有理数绝对值专题复习拓展

1、2018年10月13日绝对值专题复习拓展一解答题（共40小题）1化简：（1）|+2.5|（2）（3.4）（3）+|4|（4）|（3）|2如图，化简|a|b|c|3若|a|=2，|b|=1，且ab，求a，b的值4已知|3y|=0，|x+y|=0，求的值5当a0时，请解答下列问题：（1）求的值；（2）若b0，且，求的值6已知三个非零的有理数a、b、c，记+的最大值为x，最小值为y，求x（4y）的值7结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ；表示3和2两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|mn|，如果表示数a和2的两点之间的距离是

2、3，那么a= （2）若数轴上表示数a的点位于4与2之间，求|a+4|+|a2|的值8已知数轴上三点A，O，B表示的数分别为3，0，1，点P为数轴上任意一点，其表示的数为x（1）如果点P到点A，点B的距离相等，那么x= ；（2）当x= 时，点P到点A，点B的距离之和是6；（3）若点P到点A，点B的距离之和最小，则x的取值范围是 ；（4）在数轴上，点M，N表示的数分别为x1，x2，我们把x1，x2之差的绝对值叫做点M，N之间的距离，即MN=|x1x2|若点P以每秒3个单位长度的速度从点O沿着数轴的负方向运动时，点E以每秒1个单位长度的速度从点A沿着数轴的负方向运动、点F以每秒4个单位长度的速度从点

3、B沿着数轴的负方向运动，且三个点同时出发，那么运动 秒时，点P到点E，点F的距离相等9有理数a、b、c的位置如图所示，化简式子：|b|+|ac|+|bc|ab|10若1x4，化简|x+1|+|4x|11若m、n互为相反数，则|2+m+（2）5+n|的值12已知有理数a，b互为相反数，|x|=2，求ax+b+（2）的值13若|a|=2，b=3，c是最大的负整数，求a+bc的值14当a，b，c同号时，求的值15已知：a，b，c均为非零有理数，求+的值16|a|=21，|+b|=21，且|a+b|=（a+b），求ab的值17已知：|a|=3，|b|=2，且ab，求a2b2的值18已知|a1|=5，|

4、b|=2，|a+b|a+b，求ab的值19计算：已知|x|=，|y|=，且xy0，求6（xy）的值20若|a|=19，|b|=97，且|a+b|=|a|+|b|，求a+b的值21已知a+b+c=0，其中a0，c0且|a|c|，请根据绝对值的意义化简：（1）= ，= ；（2）请分析b的正负性，并求出+的值22同学们都知道，|4（2）|表示4与2的差的绝对值，实际上也可理解为4与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x3|也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离试探索：（1）求|4（2）|= ；（2）若|x2|=5，则x= ；（3）请你找出所有符合条件的整数x，使得|1x|+|x+

5、2|=323已知A、B在数轴上分别表示a、b（1）对照数轴填写下表：a66621.5b404101.5A、B两点的距离20（2）若A、B两点间的距离记为d，试问d和a、b（ab）有何数量关系；（3）写出数轴上到1和1的距离之和为2的所有整数；（4）若点C表示的数为x，代数式|x+1|+|x2|取最小值时，相应的x的取值范围是 ，此时代数式|x+1|+|x2|的最小值是 24已知|a1|=9，|b+2|=6，且a+b0，求ab的值25阅读下面材料并解决有关问题：我们知道：|x|=现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|x+1|

6、+|x2|时，可令x+1=0和x2=0，分别求得x=1，x=2（称1，2分别为|x+1|与|x2|的零点值）在实数范围内，零点值x=1和，x=2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：x1；1x2；x2从而化简代数式|x+1|+|x2|可分以下3种情况：当x1时，原式=（x+1）（x2）=2x+1；当1x2时，原式=x+1（x2）=3；当x2时，原式=x+1+x2=2x1综上讨论，原式=通过以上阅读，请你解决以下问题：（1）化简代数式|x+2|+|x4|（2）求|x1|4|x+1|的最大值26同学们都知道，|5（2）|表示5与2之差的绝对值，实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对的两点之

7、间的距离如|x3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离试探索：（1）求|5（2）|= （2）若|x3|=|x+1|，则x= （3）同样道理|x+5|+|x2|表示数轴上有理数x所对点到5和2所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x2|=7，这样的整数是 27有理数a、b、c在数轴上的位置如图：（1）判断正负，用“”或“”填空：bc 0， a+b 0，ca 0（2）化简：|bc|+|a+b|ca|28在数轴上表示a，0，1，b四个数的点如图所示，已知O为AB的中点求|a+b|+|a+1|的值29如图，数轴上的三点A，B，C分别表示有理数a，b

8、，c，化简|ab|a+c|+|bc|30a、b所表示的有理数如图所示，化简|a+b|ab|2（ba）31已知abc0，那么+的可能的值有 ；abc0，a+b+c=0，则+= 32已知有理数a，b，c满足abc0，且a，b，c同号，若x=+，求代数式x2+6x2的值33分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简|a|时，可以这样分类：当a0时，|a|=a；当a=0时，|a|=0；当a0时，|a|=a用这种方法解决下列问题：（1）当a=5时，求的值（2）当a=2时，求的值（3）若有理数a不等于零，求的值（4）若有理数a、b均不等于零，试求的值34已知a的相反数是5，|b|=4，求|a+b|ab|的值3

9、5|x1|+|x2|+|x3|+|x2016|的最小值= 36已知：+=1，求的值37若ab0，求+的值38认真阅读下面的材料，完成有关问题材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如|53|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|=|5（3）|，所以|5+3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5|=|50|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|ab|（1）点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、2、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为 （用含绝对值的式子表示）（2）利用数轴

10、探究：找出满足|x3|+|x+1|=6的x的所有值是 ，设|x3|+|x+1|=p，当x的值取在不小于1且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小值，这个最小值是 ；当x的值取在 的范围时，|x|+|x2|取得最小值，这个最小值是 （3）求|x3|+|x2|+|x+1|的最小值为 ，此时x的值为 （4）求|x3|+|x2|+|x+1|+|x+2|的最小值，求此时x的取值范围39已知a、b表示两个不同点A、B的有理数，且|a|=5，|b|=2，它们在数轴的位置如图所示（1）试确定a、b的数值（2）表示a、b两数的点相距多远？（3）若C点在数轴上，C点到A点的距离是C点到B点距离的3倍，求

11、C点表示的数40已知数轴上三点A，O，B对应的数分别为3，0，1，点P为数轴上任意一点，其表示的数为x（1）如果点P到点A，点B的距离相等，那么x= ；（2）当x= 时，点P到点A、点B的距离之和是6；（3）若点P到点A，点B的距离之和最小，则x的取值范围是 ；（4）在数轴上，点M，N表示的数分别为x1，x2，我们把x1，x2之差的绝对值叫做点M，N之间的距离，即MN=|x1x2|若点P以每秒3个单位长度的速度从点O向左运动时，点E以每秒1个单位长度的速度从点A向左运动、点F以每秒4个单位长度的速度从点B也向左运动，且三个点同时出发，那么运动 秒时，点P到点E，点F的距离相等2018年10月1

12、3日绝对值专题复习拓展参考答案与试题解析一解答题（共40小题）1化简：（1）|+2.5|（2）（3.4）（3）+|4|（4）|（3）|【解答】解：（1）|+2.5|=2.5；（2）（3.4）=3.4；（3）+|4|=4；（4）|（3）|=|3|=32如图，化简|a|b|c|【解答】解：由数轴可得：a0，b0，c0，故原式=a（b）（c）=a+b+c3若|a|=2，|b|=1，且ab，求a，b的值【解答】解：|a|=2，|b|=1，a=2，b=1，ab，a=2，b=1；a=2，b=14已知|3y|=0，|x+y|=0，求的值【解答】解：|3y|=0，y=3，|x+y|=0，x=3，=5当a0时，

13、请解答下列问题：（1）求的值；（2）若b0，且，求的值【解答】解：（1）当a0时，=1；当a0时，=1；（2），a，b异号，当a0，b0时，=1；当a0，b0时，=1；6已知三个非零的有理数a、b、c，记+的最大值为x，最小值为y，求x（4y）的值【解答】解：a、b、c是三个非零有理数，=1=1或1，1或1，=1或1，当a、b、c都是正数，原式=1+1+1=3；当a、b、c只有两个正数，原式=1+11=1；当a、b、c只有一个正数，原式=111=1；当a、b、c都是负数，原式=111=3x=3，y=3，x（4y）=312=7结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的

14、距离是3；表示3和2两点之间的距离是5；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|mn|，如果表示数a和2的两点之间的距离是3，那么a=5或1（2）若数轴上表示数a的点位于4与2之间，求|a+4|+|a2|的值【解答】解：（1）3；5；5和1；（2）|a+4|+|a2|表示在4与2之间的数到4和2的距离的和，值为6故答案为：3；5；5和18已知数轴上三点A，O，B表示的数分别为3，0，1，点P为数轴上任意一点，其表示的数为x（1）如果点P到点A，点B的距离相等，那么x=1；（2）当x=4或2时，点P到点A，点B的距离之和是6；（3）若点P到点A，点B的距离之和最小，则x的取值范围是3x

15、1；（4）在数轴上，点M，N表示的数分别为x1，x2，我们把x1，x2之差的绝对值叫做点M，N之间的距离，即MN=|x1x2|若点P以每秒3个单位长度的速度从点O沿着数轴的负方向运动时，点E以每秒1个单位长度的速度从点A沿着数轴的负方向运动、点F以每秒4个单位长度的速度从点B沿着数轴的负方向运动，且三个点同时出发，那么运动或2秒时，点P到点E，点F的距离相等【解答】解：（1）由题意得，|x（3）|=|x1|，解得x=1；（2）AB=|1（3）|=4，点P到点A，点B的距离之和是6，点P在点A的左边时，3x+1x=6，解得x=4，点P在点B的右边时，x1+x（3）=6，解得x=2，综上所述，x=

16、4或2；（3）由两点之间线段最短可知，点P在AB之间时点P到点A，点B的距离之和最小，所以x的取值范围是3x1；（4）设运动时间为t，点P表示的数为3t，点E表示的数为3t，点F表示的数为14t，点P到点E，点F的距离相等，|3t（3t）|=|3t（14t）|，2t+3=t1或2t+3=1t，解得t=或t=2故答案为：（1）1；（2）4或2；（3）3x1；（4）或29有理数a、b、c的位置如图所示，化简式子：|b|+|ac|+|bc|ab|【解答】解：由数轴可得：b0，ac0，bc0，ab0，故：|b|+|ac|+|bc|ab|=b+ca+bc（ba）=b10若1x4，化简|x+1|+|4x|

17、【解答】解：1x4，|x+1|+|4x|=1+x+4x=511若m、n互为相反数，则|2+m+（2）5+n|的值【解答】解：m、n互为相反数，m+n=0，则|2+m+（2）5+n|=|225+m+n|=|225+0|=912已知有理数a，b互为相反数，|x|=2，求ax+b+（2）的值【解答】解：因为a、b互为相反数，所以a+b=0又因为|x|=2，所以x=2或2，当x=2时，ax+b+（2）=（a+b）x2=022=4；当x=2时，ax+b+（2）=（a+b）x2=0（2）2=013若|a|=2，b=3，c是最大的负整数，求a+bc的值【解答】解：|a|=2，c是最大的负整数，a=2，c=1

18、当a=2时，a+bc=2+（3）（1）=23+1=0；当a=2时，a+bc=2+（3）（2）=23+1=414当a，b，c同号时，求的值【解答】解：当a，b，c都为正数时，原式=+=3；当a，b，c都为负数时，原式=3，所以的值为3或315已知：a，b，c均为非零有理数，求+的值【解答】解：对a，b，c的取值情况分类讨论如下：当a，b，c都是正数时，+=3；当a，b，c都是负数时，+=1，所以和为3；当a，b，c中有两个正数，一个负数时，、中有两个1，一个1，所以和为1当a，b，c中有一个正数、两个负数时，、中有两个1，一个+1，所以和为1总之，+=1或316|a|=21，|+b|=21，且|

19、a+b|=（a+b），求ab的值【解答】解：|a|=21，|+b|=21，a=21，b=21，|a+b|=（a+b），a+b0，a=21，b=21，则ab=0，a=21，b=21，则ab=42，a=21，b=21，则ab=4217已知：|a|=3，|b|=2，且ab，求a2b2的值【解答】解：|a|=3，|b|=2，a=3，b=2，ab，a=3，b=2，则a2b2=5a=3，b=2，则a2b2=518已知|a1|=5，|b|=2，|a+b|a+b，求ab的值【解答】解：|a1|=5，|b|=2，a=6或4，b=2|a+b|a+b，a=4，b=2或a=4，b=2当a=4，b=2时，ab=8；当a

20、=4，b=2时，ab=8，综上所述，代数式的值819计算：已知|x|=，|y|=，且xy0，求6（xy）的值【解答】解：|x|=，|y|=，且xy0，x=，y=，6（xy）=6（+）=3620若|a|=19，|b|=97，且|a+b|=|a|+|b|，求a+b的值【解答】解：|a|=19，|b|=97，a=19、b=97又|a+b|=|a|+|b|，a=19，b=97或a=19，b=97a+b=11621已知a+b+c=0，其中a0，c0且|a|c|，请根据绝对值的意义化简：（1）=1，=1；（2）请分析b的正负性，并求出+的值【解答】解：（1）a0，c0，|a|=a，|ac|=ac=1，=1

21、故答案为：1；1（2）a0，c0且|a|c|，ac，即a+c0，而a+b+c=0，则b=（a+c）0，即b为正又b+c=a，a+c=b，a+b=c，原式=+=1+1+（1）=122同学们都知道，|4（2）|表示4与2的差的绝对值，实际上也可理解为4与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x3|也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离试探索：（1）求|4（2）|=6；（2）若|x2|=5，则x=7或3；（3）请你找出所有符合条件的整数x，使得|1x|+|x+2|=3【解答】解：（1）原式=6；（2）|x2|=5，x2=5，x=7或3；（3）由题意可知：|1x|+|x+2|表示数x

22、到1和2的距离之和，2x1，x=2或1或0或1故答案为（1）6；（2）7或3；23已知A、B在数轴上分别表示a、b（1）对照数轴填写下表：a66621.5b404101.5A、B两点的距离20（2）若A、B两点间的距离记为d，试问d和a、b（ab）有何数量关系；（3）写出数轴上到1和1的距离之和为2的所有整数；（4）若点C表示的数为x，代数式|x+1|+|x2|取最小值时，相应的x的取值范围是1x2，此时代数式|x+1|+|x2|的最小值是3【解答】解：（1）0（6）=6，4（6）=4+6=2，2（10）=2+10=12，故填：6，2，12；（2）d=|ab|；（3）数轴上到1和1的距离之和为

23、2的所有整数为：1，0，1；（4）在数轴上|x+1|+|x2|的几何意义是：表示有理数x的点到1及到3的距离之和，所以当1x2时，它的最小值为3；故答案为：1x2，324已知|a1|=9，|b+2|=6，且a+b0，求ab的值【解答】解：|a1|=9，|b+2|=6，a=8或10，b=8或4，a+b0，a=8，b=8或4，当a=8，b=8时，ab=8（8）=0，当a=8，b=4时，ab=84=12综上所述，ab的值为0或1225阅读下面材料并解决有关问题：我们知道：|x|=现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|x+1|+|

24、x2|时，可令x+1=0和x2=0，分别求得x=1，x=2（称1，2分别为|x+1|与|x2|的零点值）在实数范围内，零点值x=1和，x=2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：x1；1x2；x2从而化简代数式|x+1|+|x2|可分以下3种情况：当x1时，原式=（x+1）（x2）=2x+1；当1x2时，原式=x+1（x2）=3；当x2时，原式=x+1+x2=2x1综上讨论，原式=通过以上阅读，请你解决以下问题：（1）化简代数式|x+2|+|x4|（2）求|x1|4|x+1|的最大值【解答】解：（1）当x2时，|x+2|+|x4|=x2+4x=2x+2；当2x4时，|x+2|+|x4|

25、=x+2+4x=6；当x4时，|x+2|+|x4|=x+2+x4=2x2；（2）当x1时，原式=3x+52，当1x1时，原式=5x3，85x32，当x1时，原式=3x58，则|x1|4|x+1|的最大值为226同学们都知道，|5（2）|表示5与2之差的绝对值，实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对的两点之间的距离如|x3|的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数的点之间的距离试探索：（1）求|5（2）|=7（2）若|x3|=|x+1|，则x=1（3）同样道理|x+5|+|x2|表示数轴上有理数x所对点到5和2所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x2|=7，

26、这样的整数是5，4，3，2，1，0，1，2【解答】解：（1）|5（2）|=|5+2|=7，故答案为：7；（2）由题意得：x3+x+1=0，解得：x=1，故答案为：1；（3）|x+5|表示x与5两数在数轴上所对的两点之间的距离，|x2|表示x与2两数在数轴上所对的两点之间的距离，而5与2两数在数轴上所对的两点之间的距离为2（5）=7，|x+5|+|x2|=7，5x2x=5，4，3，2，1，0，1，2，故答案为：5，4，3，2，1，0，1，227有理数a、b、c在数轴上的位置如图：（1）判断正负，用“”或“”填空：bc0， a+b0，ca0（2）化简：|bc|+|a+b|ca|【解答】解：（1）由

27、图可知，a0，b0，c0且|b|a|c|，所以，bc0，a+b0，ca0；故答案为：，；（2）|bc|+|a+b|ca|=（cb）+（ab）（ca）=cbabc+a=2b28在数轴上表示a，0，1，b四个数的点如图所示，已知O为AB的中点求|a+b|+|a+1|的值【解答】解：O为AB的中点，则a+b=0，a=b （3分）有|a+b|=0，=1（4分）由数轴可知：a1（5分） 则|a+1|=a1（7分）原式=0+1a1=a（8分）29如图，数轴上的三点A，B，C分别表示有理数a，b，c，化简|ab|a+c|+|bc|【解答】解：由数轴得，c0，ab0，因而ab0，a+c0，bc0原式=ba+a

28、+c+cb=2c30a、b所表示的有理数如图所示，化简|a+b|ab|2（ba）【解答】解：从数轴可知：b0a，ab0，a+b0，|a+b|ab|2（ba）=aba+b2b+2a=2b31已知abc0，那么+的可能的值有3，1；abc0，a+b+c=0，则+=0【解答】解：a，b，c是非零有理数，（1）当a0，b0，c0时，+=1+1+1=3；（2）当a0，b0，c0时，+=111=3；（3）当a0，b0，c0时，+=1+11=1；同理，a0，b0，c0；a0，b0，c0时原式的值均为1（4）当a0，b0，c0时，+=11+1=1；同理，当a0，b0，c0；a0，b0，c0时原式的值均为1故+

29、的可能的值有3，1；由已知可得：a，b，c为两正一负或两负一正当a，b，c为两正一负时：+=1，=1，故+=0，当a，b，c为两负一正时：+=1，=1故+=0由知+=0故答案为：3，1；032已知有理数a，b，c满足abc0，且a，b，c同号，若x=+，求代数式x2+6x2的值【解答】解：abc0，且a，b，c同号，a0，b0，c0x=3原式=（3）2+6（3）2=9+（18）+（2）=2933分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简|a|时，可以这样分类：当a0时，|a|=a；当a=0时，|a|=0；当a0时，|a|=a用这种方法解决下列问题：（1）当a=5时，求的值（2）当a=2时，求的值（

30、3）若有理数a不等于零，求的值（4）若有理数a、b均不等于零，试求的值【解答】解：（1）当a=5时，=1；（2）当a=2时，=1；（3）若有理数a不等于零，当a0时，=1，当a0时，=1；（4）若有理数a、b均不等于零，当a，b是同正数，=2，当a，b是同负数，=2，当a，b是异号，=034已知a的相反数是5，|b|=4，求|a+b|ab|的值【解答】解：a的相反数是5，a=5|b|=4，b=4当a=5，b=4时，原式=|5+4|54|=19=8；当a=5，b=4时，原式=|54|5+4|=91=8所以代数式|a+b|ab|的值为8或835|x1|+|x2|+|x3|+|x2016|的最小值=

31、【解答】解：如图，根据绝对值几何意义，且零点个数为偶数，当1008x1009时，原式取得最小值，最小值为（1+2+3+1007）+（1+2+3+1008）=故答案为：36已知：+=1，求的值【解答】解：+=1，a、b、c中有2个负数，abc0，原式=137若ab0，求+的值【解答】解：当a0，b0时，+=1+1+1=3；当a0，b0时，+=11+1=138认真阅读下面的材料，完成有关问题材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如|53|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5+3|=|5（3）|，所以|5+3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；|5|=|50|，所以|5|

32、表示5在数轴上对应的点到原点的距离一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|ab|（1）点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、2、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为|x+2|+|x1|（用含绝对值的式子表示）（2）利用数轴探究：找出满足|x3|+|x+1|=6的x的所有值是2，4，设|x3|+|x+1|=p，当x的值取在不小于1且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小值，这个最小值是4；当x的值取在不小于0且不大于2的范围时，|x|+|x2|取得最小值，这个最小值是2（3）求|x3|+|x2|+|x+1|的最小值为4，此时x的值为2（4）求|x3|+|x2|+|x+1|+|x+2|的最小值，求此时x的取值范围【解答】解：（1）A到B的距离与A到C的距离之和可表示为|x+2|+|x1|；（2）满足|x3|+|x+1|=6的x的所有值是2、4，这个最小值是4；当x的值取在不小于0且不大于2的范围时，|x|+|x2|取得最小值，这个最小值是2；（3）由分析可知，当x=2时能同时满足要求，把x=2代入原式=1+0+3=4；（4）|x3|+|x2|+|x+1|+|x+2|=（|x3|+|x+2|）+（|x2|+|x+1|）要使|x3|+|x+2|的值最小，x的值取2到3之间（包括2、3）的任意一个数，要使|x2|