力学竞赛试题及答案

1、力学竞赛试题及答案一、 四叶玫瑰线解：（1）对于四叶玫瑰曲线，在直角坐标系中可写成（图3-1） 将代入上式， 得 （1）利用三角函数的积化和差公式 可得 （2） 图3-1 图3-2（2）现设计一行星齿轮机构来画此曲线。如图3-2所示的行星齿轮机构，小齿轮在固定内齿轮内作纯滚动，其中内齿轮的半径为，小齿轮的半径为，画笔所在点离小齿轮圆心的距离为。随系杆的转动，其点的轨迹为 利用小齿轮的纯滚动条件，有，代入上式可得 作变换，令，上式可改写为 （3）对照式（2）和式（3）中的系数，有， ， 联解之，得 ， ， （4）做一个如图3-2所示的行星齿轮绘图机构，取式（4）中的参数，即可画出的四叶玫瑰曲线。

2、二 手指转笔在你思考问题时有用手指转笔的习惯吗？请你用下述刚体简化模型，进行分析计算：（1）本问题与力学中的什么内容有关系？（2）求出笔绕手指无滑动转一周中，手指作用于笔的正压力和摩擦力的大小；（3）给出笔与手指间的摩擦因数随AC长度x变化应满足的条件。手指转笔的刚体简化模型：如题4图所示，设手指为半径为的圆柱，笔为一回转半径为的细直杆（对质心C转动惯量为）。设手指保持不动，开始时笔在距质心C距离为的A处与手指相切，初角速度为，设，且杆始终在垂直于手指的同一平面内转动，忽略重力的影响。解：（1）关键词：平面运动学分析，刚体平面运动微分方程，机械能守恒。（2）设某瞬时杆与圆柱相切于点（圆柱上的点

3、），此时杆绕旋转的角速度为，质心C与A距离为x。杆对A的转动惯量为，依题意，A为杆此刻的速度瞬心，由机械能守恒可得 故 （1）设杆受压力和摩擦力，如图4-1（a）所示，分别为质心加速度的径向和切向分量，为杆转动的角加速度。 （a） （b） 图4-1和两点瞬时重合，相对于的加速度与相对于的加速度等值反向，而（纯滚动接触点的加速度），由指向。故有，由指向，且点的加速度无切向分量，而由基点法可知 （2）方向如图4-1b所示，其中 ，。代入式（2）后，投影得， （3）根据刚体平面运动微分方程，可列出 （4）联立求解式（3）和式（4），可得 （5） （6）（3）、分析摩擦因数应满足的条件：若使杆始终不与

4、圆柱脱离，则摩擦因数应满足 （7）因 ，对，有，（）。则故 三、 小虫在转盘上爬行一光滑水平面上的圆盘，中心O用无摩擦轴固定，圆盘对此转轴的转动惯量为。在圆盘上P点有一个质量为m的小虫，处于静止状态，如题5（a）图所示。小虫在转盘上爬行将引起转盘的转动。请你分析计算。（1）本问题与力学中的什么内容有关系？（2）在时刻小虫开始爬行，当我们在转盘中看到小虫的轨迹如题5图（b）所示时（假设小虫相对转盘逆时针运动），试求出转盘转过的角度。（3）若我们在转盘中看到小虫的轨迹如题3图（c）所示的圆弧时，试求出转盘转过的角度，并求出当小虫沿圆弧爬行一周时，转盘转过的角度。 （a） （b） （c） 题3图解：

5、(1) 关键词：点的合成运动，动量矩守恒。（2） 取小虫为动点，定参考系，动参考系固连在转盘上，与转盘一起转动。根据题中提供的条件，转盘和小虫的重力平行于转轴，系统对转轴O的动量矩守恒。设在时刻，为小虫相对于定参考系的速度（即绝对速度），为小虫相对于转盘参考系的速度，转盘的角速度为，r 为小虫相对于定参考系的位矢，为小虫相对于动参考系的位矢，牵连速度。如图3、图4所示。根据点的速度合成公式，有 （1）由于系统对转轴的动量矩守恒，有 （2）在此问题中，可以得到 进一步有 （3）设与的夹角为，则上式可以化为 （4）所以，转盘转过的角位移为 （5）将式中的用小虫在动参考系中爬行的路程表示，可得转盘转

6、过的角位移为 （6）若用极坐标描述（如图5），有 （7）则式（6）可表示为 （8）从以上可知，转盘转过的角位移由小虫在动参考系中的轨迹决定。（3） 当小虫爬行的轨迹为圆弧时，如图6所示，有 代入式（8），得 （9）当小虫沿圆弧爬行一周时，将代入上式，可得转盘转过的角度为 （10）四、四两拔千斤五、自动向上滚的论子（南京工程学院）（1） 本问题与力学中的什么内容有关系？ 关键词：重力作功。 （2） 试用力学原理简单解析一下轮子往上滚动的原因。轮子能往上滚动是因为重力作功。由于轨道与轮子的形状比较特殊，虽然在轨道上看，轮子是往上滚动，但是轮子的重心在轨道低处时要比轮子在轨道高处时高。重力作功，所以

7、轮子能往上滚动。（3） 求出直轨道和轮子的尺寸以及夹角的关系。设有效轨道的最低端为A，最高端为B，两端的水平距离为，如图（3），在A、B处轨道高度分别为、，而、分别为轮子在轨道A、B处与两侧轨道接触点之间的距离。只要轮子在A处的重心位置比在B处高，轮子就可以沿着这条轨道往上滚动。由图（1）、（2）、（3）的几何关系可得， 轮子在A处其重心到轨道底部距离为0 轮子在B处其重心到轨道底部距离为0 由图（3）可知 轮子将会向上滚动。六、难中的奖（南京工程学院）由图中几何关系得因冲击力的方向沿球与易拉罐的接触点与球心的连线方向，篮球只能冲击易拉罐前端的顶点才有可能击翻易拉罐。如果球心与接触点连线与水平

8、方向夹角为，则必须有，冲击力才能产生使易拉罐绕另一侧底边转动的力矩。若，则冲击力对另一侧底边的力矩的方向均与易拉罐重力相同，无论冲击力有多大都不能击翻易拉罐。为能击翻易拉罐，篮球的最低点距离地面最大为 在距离三米以外击中易拉罐这么小的范围非常困难。如果角度不对，力量再大也不能击翻易拉罐。所以很难中这个奖。（2） 假设掷出的篮球都能碰到易拉罐，中奖的几率有多大？ 粗略地计算，篮球能击翻易拉罐其最低点离地面最大为10.1cm，而篮球能碰到易拉罐其最低点离地面最大为36cm，假设只有正碰时才能击翻易拉罐，则每次机会都要击翻地面上的一个易拉罐。于是中奖的几率为 可见中奖的几率非常低。 （3） 为了中奖

9、应采取什么措施？ 只要击翻了地面上的三个易拉罐，垒在其上的另外三个也将翻倒。故每次机会都应瞄准地面上的易拉罐，投掷的角度不能太大，这样才能提高中奖的可能性。 八、四人追车平直轨道上有一节质量M=20m的车厢，速度为v0，车厢与铁轨间摩擦可以忽略。有4个人列队前行，前两个人质量同为m，第3个人质量为m3，第4个人质量为m4。当前两个人发现车厢后，以速度2v0追上车厢并且登上去坐下。第3个人发现较晚，但是也以2.2 v0的速度追上登上去坐下。第4个人发现最晚，但最后还是以1.15 v0速度追上去刚好登上了车厢。根据以上条件，回答下下列问题：（1） 本问题与力学中的什么内容有关系？（2） m3 ，m

10、4与m有没有关系？如果有关系，请找出它们与m的关系。（3） 如果其它条件不变，第4个人的质量m4增加，登上车厢后坐下，对车厢的速度影响有多大？答案：（1）动量守衡。（2）假设第3个人登上去坐下后，车厢的速度为u，根据动量守衡： 得 又 由上面两式得：m4与m没有关系。（3）假设第4个人登上去坐下后，车厢的速度仍然为，所以如果其他条件不变他的质量对速度没有变化。V0 M m m m3 m4 九、魔术表演利用一无底的薄壁圆桶（设半径R），再找两个乒乓球，如果满足2R2rR就可以进行魔术表演了：把两乒乓球如图所示放在圆桶内，那么有时候圆桶会翻倒，有时候不会翻倒。问： 1、 为什么要满足2R2rR2、

11、 假设圆桶重Q，球重P，圆桶不翻倒需要满足什么条件？ 3、 要使得圆桶有时候翻倒，有时候不翻倒，这里面有什么“机关”？解答：1、2R2r，保证球可以放入桶内。2rR，保证两球重心不在一水平线，从而产生翻倒力矩。2、整体受力如图，在临界翻倒的情况下，应有NA=0，对B取矩，有QR+P（2R-r）+Pr=NC(2R-r)取两球为研究对象，可得NC=2P联立求解，可得：P=QR/2（R-r）故要使得圆桶不翻倒，必须满足P R/2（R-r）,空心乒乓球的重量P1 R/2（R-r）。十、绊马索古代战争中，绊马索常用于拦截敌方的骑兵队伍。下图为一隐蔽在树林中的绳索，两端系于树根部。当敌方的骑兵向绊马索的中部冲杀过来时，坐骑可能会被绊倒