线性二次型最优控制

1、Chapter7 线性二次型最优控制 稳定性是控制系统的一个重要指标，还要考虑诸如调节时间、超调、振荡等动态特性以及控制器所消耗的能量等因素。通过极点配置可使系统具有期望的稳定性和动态性能，然而并没有考虑控制的能量代价。用稳定性理论解决“参数优化问题”，通过选取一个适当的参数，可以在保证系统稳定的前提下，使二次型性能指标最小化，从而使系统的过渡过程具有较好的性能，有必要将这种方法推广到控制器设计。7.1 二次型最优控制在控制系统中，为了达到同一个控制目的，可以有多种方案（如多输入系统的极点配置状态反馈控制器是不唯一的），具有最小能量的控制方式更具实际意义。对于 （7-1）系统性能和控制能量的要

2、求可以由下列二次型性能指标来描述： （7-2）是对称正定（半正定）加权矩阵，是对称正定加权矩阵，他们反映了设计者对状态和控制中各分量重要性的关注程度。第一项反映控制性能，这一项越小，状态衰减到0的速度越快，振荡越小，控制性能越好；第二项反映对控制能量的限制。通常状态衰减速度越快，控制能量越大，这是一个矛盾，最优控制的目的就是寻找、，调和上述矛盾，问题归结为，对给定系统（7-1）和保证一定性能指标（7-2）的前提下，,设计一个控制器，使最小。 若系统的状态是可以直接测量的，且考虑的控制器是状态反馈控制器，则可以证明，使性能指标（7-2）最小化的最优控制器具有以下线性状态反馈形式： （7-3）将控

3、制器（7-3）代入系统方程（7-1）可得 （7-4）若系统是渐近稳定的，矩阵所有特征值均具有负实部，根据线性时不变系统的稳定性定理，（7-4）一定存在一个正定对称矩阵的二次型函数，利用系统的稳定性可得 对上式“下划线”部分“+”“-”进行配平方得到可得 （7-5）求解最优控制问题，就是选取一个适当的增益矩阵，是性能指标最小化。由（7-5）只有第三项依赖于矩阵，而且是非负的，只有当第三项等于零才能最小，当且仅当 （7-6）依赖于正定对称矩阵，特别是当可以找到一个，满足方程 （7-7）此时 （7-8）闭环系统方程为 （7-9）最优状态反馈控制器为 （7-10）可以证明，确实有 (利用了的对称性)

4、(利用了、的正定对称性)这就证明了最优状态反馈控制器（7-10）是稳定的。稳定化的最优控制状态反馈控制器的设计步骤小结： （1） 求解方程（7-7），结合利用矩阵正定 性、对称性要求，确定；（2） 将求得的正定对称矩阵代入（7-10）如果二次性能指标中是输出向量，即 相当于例7-1 （例7.1.2）对如图控制系统（虚线框部分方程，显然系统只是“临界”稳定的），设计一个最优状态反馈控制器，使系统性能指标最小（对称正定）。解： 写出方程上式有三个独立方程，再结合利用正定性要求，其解为 于是，系统的最优控制器为 此时，相应的闭环系统为 ，特征值为（系统是渐近稳定的）。7.2 应用Matlab求解二次

5、型最优控制在Matlab中，函数 （7-11）给出了相应二次型最用控制问题的解。函数输出变量中的是最优反馈增益矩阵，是方程（7-7）的对称正定解矩阵，是最优闭环系统的极点。例7-2（例7.2.2）对系统，设计一个最优状态反馈控制器，使系统性能指标最小（为3阶单位矩阵）。解：系统为能控标准型，存在状态反馈控制器，执行以下m-文件；可得因此，系统的最优状态反馈控制器为 检验最优闭环系统对初始状态的响应，执行以下m-文件；得到如图响应曲线例7-3（例7.2.3）系统，其中，设为参考输入，控制信号（如图所示）。为了获得快速响应，加权系数，性能指标为求条件下系统的最优状态反馈控制器，使系统性能指标最小，

6、并检验最优闭环系统在的输出相应。解：系统为能控标准型，存在状态反馈控制器，当，执行以下m-文件；可得最优闭环系统的状态方程为输出方程为 执行以下m-文件检验的输出响应；% 闭环系统状态空间模型参数；7.3 离散时间系统的线性二次型最优控制考虑离散自治系统 （7-12）系统的性能指标为 （7-13）类似于连续系统参数优化，根据稳定性理论，对给定的对称正定矩阵,由（7-12）的稳定性，可得离散时间方程 （7-14）存在一个正定对称解矩阵，因此 （7-15）是系统（7-12）的一个函数。它沿系统（7-12）任意轨迹的差分 利用（7-14）可得 （7-16）（7-16）两边并利用系统的渐近稳定性可得

7、（中间相抵消） （7-17）这表明，只要能从（7-14）求得正定对称矩阵，代入（7-17）就可以求得性能指标，而无须求无穷级数（7-13）。例7-4（例7.3.1）系统，确定参数，使最小。解：系统极点是，因为，系统的两个极点在单位圆内，系统是渐近稳定的，系统性能指标为由离散时间的方程解出对称正定的 可得 三个方程解三个未知数 对范围内的参数值，因此系统的性能指标为 对于，表明单调上升，于是在时达到最小值。以下进一步讨论离散系统的线性二次型最优控制问题。 （7-18）二次型性能指标为 （7-19）均为对称正定矩阵。希望设计一个线性状态反馈控制器使（7-19）最小。 （7-20）类似可以得到，若（7-18）能控，则线性二次型最优控制问题有解，且最优控制器为： （7-21）其中满足离散时间的方程： （7-22）例7-5（例7.3.2）系统，求最优状态反馈控制器，使性能指标最小。解：系统，且，方程为： 该方程的解为：，由于是