人教A高中数学必修四课件121任意角的三角函数一3

1、1.2任意角的三角函数 1.2.1任意角的三角函数(一),【知识提炼】 1.任意角的三角函数的定义,y,y,x,x,2.正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域,R,R,3.三角函数值在各象限的符号,4.诱导公式一 即终边相同的角的同一三角函数的值_.,sin,cos,tan,相等,【即时小测】 1.判断. (1)相等的角正弦值相等，反之正弦值相等的两个角也相等.() (2)已知是三角形的内角，则必有sin0，cos0.() (3)对于任意角，sin，cos，tan都有意义.(),【解析】(1)错误.相等的角正弦值相等，但是正弦值相等的两个角未必相等. (2)错误.因为是三角形的内角，所以(0，

2、)，所以sin0，cos大于零、小于零或等于零都有可能. (3)错误.对于任意角，sin，cos都有意义，但是终边落在y轴上的角tan无意义. 答案：(1)(2)(3),2.若sin0，且tan0，则角是() A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 【解析】选D.由sin0知角的终边落在第三、四象限或y轴的非正半轴上，由tan0知角的终边落在第二、四象限，所以角是第四象限角.,3.计算：sin180+2cos270的值为_. 【解析】180的终边与单位圆的交点坐标为(-1，0)， 所以sin180=0， 270的终边与单位圆的交点坐标为(0，-1)， 所以cos 270

3、=0， 所以sin 180+ 2cos 270=0. 答案：0,4.sin =_，cos =_，tan =_. 【解析】角 的终边与单位圆的交点坐标为 所以 答案：,5.tan 390的值为_. 【解析】tan 390= tan(360+30)= tan 30= 答案：,【知识探究】 知识点1 任意角三角函数的定义 观察图形，回答下列问题： 问题1：任意角三角函数的自变量和函数值分别是什么？ 问题2：知道某角终边任意一点的坐标，是否可以计算该角的三角函数值？,【总结提升】 1.对任意角三角函数的三点说明 (1)在任意角的三角函数的定义中，是一个任意角，同时它也是一个实数(弧度数). (2)三角

4、函数也是函数，都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标(坐标的比值)为函数值的函数；三角函数值只与角的大小有关，即由角的终边位置决定.,(3)要明确sin是一个整体，不是sin与的乘积，它是“正弦函数”的一个记号，就如f(x)表示自变量为x的函数一样，离开自变量的“sin”“cos”“tan”等是没有意义的.,2.任意角三角函数的另一种定义 设角的终边上任一点P(x，y)，OP=r(r0)，如图所示 则,知识点2 三角函数值在各象限的符号 观察如图所示内容，回答下列问题： 问题1：判断三角函数值在各象限的符号的依据和关键分别是什么？ 问题2：三角函数值在各象限的符号有什么规律吗？,【总结提升】 对

5、正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号的两点说明 (1)由三角函数的定义知 (r0)，可知角的三角函数值的符号是由角终边上任一点P(x，y)的坐标确定的，则准确确定角的终边位置是判断该角的三角函数值符号的关键. (2)要熟记三角函数值在各象限的符号规律，三角函数值在各象限的符号规律可简记为：一全正，二正弦，三正切，四余弦.,知识点3 诱导公式一 观察如图所示内容，回答下列问题： 问题1：诱导公式一的作用是什么？ 问题2：诱导公式一的结构特征是什么？,【总结提升】 对诱导公式一的三点说明 (1)公式一的实质是终边相同的角的三角函数值相等. (2)公式一的结构特征： 左、右为同一三角函数； 公式左边

6、的角为+k2，右边的角为.注意公式一中的条件kZ不可遗漏. (3)公式一的作用：把求任意角的三角函数值转化为求02(或0360)角的三角函数值.,【题型探究】 类型一 任意角三角函数的定义及应用 【典例】已知角终边经过点P(x， )(x0)，且cos= x.求sin+ 的值.,【解题探究】本例中计算sin、cos、tan的依据是什么？ 提示：依据任意角三角函数的定义，即 若角的终边上任一点P(x，y)，OP=r (r0)，则,【解析】因为P(x， ) (x0)， 所以点P到原点的距离 又cos = ，所以cos = 因为x0，所以x= ，所以 当x= 时，P点坐标为( )， 由三角函数的定义，

7、有sin =- ， 所以 当x=- 时， 同样可求得,【延伸探究】 1.（变换条件）本题中点P的坐标改为(- ，x)，x0，且sin = x，结果又是什么？ 【解析】因为P(- ，x) (x0)， 所以点P到原点的距离 又sin = x，所以 因为x0，所以x= ，所以,当x= 时，P点坐标为( ）， 由三角函数的定义，有 所以 当x=- 时， 同样可求得,2.（变换条件、改变问法）若角 的终边经过点P1，且点P1到原点的距离与本题中P到原点的距离相等，试求点P1的坐标. 【解析】角 的终边与单位圆的交点坐标为( )，所以 由已知得|OP1|= 由三角函数的定义，知点P1的坐标为( )，即 (

8、-3， ）.,【方法技巧】由角终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤 (1)已知角的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种： 先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值 在的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r0)则 sin = ，cos = .已知的终边求的三角函数值时，用这几个公式更方便 (2)当角的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论,【补偿训练】(2015临沂高一检测)已知角的终边过点P(-3a，4a)(a0)，求2sin +cos 的值 【解析】 （1）若a0，则r=5a，角在第二象限 所以

9、2 sin +cos = （2）若a0，则r=-5a，角在第四象限， 所以2 sin +cos =,【延伸探究】 1.（变换条件）将本题中点P的坐标改为(12a，5a)(a0)，其他条件不变，结果又如何？ 【解析】 （1）若a0，则r=13a，角是第一象限角， 所以 所以,（2）若a0，则r=-13a，角是第三象限角， 所以 所以,2.（改变条件和问法）点P的坐标改为(-8m，-6 sin 30)，且 cos = ，求m的值. 【解析】因为点P的坐标为(-8m，-3)， 所以 所以cos = ，所以m0， 所以 ，解得m= ，又m0. 所以m= .,类型二 三角函数在各象限的符号问题 【典例】

10、1.已知角=2k- (kZ)，若角与角的终边相同，则y= 的值为（ ） A1 B-1 C3 D-3 2.（2015南通高一检测）已知sin tan 0，那么是第_象限角. 3.如果|sin x|=sin x，那么角x的取值集合是_,【解题探究】1.典例1中，角的终边在第几象限？该象限内正弦、余弦、正切函数值的符号分别是什么？ 提示：角的终边与 的终边相同，是第四象限角.第四象限内正弦、正切函数值为负，余弦函数值为正. 2.典例2中，sin tan 0包括哪些情况？正弦、正切函数值在各象限的符号有什么规律？ 提示：sin tan 0包括sin 0，tan 0和sin 0，tan 0两种情况.正弦

11、函数值在第一、二象限为正，在第三、四象限为负；正切函数值在第一、三象限为正，在第二、四象限为负.,3.典例3中，sin x的符号是什么？角x的终边所在区域是什么？ 提示：sin x0，角x的终边在第一、二象限或x轴上或y轴的非负半轴上. 【解析】1.选B.由=2k- (kZ)知，角的终边在第四象限，又角与角的终边相同，所以角的终边在第四象限，所以 sin 0，cos 0，tan 0，所以 =-1+1-1=-1.,2.因为sin tan 0， 所以sin 0，tan 0或sin 0，tan 0， 若sin 0，tan 0，所以在第二象限 若sin 0，tan 0，则在第三象限 答案：二或三,3.

12、因为|sin x|=sin x，所以sin x0， 所以角x的终边在第一、二象限或x轴上或y轴的非负半轴上. 所以2kx2k+，kZ，角x的取值集合是 x|2kx2k+，kZ. 答案：x|2kx2k+，kZ,【延伸探究】将典例1的条件去掉，求关于的函数 的值域. 【解析】显然角的终边不可能落在坐标轴上， 角的终边落在第一象限时， 角的终边落在第二象限时，,角的终边落在第三象限时， 角的终边落在第四象限时， 所以 的值域是-1，3.,【方法技巧】正弦、余弦函数值的正负规律,【变式训练】已知角的终边过点(3a-9，a+2)且cos0，sin0，则实数a的取值范围是_. 【解题指南】先确定角的终边的

13、位置，然后列出不等式组求a的取值范围.,【解析】因为cos0，sin0， 所以角的终边在第二象限或y轴非负半轴上， 因为终边过(3a-9，a+2)， 所以 所以-2a3. 答案：-2a3,【补偿训练】确定下列各式的符号. (1)sin2014.(2)cos .(3)sin4cos4. 【解题指南】先确定各角所在的象限，然后判断符号. 【解析】(1)2014=3605+214， 所以2014为第三象限的角， 所以sin20140.,(2) 为第四象限的角， 所以 (3)4 所以4 rad为第三象限的角. 所以cos 40.,类型三 诱导公式一的应用 【典例】1.(2015武汉高一检测)sin(-

14、660)=() 2.已知P(2，-3)是角终边上一点，则tan(2+)等于(),【解题探究】1.典例1中，在0360内与-660终边相同的角是什么？ 提示：因为-660=-720+60，所以60与-660终边相同. 2.典例2中，如何计算tan？tan(2+)与tan有什么关系？ 提示：依据任意角的正切函数的定义计算tan. tan(2+)=tan.,【解析】1.选B.sin（-660）=sin（-720+60） =sin 60= 2.选C.因为P(2，-3)是角终边上一点， 所以tan = 所以tan(2+)=tan =,【方法技巧】应用诱导公式一化简求值的步骤 （1）将已知角化为 k360

15、+（k为整数，0360）或2k+（k为整数，02）的形式. （2）将原三角函数值化为角的同名三角函数值. （3）借助特殊角的三角函数值或任意角三角函数的定义达到化简求值的目的.,【拓展延伸】公式一的意义 诱导公式一体现了三角函数值“周而复始”的变化规律，即角的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现.,【变式训练】sin 585的值为( ) 【解析】选A.sin 585=sin(360+225)=sin 225. 由于225是第三象限角，且终边与单位圆的交点为 所以sin 225=,【补偿训练】点A(x，y)是-300角终边与单位圆的交点，则 的值为（ ） 【解析】选A.x=cos(-300)=cos(-360+60) =cos 60= y=sin(-300)=sin(-360+60) =sin 60= 所以,易错案例 任意角三角函数定义的应用 【典例】（2015孝感高一检测）角的终边经过点P(x，4)，且cos = ，则sin =_.,【失误案例】,【错解分析】分析解题过程，你知道错在哪里吗？ 提示：错误的根本原因是忽视对点的坐标中的参数进行分类讨论.实际上本题中要分x=0和x0两种情况讨论.,【自我矫正】点P(x，4)到原点的距离