高三数学文一轮复习课件第5章第二讲平面向量的基本定理及坐标表示

1、目 录 Contents,考情精解读,考点1,考点2,A.知识全通关,B.题型全突破,C.能力大提升,考法1,考法2,考法3,方法,考点3,考情精解读,考纲解读,命题趋势,命题规律,数学 第五章第二讲 平面向量的基本定理及坐标表示,1.了解平面向量的基本定理及其意义. 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.,考纲解读,命题规律,命题趋势,数学,第五章第二讲 平面向量的基本定理及其坐标表示算,考纲解读,命题规律,返回目录,1.热点预测预计高考对本讲内容的考查以平面向量的基本定理为主,向量、尤其是向量的坐

2、标表示作为工具与其他知识交汇命题的趋势将会上升,备考时应予以关注.试题多为客观题,难度不大,分值约为5分. 2.趋势分析以其他相关知识(如三角形、四边形等)为载体,突出向量作为工具在其中的作用.,命题趋势,数学,第五章第二讲 平面向量的基本定理及其坐标表示算,知识全通关,考点1平面向量基本定理,继续学习,如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a, 有且只有一对实数1,2,使a=1e1+2e2. 其中,不共线的向量e1,e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底. 说明 由平面向量基本定理可知,如果对于一组基底e1,e2, 有a=1e1+2e2=1e1+2e2,则

3、可以得到 1 = 1 , 2 = 2 .,数学 第五章第二讲 平面向量的基本定理及坐标表示,继续学习,数学 第五章第二讲 平面向量的基本定理及坐标表示,1.基底的选择不唯一,只要是同一平面内的两个不共线的向量都可以作为这个平面的一组基底. 2.基底e1,e2必须是同一平面内的两个不共线向量,若e1,e2共线,则e1=e2,此时就不能用e1,e2表示平面内与e1,e2不共线的向量.零向量不能作为基底.,【名师提醒】,继续学习,考点2 平面向量的坐标表示,数学 第五章第二讲 平面向量的基本定理及坐标表示,在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底.对于平面内的一个向

4、量a,由平面向量基本定理可知有且只有一对实数x,y,使得a=xi+yj.这样,平面内的任一向量a都可由x,y唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫作向量a的坐标,记作a=(x,y). 显然,i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0). 说明 若 =xi+yj, 则向量 的坐标(x,y)就是终点A的坐标;反过来,终点A的坐标(x,y)也就是向量 的坐标.因此,在平面直角坐标系内,每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示,即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的.,继续学习,数学 第五章第二讲 平面向量的基本定理及坐标表示,考点3平面向量的坐标运算,1.平面向量运算的坐标表示,说明 (1)相等

5、的向量坐标相同;(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的端点无关,只与其相对位置有关.,继续学习,数学 第五章第二讲 平面向量的基本定理及坐标表示,2.平面向量共线的坐标表示 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则abx1y2-x2y1=0. 注意 当且仅当x2y20时,ab与 1 2 = 1 2 等价. 即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例.,题型全突破,考法1平面向量基本定理的应用,继续学习,考法指导应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算,用处有两个: (1)只要两个向量不共线,就可以作为平面向量的一组基底,基底可以

6、有无穷多组,在解决具体问题时,合理地选择基底会给解题带来方便. (2)证明向量共线或解决几何相关问题. 第一步,选择一组基底; 第二步,运用平面向量基本定理将条件和结论表示成向量的形式; 第三步,通过向量的运算来证明共线或其他几何相关问题.,数学 第五章第二讲 平面向量的基本定理及坐标表示,继续学习,数学 第五章第二讲 平面向量的基本定理及坐标表示,图5-2-1 考法示例1如图5-2-1,已知ABCD的边BC,CD的中点分别是K,L,且 =e1, =e2,试用e1,e2表示 , . 思路分析本题可以设 =x, =y,然后用x,y作为基底将e1,e2表示出来,再通过解方程组来求 , .当然也可以

7、通过加辅助线,将e1,e2放在一个三角形中,结合三角形法则来求解.,继续学习,解析解法一设 =x, =y,则 = 1 2 x, =- 1 2 y. 由 + = , + = ,得 + 1 2 = 1 , 1 2 = 2 , +(-2),得 1 2 x-2x=e1-2e2,即x=- 2 3 (e1-2e2)=- 2 3 e1+ 4 3 e2, 所以 =- 2 3 e1+ 4 3 e2. 同理可得y= 2 3 (-2e1+e2),即 =- 4 3 e1+ 2 3 e2.,数学 第五章第二讲 平面向量的基本定理及坐标表示,继续学习,图5-2-2 解法二如图5-2-2所示,延长BC,AL,设相交于点E,

8、则DLACLE,从而 =2 , = , = 3 2 . 由 = - ,得 3 2 =2e2-e1,数学 第五章第二讲 平面向量的基本定理及坐标表示,即 = 2 3 (2e2-e1)=- 2 3 e1+ 4 3 e2. 同理可得 =- 4 3 e1+ 2 3 e2. 点评解法一体现了方程的思想,解题时,“反其道而行之”,将待求的向量作为一组基底,然后利用这组基底把已知的向量表示出来,从而构造出了待求向量的方程组;解法二的基本思想就是将分散的向量集中到一个三角形中,为利用三角形法则创造条件.,继续学习,数学 第五章第二讲 平面向量的基本定理及坐标表示,继续学习,考法指导 向量坐标运算问题的一般思路

9、 (1)向量问题坐标化:向量的坐标运算,使得向量的线性运算都可用坐标来进行,实现了向量运算完全代数化,将数与形紧密结合起来,通过建立平面直角坐标系,使几何问题转化为数量运算. (2)巧借方程思想求坐标:向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,求解过程中要注意方程思想的运用. (3)妙用待定系数法求系数:利用坐标运算求向量的基底表示,一般先求出基底向量和被表示向量的坐标,再用待定系数法求出系数.,考法 2 平面向量坐标运算的应用,数学 第五章第二讲 平面向量的基本定理及坐标表示,继续学习,考法示例2(1)已知A(1,4),B(-3,

10、2),向量 =(2,4),D为AC的中点,则 = A.(1,3)B.(3,3) C.(-3,-3)D.(-1,-3) (2)已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则向量 1 2 a - 3 2 b= A.(-2,-1)B.(-2,1) C.(-1,0)D.(-1,2) 思路分析(1)先由已知,利用向量的坐标运算求出点C的坐标,然后利用中点坐标公式求出点D的坐标,进而可得所求向量的坐标.(2)根据平面向量线性运算法则及坐标运算进行求解. .,数学 第五章第二讲 平面向量的基本定理及坐标表示,解析(1)设C(x,y),则 =(x+3,y-2)=(2,4),所以 +3=2, 2=4, 解得

11、=1, =6, 即C(-1,6). 由D为AC的中点可得点D的坐标为(0,5), 所以 =(0+3,5-2)=(3,3). (2) 1 2 a=( 1 2 , 1 2 ), 3 2 b=( 3 2 ,- 3 2 ),故 1 2 a- 3 2 b=(-1,2). 答案(1)B(2)D,继续学习,数学 第五章第二讲 平面向量的基本定理及坐标表示,继续学习,考法示例3已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),设 =a, =b, =c,且 =3c, =-2b. (1)求3a+b-3c; (2)求满足a=mb+nc的实数m,n; (3)求M,N的坐标及向量 的坐标. 思路分析利用向量的坐标运

12、算以及向量的坐标与起点、终点坐标的关系来求解. 解析由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8). (1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42). (2)因为mb+nc=(-6m+n,-3m+8n), 所以 6+=5, 3+8=5, 解得 =1, =1.,数学 第五章第二讲 平面向量的基本定理及坐标表示,(3)设O为坐标原点,连接OM,ON,OC.因为 = - =3c,所以 =3c+ =(3,24)+(-3,-4)=(0,20),所以M的坐标为(0,20). 又 = - =-2b, 所以 =-2b+ =(

13、12,6)+(-3,-4)=(9,2), 所以N的坐标为(9,2), 所以 =(9-0,2-20)=(9,-18).,继续学习,数学 第五章第二讲 平面向量的基本定理及坐标表示,考法指导 1.两个非零向量共线是指存在实数使两向量可互相表示. 2.证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得到三点共线. 3.在求与一个已知向量a共线的向量时,采取待定系数法更为简单,即设所求向量为a(R),然后结合其他条件列出关于的方程,求出的值后代入a即可得到所求向量,这样可以使未知数的个数少一些,便于求解. 4.对于 = + (,为实数), 若

14、A,B,C三点共线,则+=1,反之,也成立. 注意 0的方向是任意的. 若a,b为非零向量,当ab时,则a,b的夹角为0或180,求解时容易忽视其中一种情形而导致出错.,继续学习,数学 第五章第二讲 平面向量的基本定理及坐标表示,考法3 向量共线(平行)的坐标表示及应用,继续学习,考法示例4已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),求证A,B,C三点共线. 思路分析 依据点A,B,C的坐标构造向量 , 证明二者平行即可 解析由题意得 =(1,3)-(-1,-1)=(1+1,3+1)=(2,4), =(2,5)-(-1,-1)=(2+1,5+1)=(3,6). 因为26-43=0,所以

15、,又直线AB和直线AC有公共点A, 所以A,B,C三点共线.,数学 第五章第二讲 平面向量的基本定理及坐标表示,继续学习,数学 第五章第二讲 平面向量的基本定理及坐标表示,考法示例5平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1). (1)求满足a=mb+nc的实数m,n; (2)若(a+kc)(2b-a),求实数k; (3)若d满足(d-c)(a+b),且|d-c|= 5 ,求d的坐标. 思路分析(1)直接利用向量的坐标运算得到关于m,n的方程组;(2)根据向量平行的坐标表示,得到关于k的方程;(3)根据给出的两个条件,利用坐标运算可得到关于向量d的坐标的方程组.解以上方程

16、(组)即可. 解析(1)由题意得(3,2)=m(-1,2)+n(4,1),所以 +4=3, 2+=2, 解得 = 5 9 , = 8 9 .,(2)a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2), 由题意得2(3+4k)-(-5)(2+k)=0,解得k=- 16 13 . (3)设d=(x,y),则d-c=(x-4,y-1), 又a+b=(2,4),|d-c|= 5 , 所以 4(4)2(1)=0, (4 ) 2 +(1 ) 2 =5, 解得 =3, =1 或 =5, =3. 所以d的坐标为(3,-1)或(5,3).,继续学习,数学 第五章第二讲 平面向量的基本定理及坐标表示,【突破攻

17、略】,(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则abx1y2-x2y1=0,这是代数运算,用它解决平面向量共线问题的优点在于不需要引入参数“”,从而减少了未知数的个数,而且它使问题的解决具有代数化的特点和程序化的特征.(2)当x2y20时,ab 1 2 = 1 2 ,即两个向量的相应坐标成比例,这种形式不易出现搭配错误.(3)公式x1y2-x2y1=0无条件x2y20的限制,便于记忆;公式 1 2 = 1 2 有条件x2y20的限制,但不易出错.所以我们可以记比例式,但在解题时改写成乘积的形式.,继续学习,数学 第五章第二讲 平面向量的基本定理及坐标表示,能力大提升,思想方法 解析法(

18、坐标法)在向量中的应用,继续学习,向量具有代数和几何的双重特征,比如向量运算的平行四边形法则、三角形法则、平面向量基本定理等都可以认为是从几何的角度来研究向量的特征;而引入坐标后,就可以通过代数运算来研究向量,凸显出了向量的代数特征,为用代数的方法研究向量问题奠定了基础.在处理很多与向量有关的问题时,坐标化是一种常见的思路,利用坐标可以使许多问题的解决变得更加简捷.,数学 第五章第二讲 平面向量的基本定理及坐标表示,返回目录,数学 第五章第二讲 平面向量的基本定理及坐标表示,图5-2-3 示例6给定两个长度为1的平面向量 和 ,它们的夹角为 2 3 .如图5-2-3所示,点C在以O为圆心的圆弧 上运动.若 =x +y ,其中x,yR,求x+y的最大值. 解析以O为坐标原点、 所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,如图5-2-4所示,则A(1,0),B(- 1 2 , 3 2 ). 设AOC=(0, 2 3 ),则C