汕头市2018年一模理科数学试题及答案

1、.绝密启用前试卷类型：A2018 年汕头市普通高考第一次模拟考试理科数学本试题卷共5 页， 23 题（含选考题） 。全卷满分150 分。考试用时120 分钟。注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4选考题的作答： 先把所选题目的题号在

2、答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。 答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。5 考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，满分60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合 Ax x 10 ，2，则 A I e B =Bx x5x 0RA 0 ,1B 1, 5C, 0D 5,1i2若实数 a 满足2 （ i 为虚数单位），则 aaiA 1B 1C 2 D 23甲、乙两人参加“社会主义核心价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为2 和 3，34且两人是否获得一等奖相

3、互独立，则两人中恰有一个人获得一等奖的概率是A 3B 2 C 5D 543712.4若 sin()1，则 cos( 22) 的值为633A 1B7 C 1D 739395上海浦东新区2008 年生产总值约3151 亿元人民币，如果从此浦东新区生产总值的年增长率为10.5%，求浦东新区最早哪一年的生产总值超过8000 亿元人民币？某同学为解答这个问题设计了一个程序框图，如图 1，但不慎将此框图的一个处理框中的内容污染而看不到了，则此框图中因被污染而看不到的内容的数学运算式应是A aab B aab C a( ab)nD aabn燃油效率（ km/L ）15甲车10乙车5丙车O4080速度（ km

4、/h）（图 1）（图 2）6汽车的 “燃油效率 ”是指汽车每消耗1 升汽油行驶的里程，如图2，描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况下列叙述中正确的是A消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶5 千米B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C甲车以80 千米 /小时的速度行驶1 小时，消耗10 升汽油D某城市机动车最高限速80 千米 /小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油ABCDAB2AD1uuur uuurMCDuuur uuur7平行四边形中，AB AD 1，点在边上，则MA MB的最大值为A2B31C. 0D 21.8函数 f ( x)sin(x )(0,) 在区

5、间 (,) 内是增函数，则242A ( )1 f ( x)的周期为f4B23C 的最大值为 4)0D f (49已知三棱锥DABC 的所有顶点都在球O 的球面上，ABBC2 ， AC2 2 ，若三棱锥D ABC 体积的最大值为 2，则球 O 的表面积为A 8B 9C 25D 12139x2y21 (a 0,b 0)的右焦点为 F (c,0)，右顶点为 A，过 F 作 AF 的垂线与双10已知双曲线b2a2曲线交于 B 、 C 两点，过 B 、 C 分别作 AC 、 AB 的垂线，两垂线交于点D ，若 D 到直线 BC 的距离小于 ac ，则双曲线的渐近线斜率的取值范围是A, 11,B1,00,

6、1C, 22,D2,00, 211如图 3，画出的是某四棱锥的三视图，网格纸上小正方形的边长为 1，则该几何体的体积为A15B 16C. 50 D 5333（图 3）12已知 f ( x) 、 g ( x) 都是定义域为R 的连续函数已知：g( x) 满足：当 x0 时， g (x)0 恒成立；xR 都有 g( x)g(x) f ( x) 满足：xR 都有 f ( x3)f ( x3) ；当 x 3,3时， f (x) x33x 若关于 x 的不等式 gf ( x)g(a2a2) 对 x 32 3, 32 3恒成立，则 a 的取值范围是22A RB 13 3 , 1 3 3 2424C 0,1

7、 D (,0 U 1,).第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第1321题为必考题，每个试题考生都必须作答。第2223题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本题共4 小题，每小题 5 分。13 (x a)(2 x1 ) 5 的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 _ x14已知椭圆 x2y21(a b 0) 的左右焦点是F1 、 F2 ，设 P 是椭圆上一点，uuuuruuurF1F2在 F1P 上的投a2b2uuure 为 _影的大小恰好为F1P ，且它们的夹角为，则椭圆的离心率6xy3015若平面区域2xy30 夹在两条平行直线之间，则当这两条平行直线间的距离最短时，它们的x2

8、 y30斜率是 _ 16在ABC中，12 C7ABCA且sin B，边上的中线长为，则的面积是_cosBC622三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（本小题满分12 分）已知数列 an的前 n 项和为 Sn ， a12 ，且 nN ， nSn 1 (n 1)Sn n( n 1) （1）求证：数列Sn为等差数列，并求数列an 的通项公式；n（2）设 bn3n 1(1)n an ，求数列bn 的前 n 项和 Tn .18（本小题满分12 分）如图4，多面体ABCDEF 中，面ABCD 为正方形，AB2 ， AE3 ， DE5 ，二面角EADC 的余弦值为5 ，且 EF / BD

9、 5（ 1）证明：平面 ABCD 平面 EDC ；（ 2）求平面 AEF 与平面 EDC 所成锐二面角的余弦值19（本小题满分 12 分）（图 4）某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量y g与尺寸 x（ mm）之间近似满足关系式 y c xb（ b、c 为大于0 的常数）按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间e , e 内97时为优等品现随机抽取6 件合格产品，测得数据如下：尺寸 x（mm）384858687888质量 y (g)16.818.820.722.42425.5质量与尺寸的比y0.3920.3570.3290.3080.2900.442x（1）现从抽取的

10、6 件合格产品中再任选3 件，记为取到优等品的件数，试求随机变量的分布列和期望；（2）根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如下表：6666ln xi ln yiln xiln yi2ln xii 1i 1i 1i175.324.618.3101.4（）根据所给统计量，求y 关于 x 的回归方程；（）已知优等品的收益z （单位：千元）与x , y 的关系为 z 2 y0.32x ，则当优等品的尺寸 x为何值时，收益z 的预报值最大？（精确到0.1 ）附：对于样本 (vi , ui ) (i1,2,L ,n) ，其回归直线 ub va 的斜率和截距的最小二乘估计公式分nn(vi v)(ui

11、u)vi uinvu别为： bi 1i 1， aubv ， e2.7182 .nn(vi v) 2vi22nvi 1i 1.20（本小题满分12 分）已知抛物线 C : x22 py ( p0) 的焦点为 F ，直线 l 交 C 于 A、B 两点（1）若直线 l 过焦点 F ，过点 B 作 x 轴的垂线，交直线OA 于点 M ，求证：点 M 的轨迹为 C 的准线；（2）若直线 l 的斜率为 1，是否存在抛物线C ，使得 kOA kOB2 且OAB 的面积为 16 ，若存在，求 C 的方程；若不存在，说明理由.21（本小题满分12 分）已知函数f ( x) = - 2x ln x + x2 -

12、2ax + a2 ，其中 a0 （1）设 g (x) 是 f (x) 的导函数，讨论g (x) 的单调性；（2）证明：存在a(0,1) ，使得 f ( x)0 恒成立，且f ( x)0 在区间 (1,) 内有唯一解请考生在第22 ， 23 题中任选一题作答作答时一定要用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑 (都没涂黑的视为选做第22 题 )。22（本小题满分10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程x2cos在平面直角坐标系中，曲线C1 的参数方程为（为参数）以坐标原点O 为极点，y22sinx 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程为4cos（1）求曲线 C1 的极坐标方

13、程；（2）射线0 与曲线 C1 ，C2 分别交于A ，B 两点（异于原点 O ），定点 M2,0，求 MAB3的面积 .23（本小题满分10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数f ( x)xa2 （ 1）若 a1 ，求不等式f ( x)2 x30 的解集；（ 2）关于 x 的不等式f ( x)x3 有解，求实数a 的取值范围.2018 年汕头市普通高考第一次模拟考试理科数学参考答案及评分标准第卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，满分60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号123456789101112答案ABDBBDACDBCD第卷本卷包括必考题和选考题

14、两部分。第1321题为必考题，每个试题考生都必须作答。第2223题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分。题号13141516答案403 1213或2说明： 15 题只答一个数不给分（即得0 分）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（本小题满分12 分）（ 1）法一：nN ， nSn 1(n 1)Snn2n Sn 1Sn1-2分n1n又 S1a1211Sn是首项为2，公差为1 的等差数列-3分 数列n Sn2(n1) n1，即： Snn2n-4分n.当 n2 时， anSnSn 12n，当 n 1 时， a1 2nN ， an2n-6分法二

15、 ： Q nS n 1( n1) Snn( n1)n(Sn 1Sn )Snn( n1) ，即na n 1Snn( n1)故( n1) an 2Sn 1(n1)(n2) - 得： (n1)an 2na n 1an 12( n1)化简得：an 2an 12-2分又由可知 a2 S12 ，即 a2 a1 2an是首项为2，公差为2 的等差数列，-3分ana1( n 1) 2 2n-4分Snn(22n )n(n1)，Snn1-5分2nQ SnSn1(n 1)( n1) 11nn1Sn是首项为2，公差为1 的等差数列 .-6分n（ 2）法一：解：由（）得：bn 3n 1(1)n2n设数列 3 n1 的前

16、 n 项和为 An ，则 An13n3n 1-7分132.记 c(1)n2n ，数列 cn 的前n项和为Bnn当 n2k( kN ) 时， c2 k 1c2 k2(2k1)4k2 ，则 B2k 2k当 n2k1(kN ) 时， B2k 1B2kc2 k2k4k2k Bnn1, n2k1N )n, n2k(k3n2n3 , n2k1 T2(k N )n3n2n1 , n2k2-11分-12分法二 ：由（ 1）知 bn 3n 1( 1)n 2n设An( 1) 2 ( 1)2 4 ( 1)3 6( 1) n 2n ，则An( 1)2 2 ( 1)3 4 ( 1)4 6( 1)n 1 2n-得2 An

17、(1)2(1)22(1)n 2( 1)n 1 2n -8分21 1(1)n (1)n2n1(1)(1)n (2 n1)1(1)n (2 n1)1An2-10分又 Bn3031323n11(13n )1 (3 n1) ， -11分132SBnAn1( 1)n (2n 1) 3n 1 ，-12分n2法三 ：由（ 1）知：由（ 1）知 bn 3n 1( 1)n 2nQ ( 1)n 2n1 ( 1)n (2 n 1) (2 n 1)-8分2.An(1) 2( 1)2 22( 1) 3 23L( 1)n 2n1 (1 3) (3 5) (5 7)( 1)n(2 n 1) (2n 1)21(1)n(2n1

18、) 1-10分2又 Bn3031323n 11(13n )1 (3 n1) ， -11分132SBnA1 (1)n (2n1)3n 1-12分nn218（本小 分12 分）（ 1） 明： AD 2 ， AE3， DE5 ，由勾股定理得：ADDE-1分又正方形 ABCD 中 ADDC ， 2 分且 DE IDCD ， DE 、 DC面 EDC AD 面 EDC-3分 AD面 ABCD ，平面 ABCD平面 EDC-4分（注：第（1）只有一种 明方法，必 前面两个 垂直ADDE 和 ADDC 都出 ，下面的3、4 分才能 分，只写一个，本 只 1 分。上面一个垂直各占 1 分。）（ 2）解：由（）

19、知EDC 是二面角 EADC 的平面角5 分作 OECD 于 O ， ODDE cos EDC1， OE2由平面ABCD平面 EDC ，平面 ABCD I 平面 EDCCD ， OE面 EDC 得：OE面 ABCD-6分（第 6分 在 OE=2 上，如果后面E 的坐 写 ，也可 1分）如 ，建立空 直角坐 系，则 A(2, 1,0) 、 B(2,1,0)、 D (0,1,0) 、 E(0,0,2)uuur(2,1,2) AEuuur(2, 2,0)EF 的一个方向向量 DB-7分r( x, y, z) ， 面 AEF 的一个法向量 n.ruuur2xy2z 0nAE则 ruuur， 8分n D

20、B2x2y0取 x2 ，得： n(2,2,3)-9分（注：其他法向量坐 可按比例正确 ，比如(1,1, 3) 之 ，也是正确的）ur2又面 EDC 一个法向量 ：(1,0,0)-10 分mrurrur2 17nm-11分 cos n, mrur17nm 面 AEF 与面 EDC 所成二面角 ，由 角得： cosr ur217分cos n,m-1217（注：最后需要根据条件作答案 “正 ”的 明，只算法向量答案，不做文字 明，扣1 分。）（第（ 2）问解法 2） EF / DB EFDB( 2,2,0)（0 ） 7 分r( x, y, z) ， 面 AEF 的一个法向量 nnAE2xy2z0则n

21、AF 2 x2 y0 8 分令 x2 ，得 n( 2,2,3) ， 9 分（后面步 相同）（第（ 2） 解法3）以 D 点建系的解法，求出来的法向量与以上建系的坐 一 。（第（ 2） 解法4：几何法）连结 BD，延 CB至 G，使得 GB=BC=2 ， 连结 GA 并延 交 CD的延 于 H， EH过 C 作 CKHE 的延 于点K， BK 5 分 B 为 CG中点， AB/CD A 为 GH 中点， HD=CD=4 BD/GHGH/EF，H、 A、 G、 E、 F 共面 6 分由（ ）知 BC面 CDEBCHK又CKHK HK面 GKC1 GKC 所求二面角的一个平面角 8 分 EHHO 2

22、EO213而 Rt HOE Rt HKC KCEOHC8 9 分 KGKC 2CG 24 17 10 分HE1313.KC2 17 GKC 11 分KG17 GKC 角面AEF 与面 EDCK所成二面角的 角余弦 2 17 12 分17H19（本小 分12 分）（ 1）解：由已知， 等品的 量与尺寸的比在区 e , e内，即 y0.302 , 0.38897xG 随机抽取的6 件合格 品中，有3 件 等品，3 件 非 等品-1分 从抽取的 6 件合格 品中再任 3 件， 取到 等品的件数0 ,1, 2 , 3-2分P(C30 C331，P(C31C3290)201)20C63C63P(C32C

23、319，P(C33C3012)203)20C63C63，(算 两个 1 分 )-3分的分布列 0123P199120202020-4分E()0192913-5 2）解： ycxb （ b , c0）两 取自然 数得ln yln c b ln x ，令 viln xi , uiln yi ，得 u b va ，且 aln c ， -6分（）根据所 量及最小二乘估 公式有，nvi uinvu75.324.618.360.271-bi17分n2nv101.4 24.6260.542vi2i 1aub v18.3124.661，得 a?ln c?1，故 c? e -8分2.1

24、所求 y 关于 x 的回归方程为ye x2-9分1?2 ，则z2e x0.32x（）由（）可知，ye x?1ex2ee , ex7 , 9 ，即 x49 , 81-10由优等品质量与尺寸的比y分xxx97令 tx7 , 9， z?(t )0.32t 22et0.32(te)2e20.320.32当 txe8.57 , 9时， z?取最大值-12分0.32z即优等品的尺寸（mm），收益的预报值最大 .x72.3?20（ 1）证明：依题意得，直线l 的斜率 k 存在，过焦点A、B，故设其方程为：ykxp，2设点 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) , O A，x22 py由kxp 得：

25、x22 pkxp20 ，则 1-2分y2直线 OA : yy1 xx1x ，直线 OB : xx2-3分x12 pyx1xx1p由2 p得：y2 p x22， -4分xx2又由直线 l 的斜率 k 存在，可得 x0 ，故点 a0的轨迹在 g(x)的准线 yp上 ( x0).-5分2证法二：依题意得，直线l 的斜率 k 存在，过焦点A、B，故设其方程为：ykxp，2设点 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) , O A，x22 py由kxp 得： x22 pkxp20 ，则 1-2分y2过点 B 作 x 轴的垂线，与 g(x)的准线的交点为M ( x2py1x ， -3分,)，而直线 OA : y2x1.将 xx2 代