材料力学 第十三章能量方法.ppt

1、1,材料力学,第十三章 能量方法,2,13-1 杆件应变能的计算,一、拉压,在弹性范围内外力所作的功，全部转变为弹性体的应变能。即 W=V,3,二、扭转,13-1 杆件应变能的计算,4,三、弯曲,13-1 杆件应变能的计算,5,拉压,扭转,弯曲,对于外力比较复杂，沿杆件轴线方向的内力为变量，或横截面面积沿轴线是变化的，则先求出dx微段的应变能。再积分求出杆件的应变能。,13-1 杆件应变能的计算,6,杆件的应变能在数值上等于变形过程中外力所做的功。在线弹性范围内，外力由零开始缓慢增加到某一值，将外力做的功统一写成,式中 F广义力； 与广义力对应的位移，即为广义力作用 点且与广义力方向一致的位移

2、。称为广义位移。,13-1 杆件应变能的计算,7,在变形过程中，外载荷所做的功为,由该式得自由端的挠度,由该例题可以看出，只有当弹性体上仅作用一个广义力，且所求位移为相应的广义位移时，才可直接利用功能原理计算。,13-1 杆件应变能的计算,例题13-1,积分求出梁的应变能V,由于应变能V 等于外载荷所做的功W。即V =W,8,Q,T,M,A,A,P,N,B,j,例13-2 图示半圆形等截面曲杆位于水平面内，在A点受铅垂力P 的作用，求A点的垂直位移。,解：用能量法（外力功等于应变能）,求内力,A,P,R,9,外力功等于应变能,变形能：,10,弹性体上作用载荷时，它的作用点也因物体变形产生位移，

3、载荷在此位移上做功，其值等于弹性体的应变能。所以可用载荷做功来求应变能。,其中1，2 ， i ， n为F1，F2， Fi，Fn共同作用下引起的各载荷作用点的位移。这一结论称为克拉贝依隆原理。,由于位移1，2 ， i ， n与外力F1，F2， Fi，Fn之间是线性关系，则应变能是外力的二次齐次函数，所以应变能不能叠加。,一、克拉贝依隆原理:,13-2 应变能的普遍表达式,11,简单说明,C：先加F1，再加F2,D：先加F2 ，再加F1,常力F1在l2上作功,E：同时加F1、 F2,A：F1单独作用,B：F2单独作用,注意：,应变能不能叠加:,12,结论： 应变能不可叠加，即各个载荷分别作用时弹性

4、体的应变能之和不等于各个载荷共同作用时弹性体的应变能。,应变能的大小仅与载荷的最终值有关，而与加载的次序无关。,13,在组合变形时，杆件横截面上同时有几种内力分量作用，为计算杆件的应变能，可取dx微段来研究。,这些内力对所研究微段来说，都是外力。由于各组力做功相互独立，互不影响，该微段上的外力做功可写为,二、组合变形杆件应变能的普遍表达式:,14,积分求出整个杆件的应变能为,该功等于微段内的应变能。即,15,梁上作用两组力时，应变能与其作用次序无关，只与最终状态有关。,先加F1力，再加F2力。,先加F2力，再加F1力。,13-3 功的互等定理和位移互等定理,16,上式表明第一组力F1在第二组力

5、引起的位移12上所做的功，等于第二组力F2在第一组力引起的位移21上所做的功。这就是功的互等定理,在F1=F2的情况下，由功的互等定理可得,该式表明由载荷F作用于2点而引起的1点的位移12等于载荷F作用于1点而引起的2点的位移21。这就是位移互等定理,推导以上定理时，载荷F应理解为广义力，位移也应理解为广义位移。,17,装有尾顶针的工件可简化为静不定梁。试利用互等定理求支反力FBy。,解：解除尾顶针的工件可简化为悬臂梁。F、FBy作为第一组力。然后右端单独作用X=1的单位力，并作为第二组力。,例题13-3,在第二组力作用下,第一组力在第二组力引起的位移上所作的功为,第二组力在第一组力引起的位移

6、上所作的功为零（B为铰支）。由功的互等定理得：,18,设一抗弯刚度为EI的等直悬臂梁的自由端A受集中力P的 作用，求出悬臂梁内储存的变形能为,梁内的变形能在数值上等于外力功W，即,一、举例,13-4 卡氏定理,19,由此求出悬臂梁自由端的挠度为,若将梁的变形能U对A截面处的集中力P求偏导数则有,所以,即梁的变形能对集中力P的偏导数等于P力作用点沿P 力作用方向的位移。此即为卡氏定理。,20,1. 先给物体加P1、 P2、 Pn 个力，则：,2.先给物体加力 dPn ，则应变能,二、定理证明,再给物体加P1、 P2、Pn 个力，则：,给Pn 以增量 dPn ，则：应变能增量：,结构的应变能：,2

7、1,按此加力顺序结构的应变能,又,卡氏定理：弹性体内的变形能对任一载荷的偏导数等于该载荷作用点沿载荷作用方向的位移。,22,三、使用卡氏定理的注意事项：,U整体结构在外载作用下的线 弹性变形能, Pn 视为变量，结构反力和变形能 等都必须表示为 Pn的函数, n为 Pn 作用点沿 Pn 方向的变形。, 当无与 n对应的 Pn 时，先加一沿 n 方向的 Pn ，求偏导后， 再令其为零。,23,1、桁架 若整个桁架由m根杆组成，那么整个结构的变形能,四、卡氏定理的特殊形式,24,2、直梁 对于发生平面弯曲的直梁，变形能,25,3、组合变形杆件 对于承受拉伸（压缩）、弯曲和扭转联合作用的杆件，变形能

8、,26,例13-4 结构如图，用卡氏定理求A 面的挠度和转角。,变形,求内力,解：求挠度，建坐标系,将内力对PA求偏导,A,L,P,EI,27,求转角 A,求内力,没有与A相对应的力（广义力）,“负号”说明 A与所加广义力MA反向。,将内力对MA求偏导后，令M A=0,求变形（ 注意：M A=0）,L,x,O,A,P,M,A,28,解： AC段 ：,例13-5 A截面的转角和梁的中点C的挠度。,C,29,BC段 ：,30,A截面的转角:,31,C截面的挠度为:,32,例13-6 求刚架B的水平位移和C点的转角。,解: AB段：,(b),BC段：,33,B截面的水平位移为,34,应用卡氏定理，并

9、在积分前令等于0，求得C截面的转角为 和 为正值，说明其方向与附加力、附加力偶矩方向相同。,35,例13-7 求B点的竖直和水平位移。,解:任意横截面mm上的弯矩为,利用计算曲杆变形的卡氏定理表达式得:,36,2.求B点的水平位移，在点B附加水平力Pf,37,卡氏定理应用注意： （1）卡氏定理只适用于线弹性且变形很小的结构； （2） 用卡氏定理求结构某处的广义位移时，该处需 要有与所求位移相应的广义力；若该处没有相应的广义力，则需采用附加力法； （3）结果为正，表明所求位移方向与相应力方向一致；若结果为负，则方向相反。 （4）在采用附加力法计算结构的位移时，最好在求出内力对附加载荷的偏导数后，

10、即令相应的表达式中的附加载荷为零。,38,先加F0,再加F1、F2、Fn,（单位载荷法）,13-7 莫尔积分,39,令F0=1，即得计算位移的 莫尔积分,同时加F0、F1、F2、Fn,应变能仅与载荷的最终值有关，而与加载的次序无关。,40,积分为正，则单位力做功为正，即载荷引起的位移和单位力的方向一致；反之，积分为负，位移和单位力的方向相反。i为广义位移，相应的单位力为广义力。,莫尔积分的一般表达式可写成,41,解:（1）在C点施加单位力,（2）分别写出实际载荷和单位力作用下的弯矩方程,例题13-8,（3）积分运算,42,解： 写出AB及BC段的弯矩方程,AB段,BC段,使用莫尔积分，A点垂直

11、向下的位移为,A点位移方向与单位力相同即垂直向下,例题13-9,43,解： 写出AB及BC段的弯矩方程,x2,AB段,BC段,使用莫尔积分，B截面的转角为,计算结果为负，表示B截面转角与单位力偶的方向相反。即为顺时针方向。,变形后的刚架如图中虚线所示。,例题13-10,44,莫尔积分也可适用于桁架、刚架、曲杆等结构。对于桁架莫尔积分可改写成,45,例题13-11,图示桁架,求节点B的垂直位移。已知各杆的EA相同。,解： 1.在节点B施加垂直向下的单位力。,2.列表形式计算出 、 、,46,例题13-12,图示小曲率曲杆，在截面A，B处，受一对集中力F的作用，试计算两截面之间的相对错动和相对转角

12、。设抗弯刚度EI已知，轴力和剪力引起的变形忽略不计。,2.在A，B两点加一对单位力，其弯矩方程为,3.根据单位载荷法，A、B间相对错动为,4.在A，B两点加一对单位力偶，弯矩方程为,解：1.写出外载作用下的弯矩方程,5.求A，B两点的相对转角,47,使用莫尔定理的注意事项：, M0(x)与M(x)的坐标系必须一致，每段杆的坐标系可 自由建立。,莫尔积分必须遍及整个结构。, M0去掉主动力，在所求 广义位移 点，沿所求 广义位移 的方向加广义单位力 时，结构产生的内力。, M(x)：结构在原载荷下的内力。, 所加广义单位力与所求广义位移之积，必须为功的量纲。,48,莫尔定理与卡氏定理比较： 二者

13、都是用来求解线弹性杆件结构的变形或位移的，两者实质上是相同的。 就梁的弯曲变形来说： 用卡氏定理求解位移的表达式为 莫尔积分表达式为,当结构所求广义位移处有与之相应的广义力时，用卡氏定理进行求解比较方便； 当结构所求广义位移处没有与之相应的广义力时，采用莫尔定理则比较简单。,49,（莫尔积分图乘法）,应用莫尔积分时,经常计算下列积分,在等截面直杆的情形下,EI为常量.这样就只需计算积分,直杆在单位力或单位力偶作用下,其内力图必是直线或折线.,图形互乘法,弯矩图的面积 弯矩图的形心对应的 图的高度。,50,常用图形面积A和形心C：,（莫尔积分图乘法）,图形互乘法,51,（莫尔积分图乘法）,图形互乘法,解：先求A点的挠度,（1）在A点沿铅垂方向施加单位力,（2）作载荷作用下和单位力作用 下的弯矩图,（3）图形互乘,例题13-13,52,（莫尔积分图乘法）,图形互乘法,解：再求A截面的转角,（1）在A截面处施加单位力偶,（2）作载荷作用下和单位力偶作用 下的弯矩图,（3）图形互乘,例题13-13,53,（莫尔积分图乘法）,图形互乘法,解：,（1）在C截面处施加单位力,（2）作载荷作用下和单位力作用 下的弯矩图,（3）图形互乘,例题13-14,对否？,单位载荷内力图为折线时，互乘时按折点进行分段。,54,（莫尔积