高中数学数学归纳法课件.ppt

1、课题引入,不完全归纳法,费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学家，他曾认为，当nN时， 一定都是质数，这是他观察当n0，1，2，3，4时的值都是质数，提出猜想得到的半个世纪后，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler）发现 4 294 967 2976700417641，从而否定了费马的推测没想到当n5这一结论便不成立,举例说明： 一个数列的通项公式是： an= (n25n+5)2 请算出a1= ，a2= ，a3= ，a4= 猜测an?,由于a525 1，所以猜测是不正确的,所以由不完全归纳法得到的结论不一定可靠,1,1,1,1,猜测是否正确呢？,2.3 数学归纳法,问题情境三,多 米

2、诺 骨 牌 课 件 演 示,思考：这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？,多米诺骨牌（domino）是一种用木制、骨制或塑料制成的长方形骨牌。玩时将骨牌按一定间距排列成行，轻轻碰倒第一枚骨牌，其余的骨牌就会产生连锁反应，依次倒下。,只要满足以下两个条件，所有多米诺骨牌就能全部倒下：,（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。 （依据）,条件（2）事实上给出了一个递推关系：当第k块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。,（1）第一块骨牌倒下；（基础）,定义：证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：,当n取第一个值n0 (n0 N*)时命题成立 (归纳奠基） ；,2.

3、假设当n=k(kN*，kn0)时命题成立， 证明当n=k+1时命题也成立(归纳递推）。 这种证明方法就叫做_。,数学归纳法,数学归纳法,证明一个与正整数n有关的数学命题 关键步骤如下：,这种证明方法叫做数学归纳法,(1)证明当n取第一个值n0 时命题成立,完成这两个步骤后, 就可以断定： 命题对从 开始的所有正整数n都成立,(2)假设当 时,命题成立 证明当 时,命题也成立,（基础）,（依据）,验证n=n0时命题成立,若n=k(kn0)时命题成立, 证明n=k+1时命题也成立.,归纳奠基,归纳递推,命题对从n0开始所有的正整数n都成立,根据(1)(2)可知对任意正整数n猜想都成立.,证明：,思

4、考：你认为证明数列的通项公式 这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？,多米诺骨牌游戏的原理,这个猜想的证明方法,（1）第一块骨牌倒下。,（2）若第k块倒下时，则相邻的第k+1块也倒下。,根据（1）和 （2）， 可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下。,（1）当n=1时猜想成立。,（2）若当n=k时猜想成立， 即 ，则当n=k+1时猜想 也成立，即 。,根据（1）和（2），可知对任意的正整数n，猜想 都成立。,已知数列,证明 当n=1时，左边1 右边,等式显然成立。,例 证明：,数学运用,递推基础,递推依据,假设当n=k时等式成立，即,那么,当n=k+1时，有

5、,这就是说，当n=k+1时,等式也成立。,根据和，可知对任何nN*等式都成立。,例2、用数学归纳法证明： 1+3+5+(2n-1)n2,(2)假设nk时，等式成立，即,(1) n1时，左边=1，右边=1，等式成立；,1+3+5+(2k-1)k2,那么当nk+1时，,由、 可知对任何nN*时，等式都成立,需要证明的式子是?,1+3+5+(2k-1)+（2k+1） k2+（2k+1）（k+1）2,这就是说，当n=k+1时，等式也成立,用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：, 明确首取值n0并验证真假。（必不可少） “假设n=k时命题正确”并写出命题形式。 分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与

6、“n=k”时 命题形式的差别。弄清左端应增加的项。 明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的 方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等， 并 用上假设。,思考1：试问等式2+4+6+2nn2+n+1成立吗？某同学用数学归纳法给出了如下的证明，请问该同学得到的结论正确吗？,解:设nk时成立，即,这就是说，nk+1时也成立,2+4+6+2kk2+k+1,则当n=k+1时 2+4+6+2k+2(k+1) k2+k+1+2k+2(k+1)2+(k+1)+1,所以等式对任何nN*都成立,事实上，当n1时，左边2，右边3 左边右边，等式不成立,该同学在没有证明当n=1时，等式是否成立的前提下，就断言等式

7、对任何nN*都成立，为时尚早,2.3 数学归纳法,下面是某同学用数学归纳法证明命题 的过程.你认为他的证法正确吗?为什么? (1).当n=1时,左边= , 右边= (2).假设n=k时命题成立 即 那么n=k+1时, 左边 =右边, 即n=k+1时,命题也成立. 由(1)(2)知,对一切自然数,命题均正确.,思考2,证明：当n=1时，左边,右边,假设n=k时，等式成立，,那么n=k+1时,等式成立,这就是说，当n=k+1时，等式也成立,根据（1）和（2），可知等式对任何nN都成立,即,第二步的证明没有在假设条件下进行，因此不符合数学归纳法的证明要求,因此，用数学归纳法证明命题的两个步骤，缺一不可。第一步是递推的基础，第二步是递推的依据。缺了第一步递推失去基础；缺了第二步，递推失去依据，因此无法递推下去。,答：不一定,举例说明：用数学归纳法证明 n边形 的对角线的条数是,此时n取的第一值,2. 数学归纳法证明一个与正整数有关的数学命题的步骤是：,（1）证明当 取第一个值 （如 或2等）时命题成立,递推基础,在完成了这两步骤以后，就可以断定命题对于从n0 开始 的所有正整数n都成立,1. 数