上海市奉贤区2010届高三上学期期末调研测试(数学理)

1、.上海市奉贤区2010 届高三上学期期末调研测试数学试卷（理）2010、 01、08、 13：00-15 ： 00命 者： 海君， 者：奉 中学宋林荣，致 李菊初 ：刘彦利一（ 56）二（ 20）三（ 74）得分1-1415-181920212223一、填空 （每个4 分，共56 分）1、 系数一元二次方程x 2bx c0 的一根 53i （ i 虚数 位）， c _2、函数 y2x 1 ( xR) 的反函数是 _3、已知集合 Ax y4xx2， B, a ，若 AB ， 数 a 的取 范 是 _4564、若行列式101 中，元素5 的代数余子式不小于0， x 足的条件是 _sin x815、

2、已知数列an前 n 和 Sn1 an 1 ， 数列an 的通 公式.36、已知矩 Acossin, Bcos0， AB _01sin17、已知 | a | | b |2 ， a 与 b 的 角 ， ab 在 a 上的投影 38、如右 是一个算法的程序框 , 当 出 y 的范 大于1 时, 入 x 的取 范 是 _9、在极坐 系中 ,O 是极点， 点5A(4, ) ， B(5,) ， OAB的面 是3610、已知 z C ，且 z 2 2i1,i 虚数 位， z2 2i 的最小 是 _11、 n 是（ 2- x ） n 的展开式中x 的系数（ n=2,3,4,）， 极限.lim22232 n_n

3、23n12、定义在R 上的奇函数f (x) 满足 f ( x4)f (x) ，且在区间 0 ，2上是增函数 . 若方程f ( x)m(m 0） 在区 间-8,8上有四个不 同的 根 x1, x2 , x3 , x4,则x1x2x3x4 _13、已知图像连续不断的函数yf ( x) 在区间a, b （ba 0.1）上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点（精确到0.0001 ）的近似值，那么将区间a, b 等分的次数至多是_14、若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2， 3， 4， 5， 6 个点的正方体玩具） ，先后抛掷两次，则出现向上的点数之差绝对值为，则写出随机变量的分布律：_二

4、、选择题（每个5 分，共20 分）15、已知 an为等差数列，a1 + a3 + a5 =105， a2a4a6 =99，以 Sn 表示a的前 n 项和，n则使得Sn达到最大值的n是（）A、 21B、 20C、 19D、 1816、如图所示，正方形ABCD是以金属丝围成的，其边长AB 1，把此正方形的金属丝重新围成扇形的 A1D1C1 ，使 A1 D1AD ， D1 C1DC ，正方形面积 P ，扇形面积 Q ，那么 P 和Q 的大小关系是（）、 PQ、 PQ、 PQ、无法确定11117、设A为一随机事件，则下列式子不正确的是（）.A 、 P( A A )=0B、 P( A+ A )= P(

5、A)+ P(A )C 、 ( A)= ( ) (A)D、 ( +A)=1P AP A PP A18 、 定 义 在 R上 的 偶 函 数f ( x) 满 足 ： 对 任 意 的 x1 , x2 (,0( x1x2 ) ， 有(x2x1 )( f (x2 )f (x1) 0.则当n N *时,有（）A、 f (n 1)f ( n)f ( n1)B、 f (n 1)f ( n)f ( n 1)C、 f ( n)f ( n 1)f (n1)D、 f (n 1)f (n 1)f ( n)三、解答题（ 12+12+14+18+18=74 分）19、（本题共有1 个小题，满分12 分）直三棱柱 ABCA1

6、 B1C1 中，ACB90 ， AC BC1， AA12 ， D 是 B1 C1 的中点，求点 C 与平面A1 BD 的距离C1DB1A1CBA20、（本题共有2 个小题，第1 小题满分6 分，第 2 小题满分 6 分）已知函数f ( x) 2sin2 x3 cos 2x ， x， 442.（ 1）求 f ( x) 的最大值和最小值；（ 2）若不等式 f (x) m2 上恒成立，求实数m 的取值范围在 x，4221、（本题共有2 个小题，第1 小题满分8 分，第 2 小题满分 6 分）甲船由 A 岛出发向北偏东45的方向做匀速直线航行，速度为152 海里 / 小时，在甲船从 A岛出发的同时，乙

7、船从A岛正南 40 海里处的 B 岛出发，朝北偏东（=arctan1 ）的方向作匀速直线航行，速度为105 海里 / 小时2（ 1）求出发后 3 小时两船相距多少海里 ?（ 2）求两船出发后多长时间相距最近?最近距离为多少海里 ?.22、（本题共有 4 个小题，第1 小题满分3 分，第 2 小题满分5 分，第 3 小题满分5 分，第 4小题满分 5 分）2首项为正数的数列 an 满足 an 1an 3, (nN * ) .4（ 1）当 an 是常数列时，求a1 的值；（ 2）用数学归纳法证明：若a1为奇数，则对一切n2 ， an 都是奇数；(3) 若对一切 n N *，都有 an1an ，求

8、a1 的取值范围；（ 4）以上（ 1）（ 2）（ 3）三个问题是从数列 an 的某一个角度去进行研究的，请你类似地提.出一个与数列 an 相关的数学真命题，并加以推理论证23、（本题共有3 个小题，第1 小题满分4 分，第 2 小题满分 7 分，第 3 小题满分7 分）已知函数 f x61x 2（ 1）在直角坐标系中，画出函数f x6大致图像x2 1（ 2）关于 x 的不等式 fxk 7x2的解集一切实数，求实数k 的取值范围；（ 3）关于 x 的不等式 fxa的解集中的正整数解有 3 个，求实数 a 的取值范围；x.2009 学年奉贤区期末调研测试参考答案一、填空1、 34；2、 ylog

9、2 x1；3、 a4 ；4、x2k, kZ ；21n31n 1cossin5、 an3, 或 an6；222；、sin1、（理） ； 文)238、x1；9、（理） ；（文）；10、73 (55123；11、 8；12、理8 ，文4 a2 ；13、 11；14、理文 1， 518012345p15211161896918二、选择题15、 B；16、 B；17、 C；18、A；三、解答题19、（理）（解）以C 为原点， CA为 x 轴， CB为 y 轴， CC1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，设平面 A1 BD 的一个法向量nx, y, zn A1 D0则(2 分)n A1 B0求出平面 A1

10、BD 的一个法向量 n2，4，1 （ 4 分）然后用点到平面的距离公式dn CB421 （ 6）n CB21也可用等体积原理计算出cos A DB1，sin84（ 2 分）1185A DB85S A1 DB15178421 （ 4 分）2228541dS A1 DB1AA1 S CDB1,d1421 （6 分）333S ADB21.x1（ 3 分）（文科）（解）（1） f x31c , a2f 2cf 1 c2, a3f 3cf 2c2（ 3分）a1 f 1 c9273an 成等比数列， a1a22421c1 ； (3又数列81c，所以分 )a323327n 1n又公比 qa21，所以 an2

11、121nN *；(3分)a1333320、 f ( x) 1 cos 2x3 cos2x 1 sin 2x 3cos2x 1 2sin 2x (323分 )又 x 24， 2x3， (1 分)263又 x ， 212sin2x 3， 2x3，即 234263即 212sin2x 3 ， (1 分 )3 f ( x)max3， f ( x) min2 (1分)（） f (x)m2f (x)2mf ( x)2， (2分 )x f ( x)max 2 且 mf ( x)min2(2分 )， m，421m4 ，即 m 的取值范围是(14)， (2分)21、（理）解：以A 为原点， BA所在直线为y 轴

12、建立如下图所示的坐标系.设在 t时刻甲、乙两船分别在P（ x1，y1 ）， Q（ x2，y2），x152t cos4515t ，1 ，可得 cos =2 5 ， sin =5 ，则 1由 =arctany1x115t.255.x2=10 5 t sin =10t ， y2=105t cos 40=20t 40.（ 1）令 t =3， P、Q两点的坐标分别为（45，45），（ 30， 20） . （2+2 分）| PQ|= （4522850 =534 ，30） （4520） =即两船出发后3 h 时，两船相距5 34海里 . （ 4 分）（ 2）由（ 1）的解法过程易知P 15t ,15t ,Q

13、 10t,20t40 （ 2 分）| |=（ x222=（10t22分）PQx1 ）（ y2y1）15t） （20t40 15t） （ 1= 50t2 400t1600=50（ t2800 20 2 .4）当且仅当t =4 时， | PQ| 的最小值为202 ， （ 2 分）答：即两船出发4 小时，相距202 海里为两船最近距离.（ 1 分）（文）解：（ 1）Q点的坐标分别为（30， 20）； Qt （ 10t ， 20t 40）（ 3+3 分）（ 2）由 =arctan1，可得 cos = 25，25402 t240210224010 5t cos35t（ 3 分）2t 2176t2720

14、， t14,t 2683 （舍去）（2 分）27所以所需时间 431小时，（1 分）此时 Q 40,40，所以方向北偏东45 0 （2 分）22、（理）（ 23文）解：（ 1） anan1an23 ,an1, 或 an3， a11,或 a13（ 3 分，一解2 分）4（ 2）证明：易证n1， 2 时由已知得 a1 是奇数，假设 n k 时 ak 是奇数，不妨设ak2m1是奇数，其中m 为正整数，ak23m( m1)1是奇数。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m则由递推关系得 ak 14根据数学归纳法，对任何nN， an 都是奇数。（5 分）.（ 3）由 an 1 an1(an1)(an3)

15、 知， an 1an 当且仅当 an 1或 an3 。4得 0 a1 1或 a13。另一方面，若 0ak1,则 0ak13；若 ak3 ，则 ak 1323113.44根据数学归纳法，0a11,0an1, nN ; a13an 3,nN .综合所述，对一切nN都有 an1 an 的充要条件是 0a11或 a13。（ 5 分）（ 4） 此题是开放题，答案不唯一，下面给出十种参考答案第一种情况满分2 分（问题1 分，解答 1 分）若对一切 nN * ， an 1an ，求 a1 的取值范围。第二种情况满分3 分（问题 1 分，解答2 分）若对一切 n N * ， an是周期数列，求a1 的取值范围

16、。解答：由（ 2）知 0a11或 a13数列单调递增。同理1a13 数列单调递减因此只有 a11或 a13 时数列是常数列，也是周期数列（周期为1）第三种情况满分5 分（问题 1 分，解答4 分）若对一切 n N * ， an是等差数列，求a1 的取值范围。设公差 d ，a12a12a2a133d, a24a1d4d 23d 2 34d2a1da3a1a222da12d , a34a14d0 时由（ 1）知常数列， a11或 a13 是等差数列（ 3 分）d42a1 时，解出 a1172, d8217, a2617 , a314 3 17a4a3 d22517 , a4a3238821 17

17、矛盾！不可能成等差数（2 分）4.第四种情况满分5 分（问题1 分，解答4 分）若对一切 nN * ， an 是等比数列，求a1 的取值范围。设公差 d ，1212121212a2a3a4anan 1 , 4 a1 34a2 34 a334an 134an3a1a2a3an 1ana1a2a3an 1ana13a23a33an 133a1a2a3ananan 1a1a2a3an 1an , a1 a2 a1 a2a2 a3a3 a4an 1anq0 时由（ 1）知常数列， a11或 a13 是等比数列（ 2分）an 1 an3时，则数列应有以下特征：a1, 3 , a1, 3 , a1, 3,

18、a1, 3a1a1a1a132a13a232 分）4，不可能成等差数（第五种情况满分5 分（问题1 分，解答4 分）0 a1 1时，求 an 的极限是否存在，若存在，是多少，不存在说明理由。解答：由（ 3）知 0a11数列单调递增， 0a1a2an 1 an 1根据单调有界数列存在极限原理知道：an 的极限是1，（ 3 分）证明（略）（ 2 分）第六种情况满分 5 分（问题1 分，解答4 分）若 a1 为偶数，则对一切n2， an 都不是偶数a2 ，由（ 3）知数列单调递减依次计算出a27 , a61（ 2 分）1364a2k k2, k N4，由（ 3）知数列单调递增依次计算出1a2k 23

19、 小数 b , a31 b 23 小数 b,（ 2 分）41124由此递推下去结论成立.第七种情况满分3 分（问题1分，解答2分）a1 3 时，求 an 的极限是否存在，若存在，是多少，不存在说明理由。解答：由（ 3）知a13 时数列单调递增，3 aa2an 1an1显然： an 的极限不存在（ 2 分第八种情况满分1 分（问题1分）给出 a1 的值，求an的通项公式；给出 a1 的值，求an的前 n 项的和 Sn 。第九种情况满分2 分（问题1分，解答1分）求 an 的取值范围；第十种情况满分3 分（问题1 分，解答2 分）给定 a1 ，求an 的取值范围；根据（ 3）由单调性去推理计算6x

20、=x2+123、（理）765（ 1）图象特征大致如下，过点（0，6）定义域R 的偶函数，432值域 0,6 ，在 0,单调递减区间1-6-4-2246810-1（ 2）解法一：依题意，变形为 k67x2 对一切实数 x-2x2R 恒1成立（ 1 分）k67 x217 ，设 h x67 x 21 7 ， kh x min （ 1 分）x21x21h xx267 x 217 在 0,单调递减（可用函数单调性定义证明或复合函数的单1调性说明）（ 4 分）（不说明单调性得1 分，扣 3 分）h x minh 06k6 （ 1 分）解法二： 6k7 x2x21 ， 7x 4(7k) x26k0 对一切实数恒成立（1 分）.设 x2t0， h t7t 27k t6k t0的最小值大于等于0 恒成立（ 1 分）；7k06 （ 2 分）14kf 06k07k0（2 分）k6（ 1 分）14k7k 2f 06k028（ 3）方法一：依题意有a0（1 分）不等式变形为 ax 26xa0, x 26 x