高中数学人教A浙江一轮参考课件53平面向量的数量积

1、5.3平面向量的数量积,-2-,-3-,知识梳理,双击自测,1.平面向量的数量积 (1)定义:已知两个非零向量a与b,它们的夹角为,则数量|a|b|cos 叫作a与b的数量积(或内积),记作ab,即ab=|a|b|cos ,规定零向量与任一向量的数量积为0,即0a=0. (2)几何意义:数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积. 2.平面向量数量积的运算律 (1)ab=ba(交换律). (2)ab=(ab)=a(b)(结合律). (3)(a+b)c=ac+bc(分配律).,-4-,知识梳理,双击自测,3.平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a=(x1,y1),

2、b=(x2,y2),为向量a,b的夹角. (1)数量积:ab=|a|b|cos =x1x2+y1y2.,(5)已知两非零向量a与b,abab=0 x1x2+y1y2=0; abab=|a|b|. (6)|ab|a|b|(当且仅当ab时等号成立)|x1x2+y1y2|,-5-,知识梳理,双击自测,1.向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)a= () A.-1B.0C.1D.2 2.(教材习题改编P108T1)已知|a|=3,|b|=4,且向量a与b的夹角为135,则ab=. 3.已知向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)c,则实数k等于(),C,解析

3、:因为2a+b=2(1,-1)+(-1,2)=(1,0), 所以(2a+b)a=(1,0)(1,-1)=1.故选C.,C,解析:因为a=(k,3),b=(1,4),所以2a-3b=2(k,3)-3(1,4)=(2k-3,-6).因为(2a-3b)c,所以(2a-3b)c=(2k-3,-6)(2,1)=2(2k-3)-6=0,解得k=3.故选C.,-6-,知识梳理,双击自测,4.(2016浙江柯桥二模文)已知平行四边形ABCD中,AC=3, BD=2,则 =. 5.已知a=(2,-1),b=(,3),若a与b的夹角为钝角,则的取值范围是 .,-7-,知识梳理,双击自测,自测点评 1.对于两个非零

4、向量a与b,由于当=0时,ab0,所以ab0是两个向量a,b夹角为锐角的必要而不充分条件;ab=0也不能推出a=0或b=0,因为ab=0时,有可能ab. 2.在实数运算中,若a,bR,则|ab|=|a|b|;若ab=ac(a0),则b=c.但对于向量a,b却有|ab|a|b|;若ab=ac(a0),则b=c不一定成立.原因是ab=|a|b|cos ,都是cos “惹的祸”. 3.向量数量积的运算不满足乘法结合律,即(ab)c不一定等于a(bc),这是由于(ab)c表示一个与c共线的向量,而a(bc)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线.,-8-,考点一,考点二,考点三,平面向量数量积的运

5、算(考点难度),B,9,-9-,考点一,考点二,考点三,方法总结向量数量积的两种运算方法 (1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解, 即ab=|a|b|cos; (2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解, 即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1x2+y1y2.,-10-,考点一,考点二,考点三,4,-11-,考点一,考点二,考点三,-12-,考点一,考点二,考点三,-13-,考点一,考点二,考点三,平面向量数量积的性质(考点难度) 考情分析平面向量数量积的性质是高考考查的重点和热点,运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题,解题时应灵活选择相应公式求解.,-14

6、-,考点一,考点二,考点三,-15-,考点一,考点二,考点三,对点训练(2015浙江高考)已知e1,e2是平面单位向量,且e1e2= .若平面向量b满足be1=be2=1,则|b|=.,-16-,考点一,考点二,考点三,类型二平面向量的夹角 例3(2016湖北优质高中联考)已知向量a=(3,1),b=(1,3),c=(k,-2),若(a-c)b,则向量a与向量c的夹角的余弦值是(),A,-17-,考点一,考点二,考点三,对点训练.(2016辽宁大连模拟)若两个非零向量a,b满足 |a+b|=|a-b|=2|a|,则向量a+b与a-b的夹角为(),D,-18-,考点一,考点二,考点三,类型三平面

7、向量的垂直问题 例4(2016全国高考甲卷)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)b,则m=() A.-8B.-6C.6D.8,D,解析:由题意可知,向量a+b=(4,m-2).由(a+b)b, 得43+(m-2)(-2)=0,解得m=8,故选D.,对点训练(2015江苏南京调研)已知向量a=(2,1),b=(0,-1).若(a+b)a,则实数=.,5,解析:因为(a+b)a,所以a2+ab=0,即5-=0,所以=5.,-19-,考点一,考点二,考点三,方法总结1.利用数量积求解长度问题的处理方法:,2.求两非零向量的夹角时要注意:数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角,数

8、量积等于0说明两向量的夹角为直角,数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角为钝角. 3.证明或利用两向量的垂直关系时要注意: 数量积的运算ab=0 x1x2+y1y2=0.ab是对非零向量而言的,若a=0,虽然有ab=0,但不能说ab.,-20-,考点一,考点二,考点三,平面向量数量积的应用(考点难度) 例5(2016浙江高考)已知向量a,b,|a|=1,|b|=2,若对任意单位向量e,均有|ae|+|be| ,则ab的最大值是.,-21-,考点一,考点二,考点三,方法总结平面向量的数量积作为中学数学知识的一个交汇点,成为联系多项内容的桥梁,特别是在函数、三角函数、不等式、平面解析几何问题上

9、的研究,更是体现了向量的工具价值.向量的坐标表示,使平面向量与直角坐标系中的点建立了一一对应的关系,构建了用“数”的运算处理“形”的问题的一种新模式.,-22-,考点一,考点二,考点三,B,-23-,思想方法函数思想与数形结合思想在数量积中的应用 求向量夹角与模的范围问题经常应用函数思想与数形结合思想.模的最值问题多采用将其表示为某一变量或某两个变量的函数,利用求函数值域的方法确定最值,体现了函数思想的运用,又多与二次函数与基本不等式相联系;求向量夹角的范围问题,根据条件,利用向量的线性运算的几何意义,依据图形通过数形结合确定夹角的范围.,-24-,答案:D,-25-,-26-,典例2若平面向量,满足|=1,|1,且以向量,为邻边的平行四边形的面积为 ,则与的夹角的取值范围是.,-27-,高分策略1.|ab|a|b|当且仅当ab时等号成立.这是因为|ab|=|a|b|cos |,而|cos |1. 2.两个非零向量a与b垂直的充要条件是ab=0,两个非零向量a与b平行的充要条件是ab=|a|b|. 3.两向量