第2讲 解题有道四大数学思想

1、创新设计第2讲解题有道四大数学思想1创新设计思想概述 高考数学以能力立意，一是考查数学的基础知识、基本技能；二是考查基本数学思想方法，考查数学思维的深度、广度和宽度.数学思想方法是指从数学的角度来认识、处理和解决问题，是数学意识、数学技能的升华和提高，中学数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想.2创新设计类型一函数与方程思想函数与方程思想的实质就是用联系和变化的观点，描述两个量之间的依赖关系，刻画数量之间的本质特征，在提出数学问题时，抛开一些非数学特征，抽象出数量特征， 建立明确的函数关系，并运用函数的知识和方法解决问题.有时需要根据已知量和未知量之间的制约关

2、系，列出方程(组)，进而通过解方程(组)求得未知量.函数与方程思想是相互联系、互为所用的.3创新设计应用1求解不等式、函数零点的问题【例 1】 (1)设 0a1，e 为自然对数的底数，则 a，ae，ea1 的大小关系为( ) A.ea1aaeB.aeaea1C.aeea1aD.aea10，则f(x)ex10，f(x)在(0，)上是增函数，且f(0)0，f(x)0，ex1x，即ea1a.又yax(0aae， 从而ea1aae.x(2)令 h(x)g(x)，得 xln x1kx，即1ln xk.5创新设计11若方程 xln xkx10 在区间e，e上有两个不等实根，则函数 f(x)ln xx与 y

3、k 在11 11 11区间e，e上有两个不相同的交点，f(x)xx2，令xx20 可得 x1，当 xe，1时f(x)0，函数是增函数，函数的极小值，也是111最小值为 f(1)1，而 fe1e，f(e)1e，又1e1e，所以，函数的最大值1为 e1.所以关于 x 的方程 xln xkx10 在区间e，e上有两个不等实根，则实数 k 的1取值范围是1，1e.答案(1)B(2)B6创新设计探究提高1.第(1)题构造函数，转化为判定函数值的大小，利用函数的单调性与不等式的性质求解.2.函数方程思想求解方程的根或图象交点问题(1) 应用方程思想把函数图象交点问题转化为方程根的问题，应用函数思想把方程根

4、的问题转化为函数零点问题.(2) 含参数的方程问题一般通过直接构造函数或分离参数化为函数解决.7创新设计【训练 1】 (1)设函数 f(x)xcos x，则方程 f(x)所有实根的和为( )24A.0B. 2C. 3x142D. 3 (2)(2019郑州模拟)已知函数 f(x)3xxsin x，若存在 x2，1，使得 f(x2x)1f(xk)0 在 x2，1上恒成立，函数 f(x)在 x2，1（3 1）上单调递增.9创新设计若存在x2，1，使得f(x2x)f(xk)0成立，则f(x2x)f(xk)f(x2x)f(kx)x2xx22x，即k(x22x)min，当x2，1时，yx22x(x1)21

5、的最小值为1. 故实数k的取值范围是(1，).答案(1)C(2)A10创新设计应用2函数与方程思想在数列中的应用【例2】设等差数列an的前n项和为Sn，若S42，S50，S63. (1)求数列an的前n项和Sn；(2)求nSn的最小值.解(1)S42，S50，S63，a5S5S42，a6S6S53，又an是等差数列，则公差da6a51，5（a1a5）n（n1）n25n由于 S520，所以 a12，故 Sn2n22.11创新设计n35n2x35x23(2)由(1)知 nSn2，设 f(x)2，则 f(x)2x25x(x0)，10101010令 f(x)0，得 x 3 ；令 f(x)0，得 0x0

6、，a1a24，a3a26.(1) 求数列an的通项公式；(2) 若对任意nN*，kan，Sn，1成等差数列，求实数k的值.a1（1q）4，解 (1)a1a24，a3a26，2a1（q q）6，q0，q3，a11，an13n13n1(nN*)， 故数列an的通项公式为an3n1.14创新设计1（13n）3n1(2)由(1)知 an3n1，Sn3n1132，kan，Sn，1 成等差数列，2Snkan1.则 22k3 n11，解得 k3.15创新设计应用3函数与方程思想在几何问题中的应用【例3】 设椭圆中心在坐标原点，A(2，0)，B(0，1)是它的两个顶点，直线ykx(k0) 与线段AB相交于点D

7、，与椭圆相交于E，F两点.(1) 若ED6DF，求 k 的值；(2) 求四边形 AEBF 面积的最大值.16创新设计x2解(1)依题意得椭圆的方程为4 y2ykx(k0).1，直线 AB，EF 的方程分别为 x2y2，如图，设D(x0 ，kx0)，E(x1 ，kx1)，F(x2 ，kx2)，其中x1 x2 ，且x1 ，x2 满足方程(14k2)x24，故 x x 2.2114k2由ED6DF知 x0x16(x2x0)，17创新设计得 x15 10714k07(6x2x1)7x22；由D在AB上知x02kx02，10714k2 2 2得 x .所以，012k12k化简得 24k225k60，解得

8、 k23或3k8.18(2) 根据点到直线的距离公式和式知，点E，F到AB的距离分别为创新设计|x12kx12|52（12k14k2）5（14k2）h1，|x22kx22|52（12k 14k2）5（14k2）h2.又 |AB| 2212 5， |AB|(h所以四边形 AEBF 的面积为 S1h )1 4（12k）21214k24k14k211 4k4k2（12k）255（14k214k22222，）19创新设计当且仅当 4k21(k0)，即当 k所以 S 的最大值为 22.12时，上式取等号.即四边形 AEBF 面积的最大值为 22.20创新设计探究提高 解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥

9、曲线的综合问题中经常出现， 求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，找准函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的求法来求解，这是求面积、线段长最值(范围)问题的基本方法.21创新设计【训练 3】 已知圆 M：x2y2r2(r0)与直线 l1：x 3y40 相切，设点 A 为圆上一动点，ABx 轴于点 B，且动点 N 满足AB2NB，设动点 N 的轨迹为曲线 C.(1) 求曲线C的方程.(2) 直线l与直线l1垂直且与曲线C交于P，Q两点，求OPQ(O为坐标原点)面积的最大值.22创新设计解 (1)设动点 N(x，y)，A(x0，y0)，因为 ABx

10、 轴于 B，所以 B(x0，0)，由已知得，r |4|2，13所以圆M的方程为x2y24.因为AB2NB，x0x，所以(0，y0)2(x0x，y)，即y02y，22x22又 A 点在圆上，所以 x0y04，即动点 N 的轨迹方程为4 y1.23创新设计(2)由题意，设直线 l： 3xym0，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，y 3xm，2联立直线 l 与椭圆 C 的方程x13x283mx4m240，4y24，消去 y，得192m2413(4m24)16(m213)0，解得 m20，g(x)f(x)xa.若 g(x)存在 2 个零点则 a 的取值范围是( )A.1，0)B.0，)C.1，)D.

11、1，)27创新设计解析(1)在同一坐标系中作出三个函数yx21，yx3，y13x的图象如图： 由图可知，在实数集R上，minx21，x3，13x为yx3上A点下方的射线，抛物线AB之间的部分，线段BC，与直线y13x上点C下方的部分的组合图.显然， 在区间0，)上，在C点时，yminx21，x3， 13x取得最大值.yx3，解方程组y13x得点 C(5，8).所以 f(x)max8.28创新设计(2)函数g(x)f(x)xa存在2个零点，即关于x的方程f(x)xa有2个不同的实根， 即函数f(x)的图象与直线yxa有2个交点，作出直线yxa与函数f(x)的图象， 如图所示，由图可知，a1，解得

12、a1.答 案 (1)C (2)C29创新设计探究提高1.第(1)题利用函数的图象求最值，避免分段函数的讨论；第(2)题把函数的零点或方程的根转化为两函数图象的交点问题，利用几何直观求解.2.探究方程解的问题应注意两点：(1)讨论方程的解(或函数的零点)一般可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题.(2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则， 不要刻意去用数形结合.30创新设计1【训练 4】 已知函数 f(x)（x）2，x0，函数 g(x)是周期为 2 的偶函数且当log5x，x0，x0，1时，g(x)2x1，则函数 yf(x)g(x)的零点个数是( )A

13、.5B.6C.7D.831创新设计解析在同一坐标系中作出yf(x)和yg(x)的图象如图所示，由图象可知当x0时，有4个零点，当x0时，有2个零点，所以一共有6个零点.答案B32创新设计应用2数形结合求解不等式与平面向量问题【例 5】 (1)已知ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则PA( PBPC)的最小值是( )A.2B.3C.423x1，D.1(2)若实数 x，y 满足不等式组xy10，2xy20，则 x2y2 的最小值是( )A.25B.5C.4D.133创新设计解析 (1)如图，以等边三角形 ABC 的底边 BC 所在直线为 x 轴，以 BC 的垂直平分线

14、为y 轴建立平面直角坐标系，则 A(0， 3)，B(1，0)，C(1，0).设 P(x，y)，则PA(x，3y)，PB(1x，y)，PC(1x，y).所以PA( PBPC)(x， 3y)( 2x，2y)2 32322x2y2.当 x0，y 3PA( PBPC)取得最小值32 时，2.34创新设计x1，(2)作出不等式组xy10，表示的平面区域(如图阴影部分).2xy20x2y2的最小值表示阴影部分(含边界)中的点到原点O(0，0)的距离的最小值的平方.x1，由得 A(1，2).xy10，(x2y2)min|OA|212225.答案(1)B(2)B35创新设计探究提高 1.平面向量中数形结合关注

15、点：(1)能建系的优先根据目标条件建立适当的平面直角坐标系；(2)重视坐标运算、数量积及有关几何意义求解.2.求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系解决问题.36创新设计【训练 5】 (1)若不等式|x2a|12xa1 对 xR 恒成立，则 a 的取值范围是 .(2)(2019长沙调研)已知 a，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 c 满足(ac)( bc)0，则|c|的最大值是( )D. 2A.1B.2C.2 237创新设计2x解析 (1)在同一坐标系中，作出y|x2a|和y1a1

16、 的简图.依题意可知2a22a解得 a12.(2)因为(ac)( bc)0，所以(ac)(bc).如图所示，设OCc，OAa，OBb，则CAac，CBbc，所以ACBC.38创新设计又因为OAOB，所以 O，A，C，B 四点共圆，当且仅当 OC 为圆的直径时，|c|最大，且最大值为 2.1答 案 (1)，2 (2)C39创新设计应用3圆锥曲线中的数形结合思想【例6】 已知抛物线的方程为x28y，点F是其焦点，点A(2，4)，在此抛物线上求一点P，使APF的周长最小，此时点P的坐标为 .解析 因为(2)20，a1)在1，2上的最大值为 4，最小值为 m，且函数 g(x)(14m)x在0，)上是增

17、函数，则 a .解析若 a1，有 a24，a1m.解得 a2，m12.4此时 g(x) x为减函数，不合题意.若 0a1，有 a14，a2m，故 a1，m 1 16，检验知符合题意.答案1446创新设计探究提高指数函数、对数函数的单调性取决于底数a，因此，当底数a的大小不确定时，应分0a1两种情况讨论.47创新设计【训练7】 (1)(2019济南调研)已知Sn为数列an的前n项和且Sn2an2，则S5S4的值为()A.8B.10C.16D.32sin（x2），1x0，(2)函数 f(x)ex1，x0.若 f(1)f(a)2，则 a 的取值集合是 .48创新设计解析(1)当n1时，a1S12a1

18、2，解得a12.因为Sn2an2，当n2时，Sn12an12，两式相减得，an2an2an1，即an2an1，则数列an是首项为2，公比为2的等比数列，则an2n，有S5S4a52532.49创新设计(2)f(1)e01，即f(1)1.由f(1)f(a)2，得f(a)1.当a0时，f(a)1ea1，所以a1.当1a0时，f(a)sin(a2)1，2所以 a22k(kZ).2所以 a22k1(kZ)，k 只能取 0，此时 a22 .因为1a1，则当 x，1时，f(x)0.所以f(x)在x1处取得极小值.若a1，则当x(0，1)时，ax1x10.所以1不是f(x)的极小值点.综上可知，a的取值范围

19、是(1，).52创新设计探究提高1.若遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论.2.如果参数有明确的几何意义，在讨论时还应适当地运用数形结合思想.注意分类标准要明确统一，做到“不重不漏”.53创新设计【训练8】 已知函数f(x)mx2xlnx.若在函数f(x)的定义域内存在区间D，使得该函数在区间D上为减函数，则实数m的取值范围为 .12mx2x1解析 f(x)2mx1xx(x0)，即2mx2x10 时，由于函数 y2mx2x1 的图象的对称轴 x 1 0，故需且只需 0，11即 18m0，故 m8.综上所述，实数 m 的取值范围为，8.1答案 ，8 54创新设计

20、应用3由图形位置或形状引起的分类讨论x0，【例 9】 (1)已知变量 x，y 满足的不等式组y2x，表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数 k( )kxy10A.1112B.2C.0D.2或 055创新设计x2y2(2)设点 A，B 是椭圆 C：3 m1 长轴的两个端点.若 C 上存在点 M 满足AMB120则 m 的取值范围是( )A.(0，19，)B.(0， 39，)C.(0，14，)D.(0， 34，)56x0，解析(1)不等式组y2x，kxy10表示的可行域如图(阴影部分)所示.创新设计x0，由图可知，若要使不等式组y2x，kxy10表示的平面区域是直角三角形，只有当直线kxy1

21、0 与直线 y 轴或 y2x 垂直时才满足.结合图形可知斜率 k 的值为 01或2.57创新设计(2)当 0m3 时，焦点在 x 轴上，若曲线 C 上存在点 M 满足AMB120atan 60 3，即 3 3，得 03 时，焦点在 y，则batan 60 3m轴上，依题设，则b m即3 3，得 m9.故 m 的取值范围为(0，19，)，故选 A.答案(1)D(2)A58创新设计探究提高1.相关计算中，涉及图形问题时，也常按图形的位置不同、大小差异等来分类讨论.2.圆锥曲线形状不确定时，常按椭圆、双曲线来分类讨论，求圆锥曲线的方程时，常按焦点的位置不同来分类讨论.59创新设计【训练 9】 (1)

22、设圆锥曲线 C 的两个焦点分别为 F1，F2，若曲线 C 上存在点 P 满足|PF1|F1F2|PF2|432，则曲线 C 的离心率等于 .(2)设ABC 的内角 A，B，C 所对边的长分别是 a，b，c，且 b3，c1，ABC的面积为 2，则 a 的值为 .解析(1)不妨设|PF1|4t，|F1F2|3t，|PF2|2t，其中t0.若该曲线为椭圆，则有|PF1|PF2|6t2a，|F F|3t2c，ec2c3t112a2a6t2；若该曲线为双曲线，则有|PF1|PF2|2t2a，60创新设计| F F |3t2c，ec2c .3t312a2a2t2曲线 C13(2)的离心率为2或2.1222

23、2由三角形面积公式，得231sin A 2，故 sin A3.因为 sinAcosA1所以 cos A1sin2A18193.61创新设计当cosA1时，由余弦定理，得 a2b2c22bccosA321221318，所3以 a22.12223221当cos A3时，由余弦定理，得 a b c 2bccos A3 1 213312所以 a23.综上所述，a22或 23.答案 (1)1或3 (2)22或 232262创新设计类型四转化与化归思想转化与化归思想方法适用于在研究、解决数学问题时，思维受阻或试图寻求简单方法或 从一种情形转化到另一种情形，也就是转化到另一种情形使问题得到解决，这种转化是

24、解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式.63创新设计应用1特殊与一般的转化【例 10】 (1)过抛物线 yax2(a0)的焦点 F，作一直线交抛物线于 P，Q 两点.若线段PF 与 FQ 的长度分别为 p，q11( )，则pq等于2aA.2aB. 1 aC.4aD.4(2)已知向量 a，b满足|a|1，|b|2，则|ab|ab|的最小值是 ，最大值是 .64创新设计221 1 解析(1)抛物线 yax (a0)的标准方程为 x ay(a0)，焦点 F0，4a.不妨设过焦点 F 作直线垂直于 y 轴，则|PF|QF| 1 ，114a.2apq(2)由题意，不妨设b(2，0)，a(cos

25、，sin )，则ab(2cos ，sin )，ab(cos 2，sin ).令y|ab|ab|（2cos ）2sin2（cos 2）2sin254cos 54cos ， 则 y21022516cos216，20.65创新设计由此可得(|ab|ab|)max 2025，(|ab|ab|)min 164，即|ab|ab|的最小值是 4，最大值是 25.答案(1)C (2)4 2566创新设计探究提高1.一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单.特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果.2.对于某些选择题、填空题，如果结论唯一或题目提供的信息暗示答案是

26、一个定值时， 可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案.67创新设计【训练 10】(1)如果 a1，a2，a8 为各项都大于零的等差数列，公差 d0，那么( ) A.a1a8a4a5B.a1a8a4a5D.a1a8a4a52tan(2)(2019许昌模拟)在ABC 中，三边长 a，b，c 满足 ac3b，则 tanAC2的值5为 ( ) A.14B.1D.C.1223 68创新设计解析(1)取特殊数列an，其中ann(nN*).显然a1a880 恒成立，f（2）0，（log2x）24log2x30，则即2f（2）0，（log2x） 10，解得 log2x3，即 0x8，21故实数 x 的取

27、值范围是0，2(8，).71(2)g(x)3x2(m4)x2，若g(x)在区间(t，3)上总为单调函数， 则g(x)0在(t，3)上恒成立，或g(x)0在(t，3)上恒成立.创新设计由得 3x2(m4)x20，即 m423x.xt当 x(t，3)时恒成立，m423t 恒成立，则 m41，即 m5；由得 m423x，当 x(t，3)时恒成立，则 m429，即 m37x3 3 .37使函数 g(x)在区间(t，3)上总不为单调函数的 m 的取值范围是，5.3137答案 (1)0，2(8，) (2) 3 ，572创新设计探究提高 1.第(1)题是把关于x的函数转化为在2，2内关于t的一次函数大于0恒成立的问题.在处理多变元的数学问题时，我们可以巧妙选取其中的参数，将其看作是“主元”，而把其它变元看作是参数.2. 第(2)题是正与反的转化，由于不为单调函数有多种情况，先求出其 ，体现“正难则反”的原则.73创新设计【训练11】 (1)(2019日照调研)由命题“存在x0R，使e|x01|m0”是假命题，得m的取值范围是(，a)，则实数a的取值是() A.(，1)B.(，2)%0.1 D.2(2)已知