高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.1不等式1.1.6三个正数的算术几何平均不等式2课堂导学案新人教A版选修

1、1.1.6 三个正数的算术几何平均不等式（2）课堂导学三点剖析一、在求最值时,要注意“一正”“二定”“三相等”【例1】 一段长为l m的篱笆围成一个一边靠墙的菜园,问这个矩形长和宽各为多少时,菜园的面积最大,最大值是多少?错解：设矩形的宽为x m,长为(l-2x) m,则S=x(l-2x),当且仅当x=l-2x时等号成立,所以令x=l-2x,解之,得x=.S=.此时,l-2x=,当长和宽都为 m时矩形的面积最大,最大面积是 m2.正解一：设矩形的宽为x m,长为(l-2x) m,则S=x(l-2x)=)2=2,当且仅当2x=l-2x,即x=时“=”成立,当宽为 m,长为 m时面积最大,最大面积

2、为l2 m2.正解二：(设法同解法一)S=x(l-2x)=2x(l-2x),2x+l-2x=l,S=2x(l-2x)l2=l2,当且仅当2x=l-2x时等号成立,此时x=l.当宽为,长为时面积最大,最大面积为 m2.类题演练1(1)求函数y=cosx-的最值;(2)求函数f(x)=2x(x-1)(8-3x)的最大值,其中x(1,).(1)错解:设cosx-=t,则y=t+.ymin=.正确解法:设cosx-=t,显然t0,x-10,8-3x0.从而f(x)=33=,f(x)max=.正确解法:f(x)=8)383=8,当x=2时,f(x)max=8.变式提升1求y=(sin2x+)+(cos2

3、x+)的最小值.错解:sin2x0,且有sin2x+2,同理可得cos2x+2.y=(sin2x+)+(cos2x+)4.ymin=4.正确解法:y=(sin2x+)+(cos2x+)=1+,当x=(kZ)时有ymin=5.二、利用均值不等式求最值的典型技巧和方法【例2】 设a、b、x、yR+,a、b为常数,且=1,求x+y的最小值.错解：x+y=(x+y),(x+y)min=.错因分析:x+y中等号成立的条件是x=y,中等号成立的条件是,而=1,x=2a,y=2b.此时a不一定等于b,故上述解法有误.正解一:(消元法)=1,y=且xa.x+y=x+=x+=x+b+=x-a+a+b+a+b=(

4、+)2.正解二:(妙用“1”)x+y=(x+y)()=a+ba+b+=(+)2.正解三:(三角代换)令=cos2,=sin2,则x+y=asec2+bcsc2=a(1+tan2)+b(1+cot2)=a+b+atan2+bcot2a+b+=()2.上述三种解法均可得出当且仅当x=+a,y=+b时取等号,故(x+y)min=()2.温馨提示 本例中,在求最值时用到了多种技巧:把两个变量的表达式通过消元化为一元函数;利用“1”的代换;利用三角换元等.类题演练2已知m2+n2=a,x2+y2=b,求mx+ny的最大值.错解:mx,ny,mx+ny.mx+ny的最大值为.正解:mx=,ny=,mx+n

5、y当且仅当中“=”同时成立时,中“=”成立,即且时,mx+ny有最大值.变式提升2(经典回放)用总长为14.8 m的钢条制造一个长方体容器的框架,若所制容器底面一边比另一边长0.5 m,那么高为多少时,容器容积最大?解析:设长方体底面一边长为x,另一边长为x+0.5,高为y,则4x+4(x+0.5)+4y=14.8,y=3.2-2x,则V=x(x+0.5)(3.2-2x).引进正参数u1、u2,则V=(u1x)u2(x+0.5)+(3.2-2x),必须满足u1x+u2(x+0.5)+3.2-2x为常数,即(u1+u2-2)x+0.5u2+3.2是常数,即u1+u2=2,且u1x=u2(x+0.

6、5)=3.2-2x.由知u1=1.2,u2=0.8,V=(1.2x)0.8(x+0.5)(3.2-2x)=1.8.等号成立时,1.2x=0.8(x+0.5)=3.2-2x,即x=1,此时高为1.2 m,容器容积最大.三、利用均值不等式处理其他问题的技巧【例3】 求证:sin2cos2+.思路分析：左式=sin22+,若利用均值不等式得左式2,必须sin22=16时“=”成立,这是不可能的.同时,由于20,xR+)的最小值时,如果x=R+时无法直接用均值不等式求最值,这时可用本例中的方法或者讨论y=x+的单调性.类题演练3已知0x1,求证:(a+b)2.证明:0x0.=a2+b2+=a2+b2+2ab=(a+b)2.原不等式成立.变式提升3已知x、y、z为正实数,且x+y+z=3,=3.求x2+y2+z2的值.解析:由题设得(x+)+(y+)+(z+)=6.