平面向量知识点复习练习

1、平面向量 知识点分类复习深圳明德实验学校刘凯、向量有关概念 :（1)向量得概念 :既有大小又有方向得量 ,注意向量与数量得区别。 向量常用有向线段来表示，注意 不能说向量就就是有向线段 ,为什么？ (向量可以平移 )。配合练习1、已知 (1， 2） ,B(4， 2） ,则把向量按向量=(-1 ，3) 平移后得到得向量就是_ _(2) 零向量 ：长度为0 得向量叫零向量，记作：，注意 零向量得方向就是任意得( )单位向量 :给定一个非零向量,与同向且长度为1 得向量叫向量得单位向量、;得单位向量就是 ;（4）相等向量 :长度相等且方向相同得两个向量叫相等向量,相等向量有传递性;( )平行向量 (

2、 也叫共线向量) ：如果向量得基线互相平行或重合则称这些向量共线或平行，记作 :,规定零向量与任何向量平行。提醒 ：相等向量一定就是共线向量,但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行就是不同得两个概念: 两个平行向量得基线平行或重合，但两条直线平行不包含两条直线重合 ; 平行向量无传递性!( 因为有） ; 三点共线共线;(6) 相反向量 : 长度相等方向相反得向量叫做相反向量。得相反向量就是。配合练习 2、下列命题：（）若 ,则。(2) 两个向量相等得充要条件就是它们得起点相同，终点相同。 (3)若 ,则就是平行四边形 .( )若就是平行四边形 ,则。 (5)若，则 .(6)若 ,则

3、。其中正确得就是 _ _2、向量得表示方法 :（ 1)几何表示法 :用带箭头得有向线段表示，如，注意起点在前,终点在后； (2）符号表示法 :用一个小写得英文字母来表示,如 ,，等 ;(3)坐标表示法 := 叫做向量得坐标表示。如果向量得起点在原点 ,那么向量得坐标与向量得终点坐标相同。提醒 :向量得起点不在原点,那么向量得坐标与向量得终点坐标就不相同、练习 1、(0年上海卷、 文 6)已知点 ( 1,）与向量 ,若 ,则点 B 得坐标为、 ( ,14)、平面向量得基本定理 :如果 e1与 e 就是同一平面内得两个不共线向量,那么对该平面内得任一向量 a，有且只有一对实数、,使 a=1， 12

4、、e 称为一组基底、注： 这为我们用向量解决问题提供了一种方向：把参与得向量用一组基底表示出来,使其关系容易沟通、配合练习3、若,则用表示 _ _配合练习4 下列向量组中，能作为平面内所有向量基底得就是A 、B、C、D、配合练习5、已知分别就是得边上得中线,且,则可用向量表示为 _配合练习6、已知中，点在边上,且,则得值就是 _4、实数与向量得积 ：实数与向量得积就是一个向量,记作，它得长度与方向规定如下当 0 时，得方向与得方向相同，当0 时，得方向与得方向相反,当时 ,，注意 : 0。:、平面向量得数量积：（ )两个向量得夹角：对于非零向量， ，作，称为向量 ,得夹角 ,当=0 时， ,同

5、向，当 =时 ,反向，当时,，垂直。提醒 :（ 1)向量得夹角要求这两个向量同起点、（ 2）角得问题 ( 如三角形内角) 可转化为向量得夹角来解、( ) 平面向量得数量积:如果两个非零向量，,它们得夹角为，我们把数量叫做与得数量积 ( 或内积或点积） ,记作： ,即。规定：零向量与任一向量得数量积就是 0,注意数量积就是一个实数 , 不再就是一个向量 。配合练习 7、 A C 中 ,， , ，则 _；配合练习8、已知 ,与得夹角为，则配合练习9、已知，则等于_配合练习10、已知就是两个非零向量,且 ,则得夹角为(3）在上得投影 为，它就是一个实数,但不一定大于.配合练习11、已知， , 且 ,

6、 则向量在向量上得投影为_ _(4）得几何意义 ：数量积等于得模与在上得投影得积.(） 向量数量积得性质：设两个非零向量， ，其夹角为，则: ;当，同向时, ,特别地 ,;当与反向时 ,=-；当为锐角时，0, 且不同向 .、非零向量 ,夹角得计算公式:; 。配合练习 2、已知 ,，如果与得夹角为锐角，则得取值范围就是_配合练习13、已知得面积为，且，若,则夹角得取值范围就是_练习 1、 (04 年全国卷二、理9)已知平面上直线得方向向量点与在l 上得射影分别就是 与 A ,则，其中（ D)、。 ?B 。?C 2?。 23 设平面上有四个互异得点A 、 C、D, 已知则A 、直角三角形、等腰三角

7、形、等腰直角三角形 、等边三角形BC得形状就是（）6、向量得运算 :（ 1）几何运算 ：向量加法 :利用“平行四边形法则进行,但“平行四边形法则 只适用于不共线得向量,如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”:设 ,那么向量叫做与得与，即;提醒 :平行四边形法则要求参与加法得两个向量得起点相同,三角形法则要求参与加法得两个向量得首尾相接、可推广到 ( 据此，可根据需要在一个向量得两个端点之间任意插点)向量得减法：用“三角形法则:设，由减向量得终点指向被减向量得终点.注意 :此处减向量与被减向量得起点相同，指向被减向量( 用向量得减法来引进新得起点或者消去不必要得起点 )。向量加减运算得运算结果

8、非0，在移项时要注意、容易得出 :|-| | |+|。配合练习15、化简： _; _; _ _配合练习16、若正方形得边长为，,则=_ _配合练习17、若就是所在平面内一点，且满足，则得形状为_ _配合练习18、若为得边得中点,所在平面内有一点,满足 ,设 ,则得值为 _配合练习1、 若点就是得外心,且，则得内角为_ _练习、 (04 年全国卷二、文9)已知向量、满足: | ,| =2,| =2，则 =(）、A 。 .C。2、已知ABC得三个顶点A 、 C及平面内一点P 满足 ,则点 与 ABC得关系为()A 、P在ABC内部B 、 P 在ABC 外部C 、在边所在直线上D、 就是AC 边得一

9、个三等分点（ )坐标运算 :设 ,则： 向量得加减法运算：， .配合练习 0、已知点 ,，若 ,则当 =_ 时,点在第一、三象限得角平分线上配合练习 1、已知 ,则配合练习22、已知作用在点得三个力，则合力得终点坐标就是 实数与向量得积:。若 ,则 ,即一个向量得坐标等于表示这个向量得有向线段得终点坐标减去起点坐标配合练习23、设 ,且， ,则、 D 得坐标分别就是_ _ 平面向量数量积：。配合练习24、已知向量 =(sinx ，co） , ( in ,sinx），（ 1,0)。 (1)若.x=，求向量、得夹角;(2) 若 x，函数得最大值为，求得值 向量得模 : 。距离得求法 : 转化为向量

10、得数量积： =配合练习25、已知均为单位向量，它们得夹角为，那么=_ _ 两点间得距离：若 , 则。配合练习26、在平面斜坐标系中，,平面上任一点关于斜坐标系得斜坐标就是这样定义得 :若,其中分别为与x 轴、轴同方向得单位向量,则 P 点斜坐标为。若点 P 得斜坐标为（ 2,-2),求 P 到 O 得距离 | O|;、向量得运算律 :（）交换律：(2）结合律 :， ;(3)分配律 :,.,;配合练习2、 下列命题中 : ;； ; 若 , 则或；若则 ;； ; . 其中正确得就是_ _提醒 : （ 1) 向量运算与实数运算有类似得地方也有区别：对于一个向量等式,可以移项两边平方、两边同乘以一个实

11、数，两边同时取模，两边同乘以一个向量,但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量,切记两向量不能相除（相约) ； ( ）向量得“乘法不满足结合律，即 ,为什么？,8、向量平行( 共线 ) 得充要条件 ：(1)向量与 非零 向量共线得充要条件就是有且仅有一个实数实数就是唯一存在得, 当与同向时 , 0；当与异向时, 使得 , 0。| 得大小由及得模确定. 因此，当 , 确定时, 得符号与大小就确定了。这就就是实数乘向量中得几何意义。（ )若 =（ ), b=( ）, 则.(3) 配合练习28、若向量，当 = _时与共线且方向相同配合练习、已知， ,且 ,则 x_配合练习30、设 ,则 k=

12、_ _时 ,A,B ， C 共线练习 (04 年上海卷、理）已知点,若向量与同向，=,则点 B 得坐标为、证明平行问题通常就是取得对应得线段来构造向量，然后证明向量平行9、向量垂直得充要条件： 、特别地 .配合练习配合练习31、已知 ,若，则32、以原点 O 与A(4,2) 为两个顶点作等腰直角三角形AB ， ,则点B 得坐标就是 _配合练习3、 已知向量,且 ,则得坐标就是_(证明垂直问题通常就是取得对应得线段来构造向量, 然后证明向量垂直线段得定比分点 :配合练习3、若（ 3,- )， N （， 1)，且，则点P 得坐标为 _ _配合练习35、已知 ,直线与线段交于，且，则等于_ _、向量

13、中一些常用得结论:（ 1) 一个封闭图形首尾连接而成得向量与为零向量, 要注意运用 ;（ 2) ，特别地 , 当同向或有; 当反向或有 ; 当不共线( 这些与实数比较类似) 、（ 3）在中 , 若 , 则其重心得坐标为.配合练习36、若 AB得三边得中点分别为(2, ) 、 ( 3， 4）、 ( 1,-1),则 A C得重心得坐标为_为得重心 , 特别地为得重心;为得垂心 ;向量所在直线过得内心（就是得角平分线所在直线）;(3) 向量中三终点共线存在实数使得且、配合练习3、平面直角坐标系中，为坐标原点, 已知两点， , 若点满足 , 其中且 , 则点得轨迹就是 _ _巩固： 。已知=2， = ,则与夹角就是()?(A)30o(B ） 45o（ )6 o（D)