函数.04函数零点(B级).学生版

1、.函数的零点高考要求内容要求层次重、难点1.理解函数零点的概念函数的b2.掌握函数零点的性质零点3.函数的零点明确零点是一个 “值 ”，而非一个点的坐标4.会利用函数的零点探索二次方程根的分布问题二分法a了解二分法的原理知识框架函数零点定义函数零点的判定函数零点二分法二次函数根的分布重难点一、函数的零点.1. 零点的概念：对于函数y f(x)( xd )，把使 f(x) 0 成立的实数x 叫做函数y f(x)(x d)的零点2. 函数零点的意义：方程 f(x)=0 有实数根函数 y f(x)的图象与x 轴有交点函数 y f(x)有零点3. 零点存在性判定定理：如果函数y=f(x)在区间 a,b

2、 上的图象是连续不断的一条曲线,且 f(a) f(b) 0,则函数 y=f(x)在区间 (a,b)内有零点，即存在c (a,b),使得 f(c)=0, 这个 c 就是方程f(x)=0 的根4. 二次函数零点的判定（ 1）二次函数零点的判定二次函数 y ax2bx c 的零点个数，方程 ax2bx c0 的实根个数见下表判别式方程的根函数的零点0两个不相等的实根两个零点0两个相等的实根一个二重零点0无实根无零点（ 2）二次函数零点的性质 二次函数的图象是连续的，当它通过零点时(不是二次零点 )，函数值变号 相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号【说明】对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述

3、性质同样成立（ 3）二次函数的零点的应用 利用二次函数的零点研究函数的性质，作出函数的简图 根据函数的零点判断相邻两个零点间函数值的符号，观察函数的一些性质【定理 1】 k x1x2b 24ac 0af (k )0bk2a如图所示：yybx=-f(k)0a02a1 ox2koxx12k xbxxf(k)0x=-a02aa0x2x1 okx1 ok xx2xba0x=-f(k)0kx1 ox2x1 ox2xxkf(k)0a0推论 1x10 x2ac 0 推论 2 x11 x2a(a b c) 0 【定理4】有且仅有 k1x1 (或 x2 )k2f ( k1 ) f ( k2 )0如图所示：a 0

4、a 0f (k1 )0f (k1 )0【定理5】 k1 x1 k2 p1 x2 p2f (k2 )0 或f (k2 )0f ( p1 ) 0f ( p1 ) 0f ( p2 ) 0f ( p2 ) 0.b 24ac 0b 24ac 0a 0a 0【定理6】 k1 x1 x2 k2f (k1 )0或 f (k1 )0f (k2 )0f (k 2 )0k1bk1bk2k22a2a如图所示：二、二分法（ 1）对于在区间a, b 上连续，且满足fa gfb0 的函数 yfx 通过不断把函数fx的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点从而得到零点近似值的方法，叫做二分法（ 2

5、）用二分法求函数零点的近似值第一步：确定区间a,b ，验证 f a gf b0 ，给定精确度第二步：求区间a,b的中点 x1 第三步：计算fx1fx10x11 若，则就是函数的零点；fa. fx10，则令 bx1 ；2 若fx1gf b0，则令 ax1 3 若第四步： 判断是否达到精确度，即若 ab，则得到零点的近似值a（或 b ），否则重复第二、 三、四步.例题精讲1. 函数零点的判定及求解1x 2【例 1】 （ 2010 宣武一模理4）设函数 f (x) x3，则其零点所在的区间为（）2a （ 0，1）b （1， 2）c（ 2，3）d（ 3，4）【例 2】 函数 lg x1 的零点所在的区

6、间是（）xa 0,1b 1,2c 2,3d 3,10【例 3】 已知函数 f ( x)x 1,x0,f f (x) 1的零点个数是（log 2 x ,x则函数 y）0,a 4b 3c 2d 1【例 4】 (2009 石景山一模 )已知函数 yf (x) 和 y g (x) 在 2,2 的图象如下所示：y2y2-21-21-1 o12 x-1 o12 x-1-1-2-2给出下列四个命题：方程 fg x 0有且仅有6 个根方程 gfx0 有且仅有3 个根方程 ff x0 有且仅有5 个根方程 ggx0 有且仅有4 个根其中正确的命题是（将所有正确的命题序号填在横线上） .【例 5】 设函数 f x

7、1x ln x （ x 0 ），则 yf x （）3a 在区间1， 1,e内均有零点,1eb在区间1， 1,e内军均无零点,1ec在区间1内有零点，在区间1,e内无零点,1ed在区间1内无零点，在区间1,e内有零点,1e【例 6】 （ 2009年山东文）若函数x1 有两个零点，则实数a 的取值范围f x a x a a 0且 a是2. 二次函数根的分布及零点问题【例 1】 已知关于x 的方程223(2 m 8) x m 16 0 的两个实根x1和 x2，满足21 ，求实数 m 的xxx2取值范围 _ 【例 2】 若关于 x 的方程 3x2的一个根在2,0 内，另一个跟在1,3 内，求 a 的范

8、围5x a 0.2 xx有两个不同的正实根，则实数a 的取值范围为 _【例 3】 若关于 x 的方程 22 a a 1 0【例 4】 已知 mr ，函数 fxm x21xa 恒有零点，求实数a 的取值范围3. 函数图象与方程x1【例 5】 （ 2010?上海）（上海卷理17）若 x0是方程1x3的解，则 x0 属于区间（）22b12121a ,12,c,d 0,33333【例 6】 设 x1 , x2 , x3 依次是方程log 1 x2x ， log 2 ( x2)x ， 2xx2 的实数根， 试比较 x1 , x2 , x32的大小.【例 1】试判断方程 | x29 |a2 实根的个数【例

9、 2】 （2011 湖南六校联考）设x1 ， x2 是方程 ln x 2 m （ m 为实常数）的两个根，则x1 x2 的值为（）a 4b 2c -4d 与 m 有关【例 3】 （ 2011浙江金华十校） 已知 f xx22xc ，f1 xf x ，fn xf fn 1 x （ n 2 ，nn ）若函数y fn xx 不存在零点，则c 的取值范围是（）a c1b c 3c c9d c 94444【例 4】(07 广东 ) 已知 a 是实数，函数 fx2ax22x3a ，如果函数yfx 在区间1,1 上有零点，求 a 的取值范围【例 5】 已知函数 fxx28 x ，g x6ln x m （1）

10、求 fx在区间t, t 1上的最大值 h t max （2）是否存在实数m 使得 y fx 的图像与 y gx 的图像有且只有三个不同的交点？若存在，求出 m 的范围；若不存在，说明理由.函数零点的综合应用【例 1】 （ 2010 年西城二模理14）已知函数 f ( x) exa ln x的定义域是 d ，关于函数 f (x) 给出下列命题： 对于任意 a0 ,，函数 f (x) 是 d 上的减函数； 对于任意 a, 0 ，函数 f ( x) 存在最小值； 存在 a 0 ,，使得对于任意的 x d ，都有 f (x)0 成立； 存在 a, 0 ，使得函数 f ( x) 有两个零点其中正确命题的

11、序号是_（写出所有正确命题的序号） 【例 2】 （ 2009 天津文 21）设函数 fx1x3x2m21 x x r ，其中 m 0 3（1） 当 m 1 时，求曲线 yfx 在点 1 ，f 1处的切线的斜率；（2）求函数fx的单调区间与极值；（ 3 ）已知函数fx有三个互不相同的零点0 ，x1 ，x2 ，且 x1x2 若对任意的xx1 ，x2 ，fxf 1 恒成立，求 m 的取值范围.【例 3】（ 2009?广东）已知二次函数yg x 的导函数的图象与直线y2 x 平行， 且 yg x 在 x1处取得极小值m1（ m0）设 fxg x x （1）若曲线 yfx 上的点 p 到点 q 0,2的

12、距离的最小值为2 ，求 m 的值；（2） kkr 如何取值时，函数yfxkx 存在零点，并求出零点422）已知函数f x x3h x f x g x的零点个数，并【例 】 （湖南理， g x xx 求函数说明理由；.【例 5】 设函数fxx32ax bx a ，g xx23x 2 ，其中 xr，a ，b 为常数， 已知曲线 y f x与 ygx在点2,0 处有相同的切线1 (i) 求 a ， b 的值，并写出切线 1的方程；(ii) 若方程fxg xmx 有三个互不相同的实根0 ， x1 ， x2 ，其中x1x2 ，且对任意的xx1, x2， fx()g ()xm( x1) 恒成立，求实数m

13、的取值范围.课堂总结1. 函数零点的判定判断函数yfx 在某区间上是否有零点，有几个零点，常用以下方法：解方程：方程根的个数即为零点的个数定理法：利用函数零点存在性定理直接判断图像法：转化为求两个函数图像的交点个数问题进行判断2. 函数与方程思想函数的思想，是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而是问题获得解决方程的思想，就是分析数学中的变量间的等量关系，从而建立方程或方程组或构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题是问题获得解决有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨、达到解决问题的目的课堂检测【习题 1】 已知二次方程(m2) x23mx10 的两个根分别属于1, 0 和 0 , 2 ,求 m 的取值范围x22 x 3,x0 ，的零点的个数为（【习题 2】 （ 2010 福建）函数f x）20ln x, xa 0b 1c 2d.3【习题 3】 已知关于 x 的二次方程 x22mx2m 10 (1) 若方程有两根，其中一根在区间1,0 内，另一根在区间1, 2 内，求 m 的范围.(2) 若方程两根均在区间0, 1 内，求 m 的范围2【习题 4】 （ 2010 广东深圳）已知函数f xx22exem 1 ，