概率论与数理统计1 4条件概率

1、1.4 条件概率例一批同型号产品由甲乙两厂生产,产品结构 合计 次 品 合格品 合计 乙厂 甲厂数量 厂别等级如下:从这批产品中任取一件, 取到次品的概率为若已知取出的产品是甲厂生产的,该产品为次品的概率为记A为“取出的产品,是甲厂生产的” B为“取出的产品为次品”数量 厂别等级 甲厂 乙厂 合计合格品 次 品合 计在 已经发生的条件下, 发生的概率, 记为一般情况下, 记A为“取出的产品,是甲厂生产的”B为“取出的产品为次品”数量 厂别等级 甲厂 乙厂 合计合格品 次 品合 计对于几何概型，在平面有界区域内，等可能地投入点,A对于频率:设在n次试验中,A发生了m次,AB发生了k次, 也是在A

2、发生的条件下B发生的次数.于是,在 A发生的条件下,B发生的频率为:当n时,频率就会接近于概率,故可得n次m次s次k次二、条件概率的定义定义1.3 给定概率空间是其上的两个,且则称为在A发生的条件下,B对域 中的任一B发生的条件概率.都对应条件概率成为上的函数,称为在 A发生的条件下的条件概率测度.条件概率满足概率公理化定义的三个条件。(2) 对任一(3B, 有两两不相容,则) 可列个(1)因此互斥当n个时，证1)证3) 时,例 全年级100名学生中, 有男生(以A表示)人,有女生人来自北京的(以 B表示)有 人 ;其中男生;12人,女生8人;免修英语的(以C表示) 解试写出人中有32名男生,

3、 8名女生;例 全年级100名学生中, 有男生(以A表示)人,有女生人来自北京的(以 B表示)有 人 ;其中男生;12人,女生8人;免修英语的(以C表示) 试写出解 人中有32名男生, 8名女生;例某牌号电视机的使用时间超过3万小时的概率为0.6使用时间超过5万小时的概率为 一台电视机已经使用了3万小时,求这台电视机使用时间超过5万小时的概率.解设“使用时间超过3万小时”“使用时间超过5万小时 ”要求例 在100个圆柱形零件中,有95件长度合格,有93件直径合格,有90件两个指标都合格,求概率.(1) 在长度合格的情况下,直径合格的概率. (2) 在直径合格的情况下,长度合格的解 设A表示 “

4、任取一件,长度合格”B表示 “任取一件,直径合格”“ 任 取 一 件 ,两 个 指 标 都 合 格 (1)在长度合格的情”况下,直径合格的概率:(2) 在直径合格的情况下,长度合格的概率:三、乘法公式,当 时 ,当 时如 果 , 则 有如 果 , 则 有乘法公式: 对于两个推广: 对于三个如果则有证一般地,对于k个 如果则有 例 签筒中放有4支签,其中只有一支“好”签4个, 人依次随机地取走一签,(不放回 ),求每个人抽示 “” 到“好”签的概率.解设 表第 个人抽到好签 例 签筒中放有4支签, 其中只有一支“好”签,4个人依次随机地取走一签,(不放回 ),求每个人抽到“好”签的概率.解 设

5、表 示 “第 个人抽到好签” 例 一个袋子中装有m+n个球, 其中m个黑球,n个白球,随意地每次抽一球,(不放回)求第 次才取到 次才取到黑球第黑球的概率. 解 设 表示 “第 次取到黑球” 黑白BA四、 全概率公式例若 则例 甲乙两台机床加工同样的零件,甲机床的废品率为乙机床的废品率为加工的零件放在一起,已知甲机床加工的零件数比乙机床多一倍,求: 任取一个零件是合格品( 记为B )的概率.解 设A表示.”则 表 示“取出的零件是甲机床加工的BA.“”取出的零件是乙机床加工的若三个 有构成一完备组,B则对任一B, 例 为解一支股票未来一定时期内价格的变化,常分析影响股票价格的基本因素,如利率.

6、假定利率下调的概率为利率不变的概率为利率上调的概率为据经验估计,在利率下调的情况下,该股票价格上涨的概率为下,价格上涨的概率为在利率不变的情况在利率上调的情况下,价格上涨的概率为0.求该股票价格上涨( B )的概率.则构成一完备组B解 设分别表示利率下调、不变、上调.定理1.1( 全概率公式 )如果一完备组,而且一个B ,有 构成则对任何时证由于时B例 某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车4种交通工具,其概率分别为 乘坐这几种交通工具能如期到达的概率依次为求此人能如期到达的概率解 设汽车.分别表示乘飞机、火车、轮船、为完备组.B表示“如期到达 ”例 某人外出可以乘坐飞机 、火车 、轮船 汽车 4种交通工具,其概率分别为乘坐这几种交通工具能如期到达的概率 依次为此 人 能 如 期到达(记为B)的 概 率 . 即要求已知该旅行者误期到达, 求他是乘火车的概率.已知此人已误期,则误期是由乘火车引起的概率为定理1.2(贝叶斯公式) 设B完备组,且 一个B,若 则有构成一则对于任何证例 甲乙两台机床加工同样的零件,甲机床的废品率为乙机床的废品率为 加工出的零件放在一起,已知甲机床加工的零件数比乙机床多一倍,任取一个零件,发现是废品( 记为C )这件废品最可能是哪台车床加工的?解设A表示“取出的零件是甲机床加工的.”这件废品最可能是甲机床加工的.例 某 地甲种疾病的发病率为用一种检