数学人教版九年级上册二次函数最值.ppt

1、二次函数最值问题,【知识点一】求抛物线的顶点坐标和对称轴,1.抛物线y=2(x-3)2+1的顶点坐标( )和对称轴：直线_ 2.抛物线y=-(x+2)2-4 的顶点坐标( )和对称轴：直线_ 抛物线的顶点式 y=a(x-h)2+k,顶点坐标 (h,k),对称轴：直线x=h,3，1,x=3,-2，-4,x=-2,例.求二次函数y=ax+bx+c的对称轴和顶点坐标,函数y=ax+bx+c的顶点式,一般地,对于二次函数y=ax+bx+c,我们可以利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标.,1.配方:,提取二次项系数,配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方,整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项,

2、化简:去掉中括号,老师提示: 这个结果通常称为求顶点坐标公式.,顶点坐标公式,因此,二次函数y=ax+bx+c的图象是一条抛物线.,2,-4,(2,-4),-2,4,(-2,4),思考,抛物线的最值跟什么有关系？有怎样的关系？,a0,抛物线开口向上，此时抛物线有最小值，最小值为抛物线顶点坐标的纵坐标。,a0,抛物线开口向下，此时抛物线有最大值，最大值为抛物线顶点坐标的纵坐标。,问？,是否所有的抛物线仅有最大值或最小值呢？,当函数有自变量取值范限定时，此时抛物线就有可能同时有最大值和最小值。,(2,-4),判断下列函数的最值情况,-5,1,（-5x1）,-2,4,此抛物线只有最大值；当x=-2时

3、，最大值y=4,请根据抛物线图象判断函数的最值情况。,-4 x1,分析：由于此抛物线有一个自变量 的限定，所以该函数图像仅是抛物 线的一部分。由于开口方向向上， 对称轴在此自变量的取值范围内， 所以此抛物线仍有最低点，故此抛 物线所对应的二次函数有最小值。 同时由于自变量的限定，在x取-4 时，函数值为1；在x取1时，函数 值为4，所以此抛物线所对应的二 次函数也有最大值。,当x=-2时，函数有最小值y=-3;当x=1时，函数有最大值y=4,请根据抛物线图象判断函数的最值情况。,分析：由于此抛物线有一个自变量 的限定，所以该函数图像仅是抛物 线的一部分。由于开口方向向下， 对称轴在此自变量的取

4、值范围内， 所以此抛物线仍有最高点，故此抛 物线所对应的二次函数有最大值。 同时由于自变量的限定，在x取-3 时，函数值为-3；在x取1时，函数 值为1，所以此抛物线所对应的二 次函数也有最小值。,-3 x1,当x=1时，函数有最大值y=4;当x=-3时，函数有最小值y=-3,请根据抛物线图象判断函数的最值情况。,1 x5,分析：此抛物线在自变量的取值限定下仅是1 x5的一部分，同时该抛物线开口方向向下，本来存在着顶点处的最大值，但由于此抛物线的对称轴并不在此范围内，所以该最大值并不能在顶点处取，根据函数的增减性，在对称轴右侧y随x 的增大而减小，当x=1时，函数值为3，当x=5时，函数值为-

5、2，所以该函数的最值只能在自变量的两个端点处取，即最大值为3，最小值为-2,当x=1时，函数有最大值y=3;当x=5时，函数有最小值y=-2,请根据抛物线图象判断函数的最值情况。,-1 x1,分析：此抛物线在自变量的取值限定下仅是-1 x1的一部分，同时该抛物线开口方向向上，本来存在着顶点处的最小值，但由于此抛物线的对称轴并不在此范围内，所以该最小值并不能在顶点处取，根据函数的增减性，在对称轴左侧y随x 的增大而减小，当x=-1时，函数值为3，当x=1时，函数值为-1，所以该函数的最值只能在自变量的两个端点处取，即最大值为3，最小值为-1,当x=-1时，函数有最大值y=3;当x=1时，函数有最

6、小值y=-1,归纳总结,x1,x2,x1,x2,一、对称轴在自变量取值范围内,1、a0,顶点处取最小值，最小值为顶点的纵坐标；两端点处取最大值，最大值分别由自变量x1与x2对应的函数值y1与y2,函数值最大的即为此函数的最大值。,2、a0,顶点处取最大值，最大值为顶点的纵坐标；两端点处取最小值，最小值分别由自变量x1与x2对应的函数值y1与y2,函数值最小的即为此函数的最小值。,自变量取值范围x1xx2,x,y,o,归纳总结,二、对称轴不在自变量取值范围内,自变量取值范围x1xx2,x1,x2,x1,x2,a0,自变最取值范在对称轴左侧，根据函数的增减性， y随x的增大而减小，此时自变量x1与

7、x2对应的函数值分 别为y1与y2，最大值即为y1,最小值即为y2,a0,自变最取值范在对称轴右侧，根据函数的增减性， y随x的增大而增大，此时自变量x1与x2对应的函数值分 别为y1与y2，最大值即为y2,最小值即为y1,a0,自变最取值范在对称轴左侧，根据函数的增减性， y随x的增大而增大，此时自变量x1与x2对应的函数值分 别为y1与y2，最大值即为y2,最小值即为y1,a0,自变最取值范在对称轴右侧，根据函数的增减性， y随x的增大而减小，此时自变量x1与x2对应的函数值分 别为y1与y2，最大值即为y1,最小值即为y2,如图所示，某校小农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用长为1

8、6米的一堵旧墙，其余各面用木棍围成栅栏，该校计划用木棍围出总长为24m的栅栏、设每间羊圈与墙垂直的一边长为x米，三间羊圈的总面积为s（m2） （1）当x为何值，s最大，最大值是多少 （2）若墙的最大可用长度为8米，求s的最大值。,行驶中的汽车在刹车后由于惯性的作用，要继续往前滑行 一段才停，在某段路面，一辆汽车刹车距离S（米）与车速 x（千米/时）有如下关系：S=,当车速x在60 x 80时，求刹车距离的最小值。,例2.已知m、n满足m-n2=1，求代数式m2+2n2+4m-1的最小值,变式1：若关于x的方程x2+2mx+m2+3m-1=0有两个实数根x1x2,则x12-x2（x1-x2）的最

9、小值为,例：某商店在最近的30天内的价格与时间t（单位：天）的关系是（t+10）；销售量与时间t的关系是（35-t）,其中0t30，t为整数，求这种商品何时取得日销售金额的最大值？这个最大值是多少？,解：由于这种商品日销售的价格为t+10,日销售量为35-t，则日销售金额为,练习,当3 x 4时，求函数y=x2-2ax+a2-a+1的最小值。,思考,当a为何值时，函数y=x2-2ax+a2-a+1在 3 x 4时的值 恒大于0？,动动脑,(2006年黄冈)我市某茶厂种植“春蕊牌”绿茶，由历年来市场销售行 情知道，从每年的3月25日起的180天内，绿茶市场销售单价y(元) 与上市时间t(天)的关系可以近似地用如图中的一条折线表示。绿 茶的种植除了与气候、种植技术有关外，其种植的成本单价z(元)与 上市时间t(天)的关系可以近似地用如图的抛物线表示。 （1）直接写出图中表示的市场