高中数学第3章空间向量与立体几何3.2.1直线的方向向量与平面的法向量学案苏教版选修

1、3.2.1直线的方向向量与平面的法向量1理解直线的方向向量和平面的法向量(重点)2会用待定系数法求平面的法向量(难点)3平面法向量的设法(易错点)基础初探教材整理1直线的方向向量阅读教材P99上半部分，完成下列问题我们把直线l上的向量e(e0)以及与e共线的非零向量叫做直线l的方向向量已知直线l过A(3,2,1)，B(2,2,2)，且a(2,0，x)是直线l的一个方向向量，则x_.【解析】(1,0,1)，由题意知，a，则存在实数，使a，即(2,0，x)(1,0,1)，即2，x2.【答案】2教材整理2平面的法向量阅读教材P99中间部分，完成下列问题如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面，

2、那么称向量n垂直于平面，记作n.此时，我们把向量n叫做平面的法向量1平面内一条直线l的方向向量为a(2,3，1)，平面的法向量为n(1,1，m)，则m_.【解析】易知an0，即23m0，解得m1.【答案】12已知A(1,0,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，则平面ABC的法向量为_. 【导学号：】【解析】设平面ABC的法向量为n(x，y，z)，则令x1，则y1，z0，即n(1,1,0)，则平面ABC的一个法向量为(1,1,0) 【答案】(1,1,0)(答案不惟一)质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：小组合作型直线的方

3、向向量及其应用(1)已知直线l1的一个方向向量为(7,3,4)，直线l2的一个方向向量为(x，y,8)，且l1l2，则x_，y_.(2)在空间直角坐标系中，已知点A(2,0,1)，B(2,6,3)，P是直线AB上一点，且满足APPB32，则直线AB的一个方向向量为_，点P的坐标为_【精彩点拨】(1)利用两直线的方向向量共线求解；(2)即是直线AB的一个方向向量，利用求点P的坐标【解析】(1)由l1l2可知，向量(7,3,4)和(x，y,8)共线，所以，解得x14，y6.(2)(0,6,2)是直线AB的一个方向向量由APPB32，得.设P(x，y，z)，则(x2，y，z1)(0,6,2)，即x2

4、0，y，z12，解得x2，y，z，所以直线AB的一个方向向量是(0,6,2)，点P的坐标为.【答案】(1)146(2)(0,6,2)1应注意直线AB的方向向量有无数个，哪个易求求哪个2利用直线上的一个已知点和直线的方向向量可以确定直线的位置，进而利用向量的运算确定直线上任一点的位置求平面的法向量如图321，ABCD是直角梯形，ABC90，SA平面ABCD，SAABBC1，AD，求平面SBA与平面SCD的法向量图321【精彩点拨】因为与平面垂直的向量为平面的法向量，所以先观察图中有无垂直于平面的直线，若有，利用直接法求出；若没有，设出法向量n，再利用待定系数法求解【自主解答】AD，AB，AS是三

5、条两两垂直的线段，以A为原点，以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，D，C(1,1,0)，S(0,0,1)，是平面SBA的法向量，设平面SCD的法向量n(1，u)，有n，n，则n(1，u)0，.n(1，u)u0，u，n.1利用待定系数法求平面法向量的步骤2求平面法向量的三个注意点(1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量(2)取特值：在求n的坐标时，可令x，y，z中一个取特殊值，得另两个值，就是平面的一个法向量(3)注意0：提前假定法向量n(x，y，z)的某个坐标为某特定值时，一定要注意这个坐标不为0.再练一题1已知正方体ABCD

6、A1B1C1D1中，M，N分别为BB1，C1D1的中点，建立适当的坐标系，求平面AMN的一个法向量【解】以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系(如图所示)设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则A(1,0,0)，M，N.，.设平面AMN的一个法向量为n(x，y，z)，令y2，x3，z4，n(3,2，4).证明平面的法向量在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点图322求证：是平面ADE的法向量【精彩点拨】要证明是平面ADE的法向量，只需证明D1F平面ADE即可【自主解答】如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空

7、间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，D1(0,0,1)，A(1,0,0)，E，F，所以(1,0,0)，所以(1,0,0)0，0，所以，又ADAEA，所以平面ADE，从而是平面ADE的法向量用向量法证明线面垂直的实质仍然是用向量的数量积证明线线垂直，因此，其思想方法与证明线线垂直相同，区别在于必须证明两个线线垂直.再练一题2如图323所示，已知PA矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点图323(1)指出直线MN的一个以A为起点的方向向量；(2)若PDA45，求证：为平面PCD的一个法向量【解】(1)取PD的中点E，连结NE，AE，因为N是PC的中点，所以NEDC，

8、NEDC.又DCAB，DCAB，AMAB，所以AMCD，AMCD.所以NEAM，NEAM.所以四边形AMNE是平行四边形，所以MNAE.所以为直线MN的一个以A为起点的方向向量(2)证明：在RtPAD中，PDA45，所以APAD，所以AEPD，又因为MNAE，所以MNPD.因为PA平面ABCD，所以PACD，又因为CDAD，PAADA，所以CD平面PAD，因为AE平面PAD，所以CDAE.又因为MNAE，所以CDMN，又因为CDPDD，所以MN平面PCD.所以为平面PCD的一个法向量探究共研型方向向量与法向量的特征探究1如何正确地判断直线的方向向量？【提示】(1)在空间中，一个向量成为直线的方

9、向向量，必须具备以下两个方面的限制：不能为零向量；与该直线平行或重合(2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线的方向向量，且直线l的方向向量有无数个(3)给定空间中任意一点A和非零向量a，就可以确定惟一一条过点A且平行于向量a的直线(4)表示同一条直线的方向向量，由于它们的模不一定相等，因此，它们不一定相等；虽然这些方向向量都与直线平行，但它们的方向不一定相同，还可能相反探究2过空间任意一定点P，能否作出平面的法向量？能作几条？【提示】由于过空间任意一点P，有且仅有一条直线PO垂直于平面，因此，过空间任意一点都能作出平面的法向量由于直线PO的方向向量有无数个，因此，过点P的平面的法向量也有无数

10、个探究3求平面法向量的坐标时，为什么只构建两个方程求解？【提示】根据线面垂直的判定定理可知，只要直线垂直于该平面内的任意两条相交直线，它就垂直于该平面，也就垂直于该平面内的任意直线，因此，求法向量的坐标只要满足两个方程就可以了探究4依据待定系数法求出的平面法向量惟一吗？【提示】不惟一利用待定系数法求平面法向量时，由于方程组有无数组解，因此法向量有无数个求解时，利用赋值法，只要给x，y，z中的一个赋特殊值(常赋值1,0,1)即可确定一个法向量，赋值不同，所得法向量不同，但(0,0,0)不能作为法向量探究5利用直线的方向向量和平面的法向量能够解决哪些位置关系？【提示】(1)两直线的方向向量共线(垂

11、直)时，两直线平行(垂直)(2)直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行(3)两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)根据下列条件，分别判定相应直线与平面、平面与平面的位置关系(1)平面，的法向量分别是u(1,1，2)，；(2)直线l的方向向量a(6,8,4)，平面的法向量u.【精彩点拨】利用方向向量与法向量的平行或垂直来判断线、面位置关系【自主解答】(1)u(1,1，2)，u(1,1，2)3210，u，故.(2)u(2,2，1)，a(6,8,4)，ua(2,2，1)(6,8,4)121640，ua，故l或l.再练

12、一题3根据下列条件，判断相应的线、面位置关系(1)直线l1，l2的方向向量分别是a(1，3，1)，b(8,2,2)；(2)平面，的法向量分别是u(1,3,0)，(3，9，0)【解】(1)a(1，3，1)，b(8,2,2)，ab8620，ab，即l1l2.(2)u(1,3,0)，(3，9,0)，3u，u，即.构建体系1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)若向量是直线l的一个方向向量，则向量也是l的一个方向向量()(2)若向量a是直线l的一个方向向量，则向量ka也是直线l的一个方向向量()(3)若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反()(4)一个平面的法向量有无数多个，它们是共线向量(

13、)(5)一个平面的法向量就是这个平面的垂线的方向向量()【答案】(1)(2)(3)(4)(5)2若点A(0,1,2)，B(1,0,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量为_. 【导学号：】【解析】(1，1,0)，即为l的一个方向向量【答案】(1，1,0)3若向量a(x,2,1)，b(1，y,3)都是直线l的方向向量，则xy_.【解析】据题意可知，ab，故存在实数，使ab，即(x,2,1)(1，y,3)，即x，2y,13，解得，y6，x，xy6.【答案】4若直线l，且l的方向向量为(m,2,4)，平面的法向量为，则m为_【解析】(m,2,4)，m1.【答案】15如图324，直三棱柱ABCA1B1

14、C1中，ABC90，ABBCBB11，求平面ABC1的一个法向量图324【解】法一：设平面ABC1的一个法向量为n(x，y,1)B(0,0,0)，A(0,1,0)，C1(1,0,1)，(0,1,0)，(1,0,1)，则解得x1，y0，n(1,0,1)法二：设平面ABC1的一个法向量为n(x，y，z)B(0,0,0)，A(0,1,0)，C1(1,0,1)，(0,1,0)，(1,0,1)，则令z1，则x1，y0，n(1,0,1)我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、填空题1已知a(1,4,3)，b(3，x，y)分别是直线l1，l2的

15、方向向量，若l1l2，则x_，y_.【解析】由l1l2，得，解得x12，y9.【答案】1292设直线l1的方向向量为a(2，1,2)，直线l2的方向向量为b(1,1，m)，若l1l2，则m_.【解析】l1l2，212m0，m.【答案】3若平面，的法向量分别为(1,2,4)，(x，1，2)，并且，则x的值为_【解析】因为，那么它们的法向量也互相垂直，则有x280，所以x10.【答案】104设A是空间任意一点，n为空间任一非零向量，则适合条件n0的点M的轨迹是_【解析】n0称为一个平面的向量表示式，这里考查的是基本概念【答案】过点A且与向量n垂直的平面5已知直线l1的方向向量为a(2,4，x)，直

16、线l2的方向向量为b(2，y,2)，若|a|6，且ab，则xy的值是_【解析】因为|a|6，所以416x236，即x4，当x4时，a(2,4,4)，由ab0，得44y80，解得y3，此时xy431；当x4时，a(2,4，4)，由ab0，得44y80，解得y1，此时xy413.综上，得xy3或xy1.【答案】3或16已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的单位法向量坐标为_. 【导学号：】【解析】设单位法向量n0(x，y，z)，(1,1,0)，(1,0,1)由n00，且n00得解得或【答案】或7已知平面经过三点A(1,2,3)，B(2,0，1)，C(3，2,0)，

17、则平面的一个法向量是_【解析】A(1,2,3)，B(2,0，1)，C(3，2,0)，(1，2，4)，(2，4，3)设平面的法向量为n(x，y，z)，依题意，应有n0，n0，即解得令y1，则x2.平面的一个法向量为n(2,1,0)【答案】(2,1,0)8已知点A，B，C的坐标分别是(0,1,0)，(1,0,1)，(2,1,1)，点P的坐标为(x,0，z)，若，则点P的坐标为_【解析】A(0,1,0)，B(1,0,1)，C(2,1,1)，P(x,0，z)，(1，1,1)，(2,0,1)，(x,1，z)，(x,1，z)(1，1,1)0，(x,1，z)(2,0,1)0，点P的坐标为.【答案】二、解答题

18、9在正方体ABCDA1B1C1D1中，证明：是平面A1BC1的法向量【证明】建立空间直角坐标系，如图，不妨设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，B1(1,1,1)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，于是(1,1,1)，(0，1,1)，(1,0,1)，由于110，110.，BA1BC1B，DB1平面A1BC1，即是平面A1BC1的法向量10已知ABCDA1B1C1D1是长方体，建立空间直角坐标系如图325.AB3，BC4，AA1 2，图325(1)求平面B1CD1的一个法向量；(2)设M(x，y，z)是平面B1CD1内的任意一点，求x，y，z满足的关系式【解】(1)在题图所示的空间直角坐标系Axyz中各点坐标为B1(3,0,2)，C(3,4,0)，D1(0,4,2)，由此得(0,4，2)，(3,0,2)，设平面B1CD1的一个法向量为a(x，y，z)，则a，a，从而a0，a0，所以0x4y2z0，3x0y2z0，解方程组得不妨取z6，则y3，x4.所以a(4,3,6)就是平面B1CD1的一个法向量(2)由题意可得，(x3，y，z2)，因为a(4,3,6)是平面B1CD1的一个法向量，所以a，从而a0，即4(x3)3y6(z2)0,4x3y6z24，所以满足题意的关系式是4x3y6z24.能力提升1若不重合的两个平面的法向量分别是a