考研数学公式大全(考研必备)

1、导数公式：基本积分表：( C )0( X a )aXa1(sinx )cosx(tanx )sec 2x(cotx )csc 2x(secx )sec xtan x(cscx )cscxcot x( a x )a xlna(loga x )1x lnakdxkxC1ln xCdxxa x dxa xC ( a 0, a 1)ln acosxdxsin xCtan xdxln cosxCcot xdxln sin xCsecxdxln secxtan xCcscxdxln cscxcot xCdxx 21 arctan x Ca 2aadx1xax 2a 2lnxC2aadx1axa 2x 2l

2、naC2axdxarcsinxa2x 2Ca.高等数学公式篇(cosx )sinx( e x)e x(lnx )1x(arcsinx )11x 2(arccosx )11x 2(arctanx )1x21( arccotx )11x 2x a dx1x a1C,(a1)a1ex dxexCsin xdxcosxC1dxarctanxC1 x 2dxxsec2 xdxtan xCcos2dxxcsc2 xdxcot xCsin 2secxtan xdxsecxCcscxcot xdxcscxCax dxaxCln ashxdxchxCchxdxshxCdxa 2ln(xx 2a2 ) Cx 2;

3、.a cos xbsin x dxAx B ln c cos xd sin xCc cos xd sin x其中， a cos xb sin xA (c cos xd sin x ) B(c cos x d sin x)AcBdaAd BcbA , B三角函数的有理式积分：2u1u2x2dusin x1 u 2 ， cos x1u2，u tan2， dx1 u 2一些初等函数：双曲正弦: shxexe x2双曲余弦: chxexe x2双曲正切: thxshxexechxexearshxln( xx2）1archxln( xx21)arthx1 ln 1x21xxx两个重要极限：lim sin

4、 x1x 0xlim (1 1 ) xe 2.718281828459045.x x三角函数公式：诱导公式：函数sincostancot角 A-sin cos -tan -cot90-cos sin cottan90+cos -sin -cot-tan180-sin -cos -tan-cot180+-sin -cos tancot270-cos -sin cottan270+-cos sin -cot-tan360-sin cos -tan-cot360+sin cos tancot;.和差角公式：和差化积公式：sin()sincoscossinsinsin2sincoscos()cosco

5、ssinsin22tan()tantansinsin2 cossin1 tan tan22coscos2coscoscotcot1cot()22cotcotcoscos2 sinsin22倍角公式：sin 22sincos4 sin 3cos22112sin22sin2sin 33sin2coscos4 cos3cot 2cot21cos33cos32 cottan33 tantantan 22 tan213 tan21tan半角公式：1coscos1cossin2222tan1cos1cossincot1cos1cossin1cossin1cos1cossin1 cos22正弦定理：abc2

6、R余弦定理： c2a2b22ab cosCsin Asin Bsin C反三角函数性质：arcsin xarccos xarctan xarccot x22高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz）公式：n(uv)( n)Cnk u( n k) v( k )k0u ( n )vnu( n 1) vn(n1) u ( n2) vn(n 1)(nk1) u (n k ) v( k )uv( n)2!k!;.中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理： f (b)f (a)f( )(b a)柯西中值定理： f (b)f (a)f ()F (b)F (a)F ()当 F( x) x时，柯西中值定理就是拉格朗日中

7、值定理。曲率：弧微分公式： ds1y 2 dx,其中 ytg平均曲率：Ks.: 从 M 点到 M 点，切线斜率的倾角变化量；M 点的曲率： Klimdy.sdsy 2 )3s 0(1直线： K0;1半径为 a的圆： K.a定积分的近似计算：bba矩形法： f ( x)yn 1 )( y0 y1anbba 1 ( y0梯形法： f ( x)yn )y1yn1 an2bba ( y0抛物线法： f ( x)yn )2( y2y4yn 2 )4( y1 y3a3n定积分应用相关公式：功： W Fs水压力： FpA引力： Fk m1m2,k为引力系数r 21b函数的平均值： yf (x)dxba ab

8、均方根：1f 2 (t )dtba a空间解析几何和向量代数：s： MM 弧长。yn 1 );.空间 2点的距离： dM 1M 2(x2 x1) 2( y2y1 )2( z2z1 )2向量在轴上的投影： Pr j u ABAB cos,是 AB与 u轴的夹角。Pr j u (a1a2 )Pr ja1 Pr ja2a b ab cosaxbxay byazbz ,是一个数量 ,两向量之间的夹角： cosaxbxay byazbzax 2ay 2az2bx2by 2bz 2ijkc a baxayaz , cab sin .例：线速度： vwr .bxbybzaxayaz向量的混合积： ab c(

9、ab )cbxbybzabc cos , 为锐角时，cxc ycz代表平行六面体的体积。平面的方程：1、点法式： A ( xx 0 )B( yy 0 )C(zz0 )0，其中 n A , B, C, M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 )2、一般方程： AxByCzD03、截距世方程： xyz1abc平面外任意一点到该平Ax 0By 0Cz0D面的距离： dA 2B 2C 2空间直线的方程： xx 0yy 0z z 0xx 0mtt,其中 s m, n, p; 参数方程： yy 0ntmnpzz 0pt二次曲面：1、椭球面： x 2y 2z 21a 2b 2c 2、抛物面： x 2y

10、2（同号）22qz,p, q2p3、双曲面：单叶双曲面： x 2y 2za2b 2c双叶双曲面： x 2y 2za 2b 2c22221（1马鞍面）;.多元函数微分法及应用全微分： dzz dxz dyduu dxu dyu dzxyxyz全微分的近似计算：z dzf x ( x, y)x f y (x, y)y多元复合函数的求导法 ：zf u(t ), v(t)dzzdtuzf u(x, y), v( x, y)zx当u，时，u( x, y)v v( x, y)duu dxu dydvxy隐函数的求导公式：隐函数F ( x, y)，dy0dx隐函数F ( x, y, z)， z0xuzvtv

11、tzuzvuxvxv dxv dyxyFx ，d 2 yFxFxdyFydx 2()()x Fyy FydxFzFyx，FzyFzF (x, y,u, v)0( F ,G)FFFuFvuv隐函数方程组：0JGGGuGvG(x, y,u, v)(u,v)uvu1( F ,G)v1(F , G)xJ( x, v)xJ(u, x)u1( F ,G)v1(F , G)yJ( y,v)yJ(u, y)微分法在几何上的应用：;.x(t ), z0 )处的切线方程： x x0y y0zz0空间曲线 y(t )在点 M (x0, y0z(t)(t 0 )(t0 )(t0 )在点 M 处的法平面方程：(t0 )

12、( x x0 )(t0 )( y y0 )(t 0 )( zz0 )0F ( x, y, z) 0FyFzFzFxFx若空间曲线方程为：,则切向量 T G y,G ( x, y, z) 0G z G zG x Gx曲面 F ( x, y, z) 0上一点 M ( x0 , y0 , z0 )，则：1、过此点的法向量： n Fx (x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )2、过此点的切平面方程： Fx ( x0 , y0 , z0 )( xx0 )Fy ( x0 , y0 , z0 )( yy0 )3、过此点的法线方程：x

13、x0y y0zz0Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 )Fz (x0 , y0 , z0 )Fy G yFz ( x0 , y0 , z0 )( zz0 )0方向导数与梯度：函数zf ( x, y)在一点沿任一方向的方向导数为： ffcosfsinp( x, y)llxy其中 为 轴到方向的转角。xl函数zf ( x, y)在一点的梯度：gradf ( x, y)ffp( x, y)ijxy它与方向导数的关系是 ：f，其中e cosisin j，为方向上的grad f (x, y) ell单位向量。f 是 gradf (x, y)在l上的投影。l多元函数

14、的极值及其求法：设 f x ( x0 , y0 )f y (x0 , y0 )0，令： f xx (x0 , y0 ) A, f xy (x0 , y0 ) B, f yy (x0 , y0 ) CACB2A 0,( x0 , y0 )为极大值0时，B 2A 0,( x0 , y0 )为极小值则： AC0时，无极 值ACB 20时 ,不确定重积分及其应用：;.f ( x, y)dxdyf (r cos,r sin)rdrdDD22曲面 z f ( x, y)的面积 A1zzdxdyDxyM xx ( x, y)dM yy ( x, y)d平面薄片的重心：D,yDxM( x, y) dM( x,

15、 y)dDD平面薄片的转动惯量：对于 x轴 I xy2( x, y)d,对于 y轴 I yx 2( x, y)dDD平面薄片（位于 xoy平面）对 z轴上质点 M (0,0, a), (a0)的引力： F Fx , Fy , Fz，其中：( x, y) xdFyf( x, y) yd3，Fzfa( x, y) xdFx f3，3D ( x2y2a 2 ) 2D ( x2y 2a2 ) 2D ( x2y 2a2 ) 2柱面坐标和球面坐标：xr cos柱面坐标： yr sin ,f ( x, y, z)dxdydzF (r , z) rdrddz,zz其中： F (r ,球面坐标：, z) f (

16、r cos , r sin , z)x r sin cosyr sinsin，dvrdr sinddrr 2 sindrddzr cos2r (, )f (x, y, z)dxdydzF ( r , )r 2 sindrddddF (r , )r 2 sindr0001xdv,y1z1z dv，其中 Mxdv重心： xy dv,MMM转动惯量： I x( y 2z2 )dv，I y( x2z2 )dv，I z( x2y2 ) dv曲线积分：第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：设 f (x, y)在 L上连续， L的参数方程为： x(t) ,(t), 则：y(t)f (x, y)dsf (t )

17、,(t )2 (t )2 (t)dt()特殊情况：xtLy(t );.第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：设L 的参数方程为 x(t)，则：y(t )P( x, y)dxQ( x, y)dy P(t ),(t )(t )Q(t ),(t)(t ) dtL两类曲线积分之间的关 系：PdxQdy(P cosQ cos，其中 和 分别为) dsLLL上积分起止点处切向量 的方向角。格林公式：QP格林公式：QPPdx Qdy(x)dxdyPdx Qdy()dxdyDyLDxyL当Py,Qx，即： QP时，得到D的面积：A1xdy ydxxy2dxdyD2 L平面上曲线积分与路径 无关的条件：、是一个单

18、连通区域；1 G2、 P( x, y)， Q( x, y)在 G内具有一阶连续偏导数 ，且Q P 。注意奇点，如 (0,0)，应xy减去对此奇点的积分， 注意方向相反！二元函数的全微分求积 ：在 Q P 时， Pdx Qdy才是二元函数 u(x, y)的全微分，其中：x y( x, y)u(x, y)P( x, y) dx，通常设x0。Q( x, y)dyy0 0( x0 , y0 )曲面积分：对面积的曲面积分：f ( x, y, z) dsf x, y, z(x, y) 1 zx2 ( x, y) zy2 (x, y) dxdyD xy对坐标的曲面积分：，其中：P(x, y, z)dydz

19、Q( x, y, z)dzdx R( x, y, z) dxdyR( x, y, z) dxdy，取曲面的上侧时取正 号；R x, y, z(x, y)dxdyD xyP( x, y, z) dydzP x( y, z), y, zdydz，取曲面的前侧时取正 号；D yzQ( x, y, z)dzdxQ x, y( z, x), zdzdx，取曲面的右侧时取正 号。D zx两类曲面积分之间的关 系： PdydzQdzdxRdxdy(P cosQ cosRcos )ds高斯公式：;.(PQR )dvPdydzQdzdxRdxdy(P cosQ cosR cos )dsxyz高斯公式的物理意义

20、通量与散度：散度：divPQR 即：单位体积内所产生的流体质量，若div0,则为消失.xyz,通量：A ndsAn ds(P cosQ cosR cos，)ds因此，高斯公式又可写成： div AdvAnds斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系：( RQ ) dydz (PR) dzdx ( QP ) dxdyPdxQdyRdzyzzxxydydzdzdxdxdycoscoscos上式左端又可写成：xyzxyzPQRPQR空间曲线积分与路径无 关的条件： RQ ， PR， QPyzzxxyijk旋度： rotAxyzPQR向量场 沿有向闭曲线的环流量：PdxQdyRdz A t dsA常数项级

21、数：等比数列：qq2n11 qn1q1q等差数列：23(n1)n1n2调和级数： 111 是发散的123n级数审敛法：;.、正项级数的审敛法 根植审敛法（柯西判 别法）：1时，级数收敛1设：limnun，则时，级数发散1n时，不确定1、比值审敛法：2时，级数收敛U n 1 ，则1设：lim时，级数发散U n1n时，不确定1、定义法：3sn u1u2un ; lim sn 存在，则收敛；否则发 散。n交错级数u1u2u3u4或的审敛法 莱布尼兹定理：(u1 u2 u3,un 0)如果交错级数满足un un1u1 ,其余项 rn的绝对值 rn un 1。lim un，那么级数收敛且其和 s0n绝对

22、收敛与条件收敛：(1)u1u2un，其中 un 为任意实数；(2) u1u2u3un如果 ( 2)收敛，则 (1)肯定收敛，且称为绝对 收敛级数；如果 ( 2)发散，而 (1)收敛，则称 (1)为条件收敛级数。调和级数：1 发散，而( 1)n 收敛；nn级数：1 收敛；n2p级数：1 时发散n pp1时收敛幂级数：;.x1时，收敛于11 x x 2x3x n1 xx1时，发散对于级数 (3) a0a1x a2 x 2an x n，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全xR时收敛数轴上都收敛，则必存在 R，使x R时发散 ，其中 R称为收敛半径。x R时不定10时， R求收敛半径的方法：设liman

23、 1，其中 an， an 1是 (3)的系数，则0时， Rnan时， R 0函数展开成幂级数：函数展开成泰勒级数：f (x)f ( x0 )( xx0 )f ( x0 ) ( xx0 )2f ( n) ( x0 ) ( x x0 )nf ( n1) ( ) ( x2!n!余项： Rnx0 )n 1 , f ( x)可以展开成泰勒级数的充要条件是： lim Rn 0(n1)!nx0 0时即为麦克劳林公式：f (x) f (0)f (0)xf (0) x2f (n ) (0) xn2!n!一些函数展开成幂级数：(1 x) m1mxm( m1) x2m(m1)(mn 1) xn( 1 x 1)2!n

24、!sin x xx3x5( 1)n 1x2 n 1(x)3!5!(2n 1)!欧拉公式：cosxeixeix2或e cosx i sin xeixesin x2ixix三角级数：f (t ) A0An sin( nta0( an cosnxbn sin nx)n )n 12n 1其中， a0aA0， anAn sinn， bnAn cos n， tx。正交性：sin nx,cosnx任意两个不同项的乘积在 , 1,sin x, cos x, sin 2x,cos2x上的积分 0。傅立叶级数：;.f (x)a0(an cosnx bn sin nx)，周期22n 1an1f (x) cosnxdx(n0,1,2)其中1bnf ( x)sinnxdx(n1,2,3)11211121（相加）1522232423286111211121（相减）2242622232422412正弦级数： an2f ( x) sin nxdxn1,2,3f ( x)bn sin nx是奇函数0，