前项和,若成等比数列,则_.【测量目标】等差数列的前项和，等比数列性质. 【考查方式】利用等比中项及等差数列的通项公式求解.【难易程度】中等【参考答案】64【试题解析】由a11且a1，a2，a5成等比数列,得a1(a14d)(a1d)2,解得d2,故S88a1d64.13.从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是_(用

9、数字作答)【测量目标】排列组合及其应用.【考查方式】利用两个计数原理,组合数公式求解.【难易程度】中等【参考答案】590【试题解析】设选骨科医生x名,脑外科医生y名，则需选内科医生(5xy)人. (步骤1 )(1)当xy1时,有种不同选法；(2)当x1,y2时,有种不同选法；(3)当x1,y3时,有种不同选法；(4)当x2,y1时,有种不同选法；(5)当x2,y2时,有种不同选法；(6)当x3,y1时,有种不同选法;(步骤2 )所以不同的选法共有120180601209020590种(步骤3 )考生注意：(14)、(15)、(16)三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分1

10、4.如图,在ABC中,C90,A60,AB20,过C作ABC的外接圆的切线CD,BDCD,BD与外接圆交于点E,则DE的长为_第14题图 【测量目标】圆的性质的应用.【考查方式】利用圆的几何性质、解三角形求解.【难易程度】中等【参考答案】5【试题解析】在RtABC中,A60,AB20,可得BC.由弦切角定理,可得BCDA60. (步骤1)在RtBCD中,可求得CD,BD15.又由切割线定理，可得CD2DEDB,可求得DE5. (步骤2)15.在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为cos 4的直线与曲线(t为参数)相交于A,B两点,则|AB|_.【测

11、量目标】坐标系与参数方程.【考查方式】利用极坐标方程与参数方程转化为普通方程求解.【难易程度】较难【参考答案】16【试题解析】由极坐标方程cos 4,化为直角坐标方程可得x4,而由曲线参数方程消参得x3y2，y24364,即y8,(步骤1)|AB|8(8)|16. (步骤2)16.若关于实数x的不等式|x5|x3|a无解,则实数a的取值范围是_【测量目标】解绝对值不等式.【考查方式】利用不等式的解法求解.【难易程度】较难【参考答案】(，8【试题解析】由绝对值不等式,得|x5|x3|(x5)(x3)|8，(步骤1)不等式|x5|x3|a无解时,a的取值范围为(,8(步骤2)三、解答题：本大题共6

12、小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.(本小题满分13分,(1)小问6分,(2)小问7分.)设f(x)a(x5)26lnx,其中aR，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与y轴相交于点(0,6)(1)确定a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值【测量目标】导数的几何意义，利用导数求函数的极值.【考查方式】利用导数的运算、函数的定义域、函数的单调性求解.【难易程度】容易【试题解析】(1)因f(x)a(x5)26ln x，故2a(x5).(步骤1)令x1,得f(1)16a,68a，所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y16a(68a)(x1),由点(0,6

13、)在切线上可得616a8a6,故.(步骤2)(2)由(1)知，f(x)(x5)26ln x(x0)，x5.(步骤3)令0，解得x12,x23.当0x2或x3时,故f(x)在(0,2),(3,)上为增函数;当2x3时, ,故f(x)在(2,3)上为减函数.(步骤4)由此可知f(x)在x2处取得极大值f(2)6ln 2,在x3处取得极小值f(3)26ln 3. (步骤5)18.(本小题满分13分,(1)小问5分,(2)小问8分.)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球,再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球.根据摸出4个球

14、中红球与蓝球的个数,设一、二、三等奖如下：奖级摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖3红1蓝200元二等奖3红0蓝50元三等奖2红1蓝10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级(1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与期望E(X)【测量目标】古典概型，离散型随机变量的期望.【考查方式】利用概率公式求解古典概型和独立事件的概率.【难易程度】中等【试题解析】设Ai(i0,1,2,3)表示摸到i个红球,Bj(j0,1)表示摸到j个蓝球，则Ai与Bj独立(步骤1)(1)恰好摸到1个红球的概率为P(A1).(步骤2)(2)X的所有可能值为0,10,50,200,

15、且P(X200)P(A3B1)P(A3)P(B1)，P(X50)P(A3B0)P(A3)P(B0)，P(X10)P(A2B1)P(A2)P(B1)，P(X0).(步骤3)综上知X的分布列为X01050200P从而有E(X)010502004(元)(步骤4)19.(本小题满分13分,(1)小问5分,(2)小问8分.)如图,四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,BCCD2，AC4,ACBACD,F为PC的中点,AFPB(1)求PA的长；(2)求二面角BAFD的正弦值第19题图 【测量目标】二面角，空间直角坐标系.【考查方式】利用线面位置关系建立空间直角坐标系求解.【难易程度】中等【试题解析】(1)

16、如图,连接BD交AC于O,因为BCCD,即BCD为等腰三角形.又AC平分BCD,故ACBD.以O为坐标原点,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向，建立空间直角坐标系,则OCCD1,而AC4,得AOACOC3,又ODCD,故A(0,3,0),B(,0,0)，C(0,1,0),D(,0,0).(步骤1)第19题图 因PA底面ABCD,可设P(0,3,z),由F为PC边中点,F.(步骤2)又,(,3,)，因AFPB,故0,(步骤3)即60,(舍去)，所以|.(步骤4)(2)由(1)知(,3,0),(,3,0),(0,2,),设平面FAD的法向量为n1(x1,y1,z1),平面FAB的法向量为n2(x

17、2,y2,z2),(步骤5)由n10,n10，得(步骤6)因此可取n1(3,2)(步骤7)由n20,n20，得故可取n2(3,2)(步骤8)从而法向量n1，n2的夹角的余弦值为cosn1，n2，故二面角BAFD的正弦值为.(步骤9)20.(本小题满分12分,(1)小问4分,(2)小问8分.)在ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a2b2abc2.(1)求C；(2)设cos Acos B,求的值【测量目标】余弦定理,同角三角函数的基本关系.【考查方式】利用余弦定理的变形求解,借助三角恒等变换将所给等式化简求解.【难易程度】中等【试题解析】(1)因为a2b2abc2，由余弦定理有co

18、s C，(步骤1)故.(步骤2)(2)由题意得.(步骤3)因此(tan sin Acos A)(tan sin Bcos B)，tan2sin Asin Btan (sin Acos Bcos Asin B)cos Acos B，tan2sin Asin Btan sin(AB)cos Acos B.(步骤4)因为,AB，所以sin(AB),(步骤5)因为cos(AB)cos Acos Bsin Asin B，即sin Asin B，解得sin Asin B.(步骤6)由得tan25tan 40，解得tan 1或tan 4. (步骤7)21.(本小题满分12分，(1)小问4分，(2)小问8分)

19、如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A,A两点,|AA|4.(1)求该椭圆的标准方程；(2)取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P,P,过P,P作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外.若PQPQ,求圆Q的标准方程第21题图 【测量目标】椭圆的标准方程,圆锥曲线中的轨迹问题.【考查方式】利用椭圆的方程,集合性质,平面向量数量积及轨迹方程的求法求解.【难易程度】较难【试题解析】(1)由题意知点A(c,2)在椭圆上，则.(步骤1)从而e21.由得，从而.故该椭圆的标准方程为.(步骤2)(2)由椭圆的对称性，可设又设M(x，y)是椭圆上任意一点，则|QM|2(xx0)2y2x22x0xx02(x2x0)2x028(x4,4)(步骤3)设P(x1，y1),由题意,P是椭圆上到Q的距离最小的点，因此,上式当xx1时取最小值.(步骤4)又因x1(4,4)，所以上式当x2x0时取最小值，从而x12x0,且|QP|28x02.因为PQPQ，且P(x1,y1)，所以(x1x0,y1)(x1x0,y1)0，(步骤5)即(x1x0)2y120.由椭圆方程及x12x0得，解得,.(步骤6)从而|QP|28x02.故这样的圆有两个,其标