第2讲 基本初等函数、函数与方程

1、第2讲基本初等函数、函数与方程,高考定位1.掌握二次函数、分段函数、幂函数、指数函数、对数函数的图象与性质；2.以基本初等函数为依托，考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理；3.能利用函数解决简单的实际问题.,1.(2019全国卷)已知alog20.2，b20.2，c0.20.3，则(),真 题 感 悟,A.a201，0c0.20.30.201，所以acb.故选B. 答案B,2.(2019全国卷)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通信联系.为解决这个问题，发射了嫦娥四

2、号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行.L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上.设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：,答案D,A.1，0) B.0，)C.1，) D.1，) 解析函数g(x)f(x)xa存在2个零点，即关于x的方程 f(x)xa有2个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线 yxa有2个交点，作出直线yxa与函数f(x)的 图象，如图所示，由图可知，a1，解得a1.,答案C,4.(2019北京卷)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为6

3、0元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.,当x10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付_元； 在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为_.,解析顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，原价应为6080140(元)，超过了120元可以优惠，所以当x10时，顾客需要支付14010130(元).由题意知，当x确定后，顾客可以得到的优惠金额是固定的，所以顾客支付的金额越少，优惠的比例越大.而顾客要想得到优惠，最少要一次购

4、买2盒草莓，此时顾客支付的金额为(120 x)元，所以(120 x)80%1200.7，所以x15.即x的最大值为15. 答案13015,1.指数式与对数式的七个运算公式,考 点 整 合,2.指数函数与对数函数的图象和性质,指数函数yax(a0，a1)与对数函数ylogax(a0，a1)的图象和性质，分01两种情况，当a1时，两函数在定义域内都为增函数，当0a1时，两函数在定义域内都为减函数. 3.函数的零点问题 (1)函数F(x)f(x)g(x)的零点就是方程f(x)g(x)的根，即函数yf(x)的图象与函数 yg(x)的图象交点的横坐标. (2)确定函数零点的常用方法：直接解方程法；利用零

5、点存在性定理；数形结合，利用两个函数图象的交点求解.,4.应用函数模型解决实际问题的一般程序,热点一基本初等函数的图象与性质,答案(1)D(2)A,探究提高1.指数函数、对数函数的图象和性质受底数a的影响，解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a的范围. 2.研究对数函数的性质，应注意真数与底数的限制条件.如求f(x)ln(x23x2)的单调区间，容易只考虑tx23x2与函数yln t的单调性，而忽视t0的限制条件.,【训练1】 (1)若函数ya|x|(a0，且a1)的值域为y|y1，则函数yloga|x|的图象大致是(),(2)(2019全国卷)若ab，则() A.ln

6、(ab)0 B.3a0 D.|a|b|,解析(1)由于ya|x|的值域为y|y1，a1，则ylogax在(0，)上是增函数， 又函数yloga|x|的图象关于y轴对称. 因此yloga|x|的图象应大致为选项B. (2)法一由函数yln x的图象(图略)知，当0b时，3a3b，故B不正确；因为函数yx3在R上单调递增，所以当ab时，a3b3，即a3b30，故C正确；当b3b，|a|b|，故排除A，B，D.故选C. 答案(1)B(2)C,热点二函数的零点与方程 角度1确定函数零点个数或其范围,(2)(2019全国卷)函数f(x)2sin xsin 2x在0，2的零点个数为() A.2 B.3 C

7、.4 D.5,解析(1)函数f(x)的定义域为(0，)，且函数f(x)在(0，)上为增函数.,(2)令f(x)0，得2sin xsin 2x0， 即2sin x2sin xcos x0， 2sin x(1cos x)0，sin x0或cos x1. 又x0，2， 由sin x0得x0，或2，由cos x1得x0或2. 故函数f(x)的零点为0，2，共3个. 答案(1)C(2)B,探究提高1.函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的类型有：(1)函数零点值大致存在区间的确定；(2)零点个数的确定；(3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定. 2.判断函数零点个数的主要方法： (1)解方程f(

8、x)0，直接求零点；(2)利用零点存在定理； (3)数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个能画出的函数图象交点问题.,A.3个 B.2个 C.1个 D.0个,解析由f(x1)f(x1)得f(x)周期为2，作函数f(x)和g(x)的图象， 图中，g(3)3log231f(3)， g(5)3log251f(5)， 可得有两个交点，所以选B.,答案B,角度2根据函数的零点求参数的值或范围 【例22】 (1)已知函数f(x)x22xa(ex1ex1)有唯一零点，则a(),解析(1)f(x)(x1)2a(ex1e1x)1， 令tx1，则g(t)f(t1)t2a(etet

9、)1. g(t)(t)2a(etet)1g(t)，函数g(t)为偶函数. f(x)有唯一零点，g(t)也有唯一零点. 又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)0，,故选D. 答案(1)C(2)D,探究提高1.求解本题的关键在于转化为研究函数g(x)的图象与ya(x0)，y2a(x0)的交点个数问题：常见的错误是误认为y2a，ya是两条直线，忽视x的限制条件. 2.解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解.,【训练3】 (1)(2019衡水质检)若函数f(x)|logax|3x(a0，a1)的两个零点是m，n，则(

10、) A.mn1 B.mn1C.0mn1 D.无法判断,不妨设a1，mn，作出两函数的图象(如图)，,答案(1)C(2)B,热点三函数的实际应用 【例3】 经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y(升)与速度x(千米/时)(50 x120)的关系可近似表示为：,当x80，120时，函数单调递减，故当x120时，y有最小值10. 因为910，故当x65时每小时耗油量最低.,当x120时，l取得最小值10. 因为1016，所以当速度为120千米/时时，总耗油量最少.,探究提高1.解决函数的实际应用问题时，首先要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解

11、，解答后再回到实际问题中去. 2.对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法.,令f(x)0，x80. 当200，f(x)单调递增，当80 x180时，f(x)0，f(x)单调递减， 所以当x80时，f(x)有极大值，也是最大值240 000. 由于120 000240 000. 故该服装厂所获得的最大效益是240 000元.,1.指数函数与对数函数的图象和性质受底数a(a0，且a1)的取值影响，解题时一定要注意讨论，并注意两类函数的定义域与值域所隐含条件的制约. 2.(1)函数的零点不是一个“点”，而是函数图象与x轴交点的横坐标. (2)零点存在性定理注意两点： 满足条件的零点可能不唯一；不满足条件时，也可能有零点.,3.利用函数的零点求参数范